四川省达州外国语学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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考试时间：120分钟；满分：150分
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1. （ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用诱导公式求特殊角的三角函数值.
【详解】.
故选：C
2. 在中，（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量的加减法运算计算即可.
【详解】.
故选：A.
3. 判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④向量就是有向线段.其中假命题的个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据零向量的定义及共线向量的定义判断即可.
【详解】对于①：因为零向量的方向是任意的且零向量与任何向量共线，
故当与中有一个为零向量时，其方向是不确定的，故为假命题；
对于②：两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故为真命题；
对于③：零向量也是向量，故也有方向，只是方向是任意的，故为假命题；
对于④：向量可用有向线段来表示，但并不有向线段，故为假命题.
故选：B
4. 将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出平移后的解析式，再代值求解即可.
【详解】由题意可得，则．
故选：B
5. 已知向量，，，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示，向量共线的坐标表示列式作答.
【详解】向量，，则，又，，
因此，解得，
所以实数的值为.
故选：C
6. 如图，为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点A开始1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有（ ）
A. ω＝，A＝3B. ω＝，A＝3
C. ω＝，A＝5D. ω＝，A＝5
【答案】A
【解析】
【分析】根据最大值及半径求出A，根据周期求出ω.
【详解】由题目可知最大值为5，∴ 5＝A×1＋2⇒A＝3．
，则．故选:A
7. 如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合题意可知三点共线，进而得到，利用向量基本定理表示出,进而表示出计算即可.
【详解】因为，所以
所以，
因为，所以，
即，
因为三点共线，所以，解得，
所以，
而,
所以,
即.
故选：D.
8. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的图象平移与伸缩变换可得，结合正弦函数的图象先判断，根据正弦型图象的零点，列出不等式组，解出的范围即可.
【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，可得，
再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得的图象，
因为，周期，函数在上没有零点，
则，所以，
因为，所以，
又在上没有零点，所以，解得，
又因为， ，，所以或，
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题求解的关键有两个，一是利用图象变换能准确求出变换后的函数解析式；二是利用区间内没有零点列出限制条件.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 与的夹角为
C. D. 在上的投影向量是
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据平面向量数量积的坐标运算逐项判断.
【详解】对于A：，故A错误.
对于B：，因为，所以，故B正确；
对于C：，则，故C正确；
对于D：在上的投影向量是，故D正确.
故选：BCD.
10. 已知函数的图象的任意一条对称轴与其相邻的零点之间的距离为，若将曲线的图象向左平移个单位得到的图象关于轴对称，则（ ）
A.
B.
C. 直线为曲线一条对称轴
D. 若在单调递增，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题意，利用三角函数的图象与性质，求得函数，可判定A正确，B错误；利用为最小值，可判定C正确；令，求得，得出，可判定D错误.
【详解】由函数的图象的任意一条对称轴与其相邻的零点之间的距离为，
可得，解得，所以A正确；
又由的图象向左平移个单位得到，
因为的图象关于轴对称，可得且，
解得，所以B错误；
因为且为最小值，
所以直线为曲线的一条对称轴，所以C正确；
令，解得，
要使得函数在单调递增，则，所以D错误.
故选：AC.
11. 定义：，两个向量的叉乘，则以下说法正确的是（ ）
A. 若，则
B.
C. 若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积等于
D. 若，，则的最小值为
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，根据叉乘定义，判断，至少有一个为零向量或，即可判断；对于B，根据叉乘定义，讨论和，即可判断；对于C，结合平行四边面积即可判断；对于D，由，推出，结合向量模的计算以及基本不等式即可判断.
【详解】对于A，，
若，至少有一个为零向量，则满足；
若，均不为零向量，则，即，同向或反向，即，故A正确，
对于B，，
，
若，则 ，此时；
若，，此时，故B错误；
对于C，若四边形为平行四边形，
则它的面积等于，即 ，故C正确；
对于D， ，
，两式平方后相加得，即，
又，
当且仅当时等号成立，
故的最小值为，故D错误，
故选：AC
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，答案填在答题卡对应题号后的横线上）．
12. 已知，则=________
【答案】10
【解析】
【分析】求出的坐标，再由模的坐标表示计算．
【详解】由题意，
所以，
故答案为：10.
13. 已知，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据给定条件，利用齐次式法计算即得.
【详解】由，得.
故答案为：2
14. 已知平面向量，，若向量与的夹角为钝角，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量与的夹角为钝角结合数量积的坐标表示可求得t的范围，考虑向量方向相反时不合题意，即可得答案.
【详解】由题意平面向量，，向量与的夹角为钝角，
则，
当，共线时，有，
此时，方向相反，，
此时向量与的夹角不为钝角，不合题意，
故的取值范围为，
故答案为：
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
15. 已知向量与的夹角，且，．
（1）求，；
（2）求与的夹角的余弦值．
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用平面向量数量积的定义可计算得出的值，利用平面向量数量积的运算性质计算得出的值；
（2）计算出的值，利用平面向量夹角的余弦公式可求得与的夹角的余弦值．
【详解】（1）由已知，得，
；
（2）设与的夹角为，
则，
因此，与的夹角的余弦值为.
16. 如图，在中，D，F分别是BC，AC的中点，，，.
（1）用分别表示向量，;
（2）求证:B，E，F三点共线.
【答案】（1），；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，结合几何图形用基底表示向量即得.
（2）由（1）的信息，利用共线向量的定理推理即可.
【小问1详解】
在中，由D是BC的中点，得，
而，于是
又F是AC的中点，所以.
小问2详解】
由（1）知，，因此，
即，而有公共点，所以B，E，F三点共线.
17. 已知函数，．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，求在区间上的值域．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）将函数化为的形式，求单调递增区间即可；
（2）利用函数图象变换的规则，求得函数的解析式，进而求出在区间上的值域.
【小问1详解】
由已知，
得：，
即，，
由正弦函数的单调性，令，
解之；
所以的单调递增区间为；
【小问2详解】
由（1）知，
函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，
只需将函数中的换为，得到：，
由，得，
当时，取得最小值；当时，取得最大值；
所以的值域为．
18. 如图是函数的部分图象,其中,.其中为图象最高点,为图象与轴的交点,且为等腰直角三角形,,______.（从下面三个条件中任选一个,补充在橫线处并解答）
①；②是奇函数；③
（1）求函数的解析式；
（2）设,不等式对于恒成立,求的取值范围.
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知条件和图像,可得与的值.若选①,根据正弦型图像的对称轴可求得的值；若选②,根据正弦型图像的奇偶性可求得的值；若选③,通过代入法结合图像可求得的值,从而得到函数的解析式.
（2）由（1）得题意转化为对于恒成立,利用换元法,令则对恒成立,分离参数,再结合基本不等式求解即可.
【小问1详解】
为等腰直角三角形,
且又
则.
若选①,由,得函数的图像关于直线对称,
则
故函数的解析式为
若选②,是奇函数,
故函数的解析式为
若选③则,结合图像和
故函数的解析式为
【小问2详解】
由（1）得
对于恒成立.
令则对恒成立,
令则在时单调递增,
即,
故的取值范围为
【点睛】本题考查函数恒成立问题,考查转化思想和函数思想,考查逻辑推理能力和运算能力,属于中档题.
19. 如图有一块半径为4，圆心角为的扇形铁皮，是圆弧上一点（不包括，），点，分别半径，上．
（1）若四边形为矩形，求其面积最大值；
（2）若和均为直角三角形，求它们面积之和的取值范围．
【答案】（1）8； （2）.
【解析】
【分析】(1)连接OP，令，用表示出矩形的面积，再借助三角函数计算作答.
(2)利用(1)中信息，用表示出和的面积和，再换元变形结合二次函数性质计算作答.
【小问1详解】
连接OP，如图，令，

因四边形为矩形，则，
于是得矩形的面积，而，
则当，即时，取最大值1，即有，
所以矩形面积最大值为8.
【小问2详解】
由(1)知，，则，，
和的面积和：
，
令，即，而，则，
，
则，显然在上单调递减，
当，即时，，而，因此，，
所以和的面积和的取值范围是：.
【点睛】思路点睛：涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动与某角的变化相关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决.