四川省乐山市2024届高三第二次调查研究考试文科数学试题（原卷版+解析版）

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本试卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､座位号和准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 复数，则（ ）
A. B. C. 2D.
3. 某公司收集了某商品销售收入（万元）与相应的广告支出（万元）共10组数据（），绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合.
若将图中10个点中去掉点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ）
A. 决定系数变小B. 残差平方和变小
C. 相关系数的值变小D. 解释变量与预报变量相关性变弱
4. 已知，分别为的边，的中点，若，，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知数列满足，（），则（ ）
A B. C. D. 2
6. 已知平面区域，则的最大值为（ ）
A. 8B. 4C. 3D. 2
7. 在区间随机取1个数，则使得的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，则下列说法中，正确的是（ ）
A. 的最小值为
B. 区间上单调递增
C. 的最小正周期为
D. 的图象可由的图象向右平移个单位得到
9. 如图，菱形的对角线与交于点，是的中位线，与交于点，已知是绕旋转过程中的一个图形﹐且平面.给出下列结论：
①平面；
②平面平面；
③“直线直线”始终不成立.
其中所有正确结论的序号为（ ）
A. ①②③B. ①②C. ①③D. ②③
10. 已知函数，给出下列4个图象：
其中，可以作为函数的大致图象的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
11. 已知，分别是双曲线（，）的左右焦点，若过的直线与圆相切，与在第一象限交于点，且轴，则的离心率为（ ）
A. B. 3C. D.
12. 已知，，均为正数，，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数.则值为_________.
14. 已知，则曲线在点处的切线方程为___________.
15. 已知数列的前项和为，且，，则________.
16. 一个圆锥的顶点和底面圆都在半径为2的球体表面上，当圆锥的体积最大时，其底面圆的半径为________.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生依据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 某校在课外活动期间设置了文化艺术类活动和体育锻炼类活动，为了解学生对这两类活动的参与情况，统计了如下数据：
（1）通过计算判断，有没有的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关系？
（2）为收集学生对课外活动建议，在参加文化艺术类活动的学生中按性别用分层抽样的方法抽取了名同学.若在这名同学中随机抽取名，求所抽取的名同学中至少有名女生的概率.
附表及公式：
其中，.
18. 如图，在三棱锥中，为边上的一点，，，，.
（1）证明：平面；
（2）设点为边的中点，试判断三棱锥的体积是否有最大值？如果有，请求出最大值；如果没有，请说明理由.
19. 已知的内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角；
（2）若是的角平分线，，的面积为，求的值.
20. 在直角坐标系中，设为抛物线（）的焦点，为上位于第一象限内一点.当时，的面积为1.
（1）求的方程；
（2）当时，如果直线与抛物线交于，两点，直线，斜率满足.证明直线是恒过定点，并求出定点坐标.
21. 已知函数.
（1）若存在极值，求的取值范围；
（2）若，，证明：.
（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
[选修：坐标系与参数方程]（10分）
22. 在平面直角坐标系中，曲线参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）设直线与轴相交于点，动点在上，点满足，点的轨迹为，试判断曲线与曲线是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23. 已知，，均为正数，且.
（1）是否存在，，，使得，说明理由；
（2）证明：.
文化艺术类
体育锻炼类
合计
男
女
合计