四川省泸州市泸县泸县第五中学2023-2024学年八年级下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 若式子有意义，则x的取值范围为（ ）
A. x≥2B. x≠3C. x≤2或x≠3D. x≥2且x≠3
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣2≥0，再根据分式有意义的条件可得x﹣3≠0，再解即可．
详解】解：由题意得：x﹣2≥0，且x﹣3≠0，
解得：x≥2，且x≠3，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握以上知识是解题的关键．
2. 下列根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、为最简二次根式，所以A选项符合题意；
B、，则不是最简二次根，所以B选项不符合题意；
C、，则不是最简二次根，所以C选项不符合题意；
D、，则不是最简二次根，所以D选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式的判断，解题的关键是掌握最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
3. 平行四边形中，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得到，，即可求解．
【详解】解：如图，∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的性质是解题的关键．
4. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的计算，解题的关键是根据二次根式的加减运算对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．
【详解】解：A、原式，故错误，不合题意；
B、与不能合并，故错误，不合题意；
C、原式，故正确，符合题意；
D、原式，故错误，不合题意；
故选：C．
5. 下列各组数中，以a，b，c为边长的三角形不是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的条件能否构成直角三角形，从而求解即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
【详解】解：A、∵，
∴不能组成直角三角形，故此选项符合题意；
B、∵，
∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵，
∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：A．
6. 如图，，要使四边形ABCD成为平行四边形，还需要补充下列条件中的（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
7. 若与最简二次根式能合并成一项，则t值为（ ）
A. 6.5B. 3C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】先化简，再根据与最简二次根式是同类二次根式建立方程，解方程即可得．
【详解】解：，
∵与最简二次根式能合并成一项，
∴与最简二次根式是同类二次根式，
，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的化简、最简二次根式、同类二次根式，熟练掌握二次根式的化简是解题关键．
8. 实数a在数轴上的位置如图所示，则+化简后为（ ）
A. 7B. ﹣7C. 2a﹣15D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【详解】根据二次根式的性质可得:+,因为,所以原式=,故选A.
9. 估计的值应在（ ）
A. 5和6之间B. 6和7之间C. 7和8之间D. 8和9之间
【答案】B
【解析】
【分析】化简原式等于，因为，所以，即可求解；
【详解】解：，
∵，
，
故选B．
【点睛】本题考查估算无理数的大小；能够将给定的无理数锁定在相邻的两个整数之间是解题的关键．
10. 如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，CF平分∠BCD交AD于点F，AB=3，AD=5，则EF的长为（ ）
A 1B. 1.5C. 2D. 2.5
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可知∠AEB＝∠EBC，又因为BE平分∠ABC，所以∠ABE＝∠EBC，则∠ABE＝∠AEB，则AB＝AE＝3，同理可证FD＝3，继而可求得EF＝AE+DE﹣AD．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
则∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝3，
同理可证：DF＝DC＝AB＝3，
则EF＝AE+FD﹣AD＝3+3﹣5＝1．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
11. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，为的高，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了割补法求三角形的面积和等面积法，以及勾股定理，根据题意利用割补法求得的面积，利用勾股定理算出的长，再利用等面积法即可求得的长．
【详解】解：由题可得：
，
，
，
解得：，
故选：D．
12. 如图，在平行四边形中，，点H、G分别是边上的动点．连接，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（ ）

A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】如图，取的中点M，连接，作于N．首先证明，求出，利用三角形中位线定理，可知，求出的最大值以及最小值即可解决问题．
【详解】解：如图，取的中点M，连接，作于N．

∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵点M是的中点，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，∵， ，
∴，
∵点E为的中点，点F为的中点，
∴是的中位线，
∴，

∵点G是上的动点，
∴，
∴，即
∴EF的最大值为，最小值为，
∴EF的最大值与最小值的差为．
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明．
二、填空题（每题3分，共12分）
13. 计算的结果是______．
【答案】
【解析】
【分析】先算乘法，后算减法，即可解答．
【详解】解：

故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
14. 如图，一个圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的侧表面爬行到点B的最短路程为___________．
【答案】
【解析】
【分析】先将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再根据两点之间线段最短和勾股定理解答即可．
【详解】解：如图所示：将圆柱的侧面展开，
∵圆柱的底面周长为，
，
又，
∴蚂蚁从点A出发沿着圆柱的侧表面爬行到点B的最短路程，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用—最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．
15. 如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积．这个公式称为海伦-秦九韶公式，在中，，则的面积是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简，练掌握二次根式的性质是解题的关键．代入公式，进行二次根式的化简即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 在四边形中，对角线、相交于点，在下列条件中，①，，②，；③，；④，；⑤，，能够判定四边形是平行四边形有___________（填序号）．

【答案】①②④⑤
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定分别进行求证即可．
【详解】解：①添加，条件，
则根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
即可判定四边形是平行四边形；故①可以；
②添加，；条件，
则根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
即可判定四边形是平行四边形；故②可以；
③添加，条件，
即一组对边平行，另一组对边相等，该情况不能判定平行四边形；故③不可以；
④添加，条件，
则根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，
即可判定四边形是平行四边形；故④可以；
⑤添加，条件，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
则根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
即可判定四边形是平行四边形；故⑤可以；
故答案为：①②④⑤．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
三、计算题
17. 计算：
【答案】3．
【解析】
【分析】利用乘法分配律，进行计算即可解答．
【详解】解：
=6+6-9
=3．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18. 计算
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，零次幂，负整数指数幂的含义，先化简二次根式，二次根式的除法运算，负整数指数幂，二次根式的乘法，零次幂，再合并即可．
【详解】解：
；
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先利用平方差计算并约分，再代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：
，
当时，
原式
20. 下图是一块地，已知，求这块地的面积．
【答案】这块地的面积为
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理及逆定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形面积计算，本题中正确的根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形是解题的关键．根据勾股定理可求出的长，根据勾股定理的逆定理可求出，的面积减去的面积，即可求出四边形的面积．
【详解】解：如图，连接．
∵，，，
∴．
∵，，，
即，
∴为直角三角形，．
∴这块地即四边形的面积．
21. 如图，在平行四边形ABCD中，，，求证：AN＝MC．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB=CD，推出AM=CN，进而证明四边形AMCN是平行四边形，即可得到结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵，，
∴AM=CN，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∴AN=MC．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定定理及性质定理，熟记定理是解题的关键．
22. 如图，在中，E、F为对角线上两点，．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定，结合条件活用对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键．连接，交于点，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明．
【详解】如图，连接，交于点，

∵四边形是平行四边形，
，，
∵，
，
，
∵，
∴四边形是平行四边形．
23. 已知，求下列代数式的值：
（1）；
（2）
【答案】（1）16 （2）20
【解析】
【分析】本题考查了因式分解和代数式求值．
（1）先运用完全平方公式进行因式分解，然后代入求值即可．
（2）先运用提公因式法，进行因式分解，然后代入求值即可．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
24. 如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图折叠，使点A与点B重合，求折痕的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，先由折叠的性质可得，，再由勾股定理求出，则，设，则，由勾股定理得，解方程得到，则．
【详解】解；由折叠的性质可得，，
在中，由勾股定理得，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴．
25. 如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE、BE，已知O为BE的中点，连接DO并延长交BC边于点F，连接EF．
（1）求证：四边形BDEF为平行四边形；
（2）设BE＝m，DF＝n，BD＝a，BF＝b，求证：m2+n2＝2a2+2b2．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）欲证明四边形BDEF是平行四边形，只要证明DE＝BF，DE∥BF即可；
（2）作FG⊥AB于G，EH⊥AB于H．设BG＝DH＝x，FG＝EH＝h，TCDG＝a﹣x，BH＝a+x，在Rt△FDG和Rt△EBH中，n2＝（a﹣x）2+h2，m2＝（a+x）2+h2，在Rt△FBG中，x2+h2＝b2，由此即可解决问题；
【详解】解：（1）证明：∵AD＝DB，AE＝EC，
∴DE∥BC，
∴∠ODE＝∠OFB，
∵BO＝OE，∠DOE＝∠BOF，
∴△DEO≌△FBO，
∴DE＝BF，∵DE∥FB，
∴四边形DEFB是平行四边形．
（2）作FG⊥AB于G，EH⊥AB于H．
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴BF＝DE，EF∥AB，
∴FG＝HE，
∴Rt△BGF≌Rt△DHG，∴BG＝DH，
设BG＝DH＝x，FG＝EH＝h，
∴DG＝a﹣x，BH＝a+x，
在Rt△FDG和Rt△EBH中，
n2＝（a﹣x）2+h2，m2＝（a+x）2+h2，
在Rt△FBG中，x2+h2＝b2，
∴m2+n2＝2a2+2b2．
【点睛】本题考查平行四边形判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．