重庆市第八中学校2023-2024学年高一下学期4月阶段练习数学试题 （原卷版+解析版）

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1. 在中，已知，则角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用余弦定理的推论即可求解.
【详解】由及余弦定理的推论，得，
因为，
所以.
故选：B.
2. 在中，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦定理和三角形成立的条件求解.
【详解】由正弦定理知，
所以，
根据三角形成立的条件可知，解得，
故选:D.
3. 已知中，为边上一点，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量的线性运算即可求得.
【详解】在中，.
因为，所以.
所以.
故选：A
4. 已知向量，不共线，且，，，则一定共线的是（ ）
A. A，B，DB. A，B，CC. B，C，DD. A，C，D
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，求出，再利用共线向量定理逐项判断作答.
【详解】向量，不共线，且，，，
，则有，而有公共点B，有A，B，D共线，A是；
，不存在实数，使得，因此不共线，A，B，C不共线，B不；
，不存在实数，使得，因此不共线，B，C，D不共线，C不是；
，不存在实数，使得，因此不共线，A，C，D不共线，D不是.
故选：A
5. 在中，内角A，B，C所对的边分别为，，.向量，.若，则角的大小为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据，得，由余弦定理可求.
【详解】因为向量，，
因，
所以，即，
由余弦定理可得.
因为，所以，
故选：B.
6. 如图，两点在河的两岸，在同侧的河岸边选取点，测得的距离，则两点间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正弦定理求解即可
【详解】因为，故，由正弦定理，，故m
故选：D
7. 已知，，一条对称轴为，若关于x的方程在有两个不同的实数根，则m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由三角函数的对称性求得的解析式，利用换元法，将问题转化为与在上有两个交点，数形结合即可得解.
【详解】因为的一条对称轴为，
所以，，解得，，
又因为，所以，
所以，
因为，，即，，
令，则，则在上有两个实根，
即与在上有两个交点，
又，则大致图象如图，
结合图象可知，即.
故选：A.
8. 在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于、的任意一点，则（ ）
A. 3B. 6C. 7D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根据外心的性质得到，设，根据数量积的运算律得到，再由数量积的定义及几何意义求出，从而得解.
【详解】因为是的外心，为的中点，设的中点为，连接，

所以，，设，
则
，
又是的外心，所以
，
所以.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是根据外接圆的性质将转化为，再一个就是利用数量积的几何意义求出.
二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知是夹角为的单位向量，且，则（ ）
A. B. C. 与的夹角为D. 在方向上的投影向量为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用向量数量积运算，模、夹角公式，计算出夹角的余弦值，还有投影的定义求解.
【详解】设与的夹角为，
对B，因为，B正确；
对A，，A正确；
对C，，
所以，C错误；
对D，在方向上的投影为，D正确.
故选：ABD
10. 已知为坐标原点，点，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由向量模长、数量积的坐标运算，结合同角三角函数关系和两角和差公式依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，，
，，故A正确；
对于B，，，
，，
，故B错误；
对于C，，，，
又，
，故C正确；
对于D，，，
，故D正确.
故选：ACD.
11. 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，，下列选项正确的是（ ）
A.
B. 若，则有两解
C. 若为锐角三角形，则b取值范围是
D. 若D为边上的中点，则的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由数量积的定义及面积公式求得角，然后根据三角形的条件求解判断各ABC选项，利用，平方后应用基本不等式求得最大值，判断D．
【详解】因为，所以，，又，所以，A错；
若，则，三角形有两解，B正确；
若为锐角三角形，则，，所以，，
，，C正确；
若D为边上的中点，则，，
又，，
由基本不等式得，，当且仅当时等号成立，
所以，所以，当且仅当时等号成立，D正确．
故选：BCD．
【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的应用，掌握正弦定理、余弦定理、三角形面积公式是解题关键．在用正弦定理解三角形时可能会出现两解的情形，实际上不一定要死记结论，可以按正常情况求得，然后根据的大小关系判断角是否有两种情况即可．
三、填空题：本题共3小题；每小题5分，共15分．
12. 如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则______.
【答案】
【解析】
【分析】如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，就是，的夹角，利用向量的夹角公式求解.
【详解】如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系.
则，，，，
，.
由于就是，的夹角.
.
故答案为：
13. 如图，已知的面积为，分别为边，上的点，且，交于点，则的面积为 _____.
【答案】4
【解析】
【分析】以，建立一组基底向量，再利用点与点分别共线的性质表示出，建立二元一次方程，再采用间接法，根据求出答案，属于难题
【详解】设，以，为一组基底，则.
∵点与点分别共线，
∴存在实数和，使.
又∵，
∴解得
∴，
∴.
【点睛】复杂的三角形线段关系问题，借鉴向量法进行求解时，还是需要根据向量基底进行基础运算，如本题中面积问题最终转化成线段比例问题，在处理正面入手不好解决的问题时，可从对立面入手，采用间接法来进行求解
14. 我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即 (其中为三角形面积，a，b，c为三角形的三边)． 在非直角中，a，b，c为内角A，B，C所对应的三边，若且，则面积的最大值是________，此时外接圆的半径为____
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，然后结合已知三角形的面积公式进行化简，结合二次函数的性质计算可得面积最大值，从而求出，再由余弦定理求出，最后由正弦定理求出外接圆的半径．
【详解】解：因为，
由正弦定理得，
所以，
即，
因为，
所以，
由正弦定理得，
由题意可得
，
当即时三角形的面积最大，最大值为，
所以，又，所以，
又，所以，设外接圆的半径为，则，
所以；
故答案为：；3．
四、解答题：本小题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某地一天的时间，单位：时)随气温变化的规隼可近似看成正弦函数的图象，如图所示.
（1）根据图中数据，试求表达式.
（2）该地居民老张因身体不适在家休养，医生建议其外出进行活动时，室外气温不低于，根据（1）中模型，老张该日可在哪一时段外出活动，活动时长最长不超过多长时间？
【答案】（1）；（2）老张可在外出活动，活动时长最长不超过小时；
【解析】
【分析】（1）首先求出、，再根据函数的周期求出，最后根据函数过点求出，即可得到函数解析式；
（2）依题意令，再根据正弦函数的性质解不等式，即可得解；
【详解】解：（1）依题意可得解得，又即，解得，所以，又函数过点，所以，即，所以，解得，因为，所以，所以
（2）依题意令，即
所以
解得
因为
所以，又
即老张可在外出活动，活动时长最长不超过小时；
16. 为直角三角形，斜边上一点，满足.
（1）若，求；
（2）若，，求.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理以及的范围，得出的值，再借助即可得解；
（2）设，根据已知条件和勾股定理求出，进而得到的值，再利用余弦定理即可得解.
【详解】（1）由正弦定理：，
得，
，，，
，.
（2）设，
，，，
从而，
由余弦定理，即，
解得，所以.
【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在平面几何中的综合应用，属于中档题.
平面几何中解三角形问题的求解思路：
（1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
（2）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.
17. 已知向量，设.
（1），求当取最小值时实数t的值；
（2）若，问：是否存在实数t，使得向量与向量的夹角为？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）时
（2）或
【解析】
【分析】（1）首先求出，再根据平面向量线性运算的坐标表示得到，最后求出的模；
（2）根据数量积的运算律求出，，，再根据得到方程，解得即可；
【小问1详解】
解：当时，，
所以
所以，所以当时
【小问2详解】
解：依题意，
若，则，又，，
所以，
又因为，
所以，，
，
则有，且，
整理得，解得或，
所以存在或满足条件．
18. 如图所示，某镇有一块空地，其中，，.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中都在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在的周围安装防护网.
（1）当时，求防护网的总长度；
（2）若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定的大小；
（3）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？
【答案】（1）
（2）
（3）时，面积取最小值为
【解析】
【分析】（1）在中利用余弦定理可求得，由勾股定理得，知为正三角形，由此可得结果；
（2）设，由可得；在中，利用正弦定理可得；由此可构造方程求得；
（3）设，由（2）知；在中，利用正弦定理可得，根据，结合三角恒等变换知识可化简得到，由正弦函数的最值可确定所求最小值.
【小问1详解】
中，，，，，
在中，由余弦定理得：，；
，则，，
为正三角形，则的周长为，即防护网的总长度为.
【小问2详解】
设，
，，即，
在中，由得：，
，即，又，
，解得：，即.
【小问3详解】
设，由（2）知：，
在中，由得：，
，
当且仅当，即时，面积取最小值为.
19. 如图，，是单位圆上的相异两定点为圆心，且为锐角点为单位圆上的动点，线段交线段于点.
（1）求结果用表示；
（2）若 .
①求的取值范围；
②设，记，求函数的值域.
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）利用向量的数量积运算法则，结合转化法即可得解；
（2）①设，利用向量的数量积运算法则，结合三角恒等变换将所求转化为关于的表达式，从而得解；
②设，利用向量的线性运算得到，从而将转化为含有的代数式，换元后借助于函数单调性求得函数的值域，由此得解.
【小问1详解】
因为，，
所以.
【小问2详解】
①.
设，又，所以，
则
所以
，
因为，则，
所以，则
故；
②设，
则，
所以，由得，
即，整理得，
所以，
所以.
所以.
令， ，
，令，
则，
因为，
则，即，
所以在上单调递增，则，
所以的取值范围是.