安徽省皖北县中联盟2023-2024学年高一下学期3月联考数学试卷（Word版附解析）

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考生注意：
1．满分150分，考试时间120分钟．
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
3．本卷命题范围：人教版必修第一册，必修第二册第六章结束．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数的单调性，结合集合交集的定义进行求解即可.
【详解】由，
因此，
故选：B
2. 设向量，，则“”是“”成立的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】先将等价化简为或，再判断解题即可.
【详解】或，
所以“”是“”成立的必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】本题考查向量平行的坐标表示、判断是的什么条件、三角恒等变换化简，是中档题.
3. 单位圆上一点从出发，逆时针方向运动弧长到达点，则的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】由题意得，从而得到，结合诱导公式求出答案.
【详解】点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点，
所以， 所以，
其中，，
即点的坐标为：．
故选：D．
4. 《九章算术》是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长30步，直径16步，问面积是多少？”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A. B. C. D. 120
【答案】A
【解析】
【分析】根据扇形面积公式得到面积为120步，设出扇形圆心角，根据求出扇形圆心角.
【详解】因为直径16步，故半径为步，
（平方步），
设扇形的圆心角为，则，
即．
故选：A
5. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意利用函数的图象变换规律，三角函数的奇偶性，的取值范围，进而即可求得的值．
【详解】由将函数的图象向右平移个单位长度后，
所得函数为为奇函数，
则，得，
又，则，，
故选：B．
6. 已知函数，若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，先判断函数的奇偶性和在上的单调性，再利用诱导公式，结合正切函数的单调性，即可求解.
【详解】由函数，
因为，所以函数为偶函数，
令，其在上为单调递增函数，因为在上为单调递减函数，
所以函数在上单调递减函数，
令在上为单调递增函数，
当时，可得且，
根据对勾函数的性质，可得函数在上为单调递增函数，
所以函数在上为单调递减函数，
所以函数在上为单调递减函数，
又由，
，，根据单位圆图形易知，
则，所以.
故选：A.
7. 在矩形ABCD中，，，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值为（ ）
A. B. 1C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量的数量积，求出点，在计算结果即可.
【详解】建立平面直角坐标系如图所示：
由题意可知，，
设，则，
由，可得，
所以，
又，
所以，
故选：C.
8. 克罗狄斯·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师．托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和．已知四边形是圆的内接四边形，且，．若，则圆的半径为（ ）
A. 4B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由托勒密定理求出，设圆的半径为，由正弦定理可得，即可得到，再根据及二倍角公式求出，即可求出，从而得解.
【详解】解：由托勒密定理，得．
因为，所以．
设圆的半径为，由正弦定理，得．
又，所以．
因为，所以，
因为，所以，所以，
所以，则，故．
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列关系式成立的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由正弦函数的值域可得A错误；由诱导公式可得B错误；由同角的三角函数关系可得C正确；由三角函数的值域可得D错误.
【详解】A：由正弦函数的值域可得，故A错误；
B：由诱导公式可知，故B正确；
C：因为，所以，故C正确；
D：因，所以，故D错误；
故选：BC.
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 是偶函数B. 若恒成立，则的最大值为
C. 在上共有6个解D. 在上单调递增
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用奇偶性定义判断可判断A；求出的值域可判断B；由可得，再根据的范围求解可判断C；根据符合函数的单调性可判断D.
【详解】对于A，，，所以是偶函数，故A正确；
对于B，时，，可得，
若恒成立，则的最大值为，故B错误；
对于C，若，则，可得，
时，可得，即，
由可得，所以在上共有6个解，故C正确；
对于D，因为函数在上单调递增，
所以在上单调递增，故D正确.
故选：ACD.
11. 点O为所在平面内一点，则（ ）
A. 若，则点O为的重心
B. 若，则点O为的内心
C. 若，则点O为的垂心
D. 在中，设，那么动点O的轨迹必通过的外心
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，结合平面向量的线性运算法则，结合三角形的重心、内心、垂心和外心的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由点O为所在平面内一点，且，可得，
则以为邻边作平行四边形，可得，且，
设，根据平行四边形法则，可得为的中点，即为上的中线，
同理可证：延长也过的中点，所以为的重心，所以A正确；
对于B中，由向量表示方向的单位向量，表示方向的单位向量，
可得四边形是菱形，则，
因为，
所以，即，即和共线，即是的角平分线，
同理可得是的角平分线，即是的内心，所以B正确.
对于C中，如图所示，取分别为的中点，
根据向量的平行四边形法则，可得，
因为，可得，
所以，所以点在线段的垂直平分线上，
所以点为的外心，所以C不正确；
对于D中，由,
因为，可得，
即，
设为的中点，可得，
所以，即，且为的中点，
所以动点O的轨迹必通过的外心，所以D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在中，点P在BC上，且，点Q是AC的中点，若，，则______，______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据题意，结合和，利用向量的运算法则，即可求解.
【详解】由向量，，
在中，可得；
在中，可得，
又因为，可得.
故答案为：；.
13. 设a，b为正实数，且满足，则的最小值是______．
【答案】1
【解析】
【分析】将所求因式通分后利用基本不等式计算即可.
【详解】，①
因为a，b为正实数，且满足，
所以，当且仅当时取等号，
所以，所以①.
故答案为：1.
14. 窗，古时亦称为牖，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD是边长为50cm的正方形，它是由四个全等的直角三角形和一个边长为10cm的小正方形EFGH拼接而成，则______．
【答案】
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，设与轴正方向的夹角为，表示出点坐标，再根据三点共线，得到，即可求出，再根据平面向量数量积的坐标运算计算可得；
【详解】根据正方形的对称性，设其中心为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，
设与轴正方向的夹角为，
则，即，
所以，
因为三点共线，所以，即，
解得，
所以，所以，
所以，又为锐角，所以
，所以
；
故答案：
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知.
（1）若是第一象限角，求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先化简，再利用平方关系和商关系可求的值；
（2）先利用诱导公式化简，再利用齐次式和正切值可得答案.
【小问1详解】
因为，
所以，又，所以，
因为是第一象限角，所以.
【小问2详解】
.
16. 已知向量，，，，
（1）若，求的值；
（2）若，，，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量平行的充要条件结合特殊三角函数值计算可得；
（2）由向量垂直的充要条件结合三角函数值得到，再由向量的数量积和同角的三角函数关系得到的正余弦，最后结合角度关系和正弦展开式得到结果.
【小问1详解】
∵，，
∴，（显然，否则与矛盾）
∴．
∵，∴．
【小问2详解】
∵，，
∴，（显然，否则与矛盾）
∴．
∵，∴．
∵且，∴．
∵，
∴，∴．
∴．
17. 给出以下三个条件：①直线，是函数图象的任意两条对称轴，且的最小值为，②，③对任意的，．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．已知函数，，______．
（1）求的表达式；
（2）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）先进行三角恒等变换求出，再分别选三个条件，结合正弦函数的性质，分别求解，即可得出函数解析式；
（2）首先根据三角函数的变换规律得到解析式，再由正弦函数的性质求出在区间上的单调性，求出区间端点函数值，依题意函数的图象与直线在区间上有且只有一个交点，即可求出参数的取值范围.
【小问1详解】
因为
，
若选条件①，直线，是函数图象的任意两条对称轴，且的最小值为，
则，解得，则；
若选条件②，则，则，，
因此，，又，所以，则，
若选条件③，对任意的，，
则有，，解得，，
又，所以当时，则．
【小问2详解】
将函数图象向右平移个单位得到，
再将的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到．
由，，解得，，
即函数的单调递增区间为，，
又，
所以函数在上单调递增，则在上单调递减；
因为，，，
因为关于的方程在区间上有且只有一个实数解，
所以函数的图象与直线在区间上有且只有一个交点，
则或.
18. 在中，已知，，，AC边上的中线为BN，M为BC边上靠近B的四等分点，连接AM交BN于点P．
（1）用与表示，并计算AM的长；
（2）求∠NPM的余弦值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）方法一：根据平面向量线性运算与表示，并利用数量积运算求的模；方法二：以点A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，利用平面向量坐标运算求的模；
（2）方法一：根据平面向量线性运算与表示，再利用平面向量夹角公式求解；方法二：利用平面向量坐标运算夹角.
【小问1详解】
方法一：M为BC边上靠近B的四等分点，
∴．
∵，∴，
；
∵，，，∴，
∴，∴．
方法二：以点A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，可得，，，
∵AC边上的中线为BN，∴，
∵M为BC边上靠近B的四等分点，可得．
设，代入坐标可解得，
且有．
【小问2详解】
方法一：∠NPM为向量与的夹角，所以，
∵AC边上的中线为BN，∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
方法二：∠NPM为向量与的夹角，所以，
，，
，，
19. 如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边BC，CD上的点，且；
（1）求∠PAQ的大小；
（2）求面积的最小值；
（3）某同学在探求过程中发现PQ的长也有最小值，结合（2）他猜想“中PQ边上的高为定值”，他的猜想对吗?请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）该同学猜想正确，理由见解析
【解析】
【分析】（1）解法一首先由向量的平行四边形定则和向量的数量积得到，再由三角函数的定义得到，，最后再结合正切函数的诱导公式得到；方法二设，，由向量夹角的定义得到，在中再结合勾股定理和三角函数值求出；
（2）由三角形的面积公式得到，再角度关系和二倍角公式及结合正弦函数的最值化简可得；
（3）由三角形的面积公式得到，再由向量夹角的定义结合三角函数值得到，求出结果即可.
【小问1详解】
记，，则．
（1）解法一：∵，∴，
∴，
∴，
∵正方形ABCD的边长为1，∴，，
在中，，，由，
则，
∴，．
∵，∴．
解法二：．
设，，则．
在中，，即，
．
∵，∴．
【小问2详解】
，．
∴，
∵，∴．
∵，∴当时，面积的最小值为．
【小问3详解】
设中PQ边上的高为h，由，得，
．
又∵，∴，
且，∴，
∴，即为定值，该同学猜想正确.
【点睛】关键点点睛：
（1）在求三角形面积时除了常规公式外可用公式；
（2）在已知角的正弦或余弦值求其余弦或正弦时，可用配凑法结合三角函数的诱导公式比较简便.