2024八年级数学下册第9章中心对称图形--平行四边形综合素质评价试卷（附解析苏科版）

这是一份2024八年级数学下册第9章中心对称图形--平行四边形综合素质评价试卷（附解析苏科版），共13页。

第9章综合素质评价一、选择题(每题3分，共24分)1．【2023·北京】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)2．(教材P66练习T1)在平行四边形ABCD中，若∠A＋∠C＝80°，则∠B的度数是(　　)A．140° B．100° C．40° D．120°3．【2023·无锡滨湖区一模】下列命题是真命题的是(　　)A．平行四边形的对角互补 B．矩形的对角线互相垂直C．菱形的对角线相等 D．正方形的对角线相等且互相垂直平分4．如图，在矩形ABCD中，已知AE⊥BD于点E，∠DBC＝30°，BE＝1 cm，则AE的长为(　　)A．3 cm B．2 cm C．2 eq \r(3)cm D.eq \r(3) cm5．【2023·无锡】如图，在△ABC中，∠BAC＝55°，将△ABC逆时针旋转α(0°＜α＜55°)，得到△ADE，DE交AC于F.当α＝40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于(　　)A．80° B．85° C．90° D．95°6．(教材P84习题T9)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若AC＝4，则四边形CODE的周长为(　　)A．4 B．8 C．12 D．207．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME＝MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为(　　)A．eq \r(3)－1 B．3－eq \r(5) C．eq \r(5)＋1 D．eq \r(5)－18．如图，矩形ABCD的面积为20 cm2，对角线交于点O；以AB，AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB，AO1为邻边作平行四边形AO1C2B，对角线交于点O2，…，以此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为(　　)A.eq \f(5,4) cm2 B.eq \f(5,8) cm2 C.eq \f(5,16) cm2 D.eq \f(5,32) cm2二、填空题(每题3分，共30分)9．如图，在△ABC中，∠C＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点C的对应点E恰好落在边BC上．若AC＝5，则CE＝________．10.如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，请添加一个条件：____________，使四边形AFCE是平行四边形(填一个即可)．11．如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，EF⊥AD于点F，连接AE，若EF＝3，AE＝5，则AD＝________．12．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，E是线段BD上一动点(点E不与点B，D重合)，当△ABE是等腰三角形时，∠DAE＝________．13．如图，在菱形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥BC，则∠AFD＝________．14．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是_________．15.如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3 eq \r(3)，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为________．16．【2023·菏泽】如图，点E是正方形ABCD内的一点，将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBF，若∠ABE＝55°，则∠EGC＝________度．17．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，DA的中点，以CD为斜边作Rt△GCD，GD＝GC，连接GE，GF.若BC＝2GC，则∠EGF＝________．18.如图，在△ABC中，将AB绕点A顺时针旋转α至AB′，将AC绕点A逆时针旋转β至AC′(0°＜α＜180°，0°＜β＜180°)，得到△AB′C′，使∠BAC＋∠B′AC′＝180°，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．下列结论正确的有________．①△ABC与△AB′C′面积相同；②BC＝2AD；③若AB＝AC，连接BB′和CC′，则∠B′BC＋∠CC′B′＝180°；④若AB＝AC，AB＝4，BC＝6，则B′C′＝10.三、解答题(19～25题每题8分，26题10分，共66分)19．【2023·自贡】如图，在平行四边形ABCD中，点M，N分别在边AB，CD上，且AM＝CN.求证：DM＝BN.20．【2023·淮安开明中学期中】如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点均在格点上．(1)画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；(2)将△DEF绕点E逆时针旋转90°得到△D1EF1，画出△D1EF1；(3)若△DEF由△ABC绕着某点旋转得到，则这点的坐标为________．21．【2023·张家界】如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF.(1)求证：AE∥BF；(2)若DF＝FC时，求证：四边形DECF是菱形．22.如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE.(1)求证：四边形BCDE是菱形；(2)连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝4，求AC的长．23．如图，已知在菱形ABCD中，∠B＝72°，请设计三种不同的方法，将菱形ABCD分割成四个三角形，使每个三角形都是等腰三角形．(要求画出分割线段，标出所得的三角形内角的度数．注：只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的方法)24．【2022·张家界】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，连接OE，过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF.(1)求证：△ODE≌△FCE；(2)试判断四边形ODFC的形状，并写出证明过程．25．如图，在正方形ABCD中，AB＝4eq \r(2)，E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.(1)求证：矩形DEFG是正方形；(2)求CE＋CG的值．26.问题情境：在数学课外小组活动中，老师要求大家对“菱形的剪拼”问题进行探究．如图①，将边长为4，∠A＝45°的菱形纸片ABCD沿着对角线BD剪开，得到△ABD和△B′DC，将△B′DC绕着点D逆时针旋转．初步探究：(1)“爱心小组”将△B′DC绕点D逆时针旋转，当DB′∥AB时，∠BDB′的度数为________；再次探究：(2)“勤奋小组”将△B′DC绕点D逆时针旋转至图②，连接AC，BB′，此时四边形ABB′C是矩形，求∠BDB′的度数；深入探究：(3)“创新小组”将△B′DC绕点D逆时针旋转至图③，此时点B，D，B′恰好在一条直线上，延长BA，B′C交于点E，试判断四边形ADCE的形状，并说明理由．答案一、1．A　2．A　3．D　4．D5．B　【点拨】由旋转性质可得∠BAC＝∠DAE＝55°，AB＝AD，∠B＝∠ADE，∵α＝40°，∴∠DAF＝15°，∠B＝∠ADB＝∠ADE＝70°.∴∠AFE＝∠DAF＋∠ADE＝85°.6．B　【点拨】∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴OC＝eq \f(1,2)AC＝2，OD＝eq \f(1,2)BD，AC＝BD.∴OC＝OD＝2.∴四边形CODE是菱形．∴DE＝CE＝OC＝OD＝2.∴菱形CODE的周长为2×4＝8.7．D　【点拨】∵四边形ABCD是边长为2的正方形，∴AD＝CD＝2.又∵M为边DA的中点，∴DM＝eq \f(1,2)AD＝1.∴CM＝eq \r(DC2＋DM2)＝eq \r(5).∴ME＝MC＝eq \r(5).∴ED＝EM－DM＝eq \r(5)－1.∵四边形EDGF是正方形，∴DG＝DE＝eq \r(5)－1.8．B　【点拨】设矩形ABCD的面积为S.易得平行四边形AOC1B的面积＝eq \f(1,2)矩形ABCD的面积＝eq \f(1,2)S，平行四边形AO1C2B的面积＝eq \f(1,2)平行四边形AOC1B的面积＝eq \f(1,4)S＝eq \f(S,22)，…，∴平行四边形AOn－1CnB的面积＝eq \f(S,2n).∴平行四边形AO4C5B的面积为eq \f(20,25)＝eq \f(5,8)(cm2)．二、9．5　10．BF＝DE(答案不唯一)　11．712．30°或60°　13．60°　14．对角线互相垂直的四边形15．3　【点拨】连接DN，DB.∵点E，F分别为DM，MN的中点，∴EF＝eq \f(1,2)DN.∴DN的值最大时，EF的值最大．易知点N与点B重合时，DN的值最大，此时DN＝DB＝eq \r(AD2＋AB2)＝6，∴EF的最大值为3.16．80　【点拨】∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°.∵∠ABE＝55°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝35°.由旋转得BE＝BF，∠EBF＝90°，∴∠BEF＝∠BFE＝45°.∵∠EGC是△BEG的一个外角，∴∠EGC＝∠BEF＋∠EBC＝80°.17．45°　【点拨】∵以CD为斜边作Rt△GCD，GD＝GC，∴∠GDC＝∠GCD＝45°，∠DGC＝90°.∵∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠FDG＝∠FDC＋∠CDG＝90°＋45°＝135°，∠ECG＝∠BCD＋∠DCG＝90°＋45°＝135°.∵E，F分别为BC，DA的中点，AD＝BC，BC＝2GC，∴DF＝DG＝CE＝CG.∴∠DGF＝∠DFG＝eq \f(1,2)(180°－∠FDG)＝eq \f(1,2)×45°＝22.5°，∠CEG＝∠CGE＝eq \f(1,2)(180°－∠ECG)＝eq \f(1,2)×45°＝22.5°.∴∠EGF＝∠DGC－∠DGF－∠EGC＝90°－22.5°－22.5°＝45°.18．①②③　【点拨】如图，延长B′A，并截取AE＝AB，连接C′E，∵∠BAC＋∠B′AC′＝180°，∴α＋β＝360°－180°＝180°.∵α＋∠BAE＝180°，∴∠BAE＝β.∴∠BAC＋∠CAE＝∠CAE＋∠EAC′.∴∠BAC＝∠EAC′.根据旋转可知AC＝AC′，AB＝AB′，又∵AB＝AE，∴△ABC≌△AEC′.∴BC＝C′E，S△ABC＝S△AEC′.∵AB＝AB′，AB＝AE，∴AE＝AB′.∴S△AB′C′＝S△AEC′.∴S△ABC＝S△AB′C′，即△ABC与△AB′C′面积相同．故①正确；∵AE＝AB′，B′D＝C′D，∴AD是△B′C′E的中位线．∴AD＝eq \f(1,2)C′E.∵BC＝C′E，∴BC＝2AD.故②正确；当AB＝AC时，AB′＝AB＝AC＝AC′，∴∠AB′B＝∠ABB′，∠AB′C′＝∠AC′B′，∠AC′C＝∠ACC′，∠ABC＝∠ACB.又∵∠AB′B＋∠ABB′＋∠AB′C′＋∠AC′B′＋∠AC′C＋∠ACC′＋∠ABC＋∠ACB＝360°，∴∠ABB′＋∠ABC＋∠AC′B′＋∠AC′C＝∠AB′B＋∠ACB＋∠AB′C′＋∠ACC′＝180°.∴∠B′BC＋∠CC′B′＝180°.故③正确；∵BC＝6，∴根据②可知，AD＝eq \f(1,2)BC＝3.∵AB＝4，∴AB＝AB′，∴AB′＝4，∵AB′＝AC′，AD为中线，∴AD⊥B′C′.∴∠ADB′＝90°.∴B′D＝eq \r(AB′2－AD2)＝eq \r(42－32)＝eq \r(7).∴B′C′＝2B′D＝2eq \r(7).故④错误．综上分析可知，正确的是①②③.三、19．【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∵AM＝CN，∴AB－AM＝CD－CN，即BM＝DN.又∵BM∥DN，∴四边形MBND是平行四边形．∴DM＝BN.20．【解】(1)如图，△A1B1C1即为所求．(2)如图，△D1EF1即为所求．　(3)(0，1)21【证明】(1)∵AD＝BC，∴AD＋CD＝BC＋CD.∴AC＝BD.∵AE＝BF，CE＝DF，∴△AEC≌△BFD(SSS)．∴∠A＝∠B.∴AE∥BF.(2)∵△AEC≌△BFD，∴∠ECA＝∠FDB.∴EC∥DF.∵EC＝DF，∴四边形DECF是平行四边形．又∵DF＝FC，∴四边形DECF是菱形．22．(1)【证明】∵AD＝2BC，E为AD的中点，∴DE＝BC＝AE.∵AD∥BC，∴四边形BCDE是平行四边形．∵∠ABD＝90°，AE＝DE，∴BE＝DE.∴四边形BCDE是菱形．(2)【解】∵AD∥BC，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA.∴AB＝BC＝4.∵AD＝2BC＝8，∴∠ADB＝30°.∵∠ABD＝90°，AC平分∠BAD，∴∠DAC＝eq \f(1,2)∠BAD＝eq \f(1,2)×60°＝30°.由(1)知四边形BCDE是菱形，∴∠ADC＝60°.∴∠ACD＝90°.在Rt△ACD中，∵AD＝8，∠DAC＝30°，∴CD＝4.∴AC＝eq \r(AD2－CD2)＝eq \r(82－42)＝eq \r(48).23【解】如图所示．(答案不唯一)24(1)【证明】∵点E是CD的中点，∴CE＝DE.又∵CF∥BD，∴∠ODE＝∠FCE.在△ODE和△FCE中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ODE＝∠FCE，,DE＝CE，,∠DEO＝∠CEF，))∴△ODE≌△FCE(ASA)．(2)【解】四边形ODFC为矩形．证明如下：∵△ODE≌△FCE，∴OE＝FE.∵CE＝DE，∴四边形ODFC为平行四边形．∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，即∠DOC＝90°.∴平行四边形ODFC为矩形．25．(1)【证明】如图，过点E作EM⊥CD于点M，EN⊥BC于点N.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠ACD，∠BCD＝90°.∴EM＝EN.∵∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴四边形EMCN是矩形．∴∠MEN＝90°.∵四边形DEFG是矩形，∴∠DEF＝90°.∴∠DEF＝∠MEN.∴∠DEM＝∠FEN.又∵∠EMD＝∠ENF＝90°，∴△EMD≌△ENF(ASA)．∴ED＝EF.∴矩形DEFG是正方形．(2)【解】∵四边形DEFG和四边形ABCD是正方形，AB＝4eq \r(2)，∴DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，AB＝AD＝CD＝4eq \r(2).∴∠ADE＝∠CDG.∴△ADE≌△CDG(SAS)．∴AE＝CG.∴CE＋CG＝CE＋AE＝AC＝eq \r(AD2＋CD2)＝eq \r((4\r(2))2＋(4\r(2))2)＝8.26．【解】(1)67.5°(2)∵AB＝AD＝CD＝B′C，∠BAD＝∠DCB′＝45°，∴∠ABD＝∠DB′C＝67.5°.∵四边形ABB′C是矩形，∴∠CB′B＝∠ABB′＝90°.∴∠DBB′＝∠DB′B＝22.5°.∴∠BDB′＝180°－∠DBB′－∠DB′B＝135°.(3)四边形ADCE是菱形．理由如下：∵AB＝AD＝CD＝B′C，∠BAD＝∠DCB′＝45°，∴∠ADB＝∠CDB′＝67.5°.∵点B，D，B′恰好在一条直线上，∴∠ADC＝45°.∴∠ADC＝∠BAD＝∠B′CD.∴AE∥CD，AD∥CE.∴四边形ADCE是平行四边形．又∵AD＝CD，∴四边形ADCE是菱形．