高考数学专题练 专题二 微专题18　解三角形中的范围与最值问题（含答案）

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典例1 (2023·长沙模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4sin A－bsin B＝csin(A－B)．
(1)求a的值；
(2)若△ABC的面积为eq \f(\r(3)b2＋c2－a2,4)，求△ABC周长的最大值．
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典例2 (2022·新高考全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知eq \f(cs A,1＋sin A)＝eq \f(sin 2B,1＋cs 2B).
(1)若C＝eq \f(2π,3)，求B； (2)求eq \f(a2＋b2,c2)的最小值．
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典例3 (2023·惠州模拟)平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形ABCD的顶点在同一平面上，已知AB＝BC＝CD＝2，AD＝2eq \r(3).
(1)当BD长度变化时，eq \r(3)cs A－cs C是否为一个定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
(2)记△ABD与△BCD的面积分别为S1和S2，请求出Seq \\al(2,1)＋Seq \\al(2,2)的最大值．
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[总结提升]
任何范围(最值)问题，其本质都是函数问题，解三角形中的范围(最值)问题也不例外．解三角形中的范围(最值)问题的解法主要有两种．一是用函数求解，二是利用基本不等式求解，常见的思路有：
(1)余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案．
(2)采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法．
(3)巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值．
(4)外接圆动点范围问题，可转化为动点到某个定点的距离问题，结合几何图形性质分析得出范围．
1．(2023·成都模拟)已知钝角△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝2，c＝3，则最大边a的取值范围为( )
A．(3,5) B．(3，eq \r(13))
C．(eq \r(13)，5) D．(4,5)
2．(2023·九江模拟)在△ABC中，已知eq \f(1,tan A)＝eq \f(1,tan B)＋eq \f(1,tan C)，则cs A的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1))
3．(2023·南京模拟)在钝角△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若c＝btan C，则sin A－3cs C的最小值为( )
A．－eq \f(15,8) B．－2 C．－eq \f(17,8) D．－eq \r(10)
4．在△ABC中，若AB＝2，AC＝eq \r(2)BC，则S△ABC的最大值是( )
A.eq \r(6) B．2eq \r(2) C．3 D．2eq \r(3)
5．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知B＝60°，b＝4，则( )
A．若c＝eq \r(3)，则该三角形有两解
B．若a＝eq \f(9,2)，则该三角形有两解
C．△ABC的周长有最大值12
D．△ABC的面积有最小值4eq \r(3)
6．(多选)(2023·重庆模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a＋b)(sin A－sin B)＝c(sin C＋sin B)，若角A的内角平分线AD的长为3，则4b＋c的可能取值有( )
A．21 B．24 C．27 D．36
7．在锐角△ABC中，若A＝2B，则eq \f(a,b)的取值范围是________________．
8.如图，某湖有一半径为100 m的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽略不计)，在其正东方向相距200 m的点A处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足AB＝AC，∠BAC＝90°.定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”，设∠AOB＝θ.则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为________．
9．(2023·信阳模拟)如图，在平面四边形ABCD中，BC＝1，CD＝eq \r(3)，且AB＝BD＝DA.
(1)若AB＝eq \r(3)，求cs∠ABC的值；
(2)求四边形ABCD面积的最大值．
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10．(2023·南宁模拟)请从①cs 2C＋cs C＝0；②sin2A＋sin2B－sin2C－sin Asin B＝0；
③ccs B＋(b－2a)cs C＝0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
(1)求角C；
(2)若c＝1，D为△ABC外接圆上的点，eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))2，求四边形ABCD面积的最大值．
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微专题18 解三角形中的范围与最值问题
[考情分析] 解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键点是如何建立起角与边的数量关系，并在解决问题的过程中感悟边角互化的思想方法，难度中等．
考点一 转化为三角函数求最值(范围)
典例1 (2023·长沙模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4sin A－bsin B＝csin(A－B)．
(1)求a的值；
(2)若△ABC的面积为eq \f(\r(3)b2＋c2－a2,4)，求△ABC周长的最大值．
解 (1)方法一 设4＝at，t>0，
在△ABC中，由正弦定理得a＝2R·sin A，
b＝2R·sin B，c＝2R·sin C，
代入已知化简得tsin2A－sin2B＝sin Csin(A－B)，
又在△ABC中有sin C＝sin(A＋B)，
即tsin2A－sin2B＝sin(A＋B)sin(A－B)，
因为sin(A＋B)sin(A－B)
＝－eq \f(1,2)(cs 2A－cs 2B)＝sin2A－sin2B，
即tsin2A－sin2B＝sin2A－sin2B，
所以t＝1，所以a＝4.
方法二 设4＝at，t>0，
在△ABC中，由正弦定理得a＝2R·sin A，
b＝2R·sin B，c＝2R·sin C，
代入已知化简得tsin2A－sin2B＝sin Csin(A－B)，
又在△ABC中有sin C＝sin(A＋B)，
即tsin2A－sin2B＝sin(A＋B)sin(A－B)，
因为sin(A＋B)sin(A－B)＝(sin Acs B＋cs Asin B)(sin Acs B－cs Asin B)
＝sin2Acs2B－cs2Asin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B，
即tsin2A－sin2B＝sin2A－sin2B，
所以t＝1，所以a＝4.
(2)在△ABC中有
S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(\r(3)b2＋c2－a2,4)，
则sin A＝eq \f(\r(3)b2＋c2－a2,2bc)＝eq \r(3)cs A，
即tan A＝eq \r(3)，
又A∈(0，π)，所以A＝eq \f(π,3)，
由正弦定理得eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(a,sin A)＝eq \f(4,sin \f(π,3))＝eq \f(8,\r(3))，
故b＝eq \f(8,\r(3))·sin B，c＝eq \f(8,\r(3))·sin C，
b＋c＝eq \f(8,\r(3))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin B＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－B))))
＝eq \f(8,\r(3))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin B＋\f(\r(3),2)cs B＋\f(1,2)sin B))
＝8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,6)))，
因为在△ABC中，A＝eq \f(π,3)，0