数学九年级下册第5章 二次函数5.1 二次函数课后复习题

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1 .如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，⊙的半径为，为⊙上一动点．
( 1 )点，的坐标分别为 ， ．
( 2 )是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标．若不存在，请说明理由．
( 3 )连接，若为的中点，连接，则的最大值 ．
2 .以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题．
(Ⅰ)在中，，，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到一组数据如下表：（单位：厘米）
(Ⅱ)根据学习函数的经验，选取上表中和的数据进行分析：
①，，以为坐标，在图①所示的坐标系中描出对应的点：
②连线：
观察思考
(Ⅲ)结合表中的数据以及所画的图象，猜想．当 时，最大；
(Ⅳ)进一步猜想：若中，，斜边(为常数，)，则 时，最大．
推理证明
(Ⅴ)对(Ⅳ)中的猜想进行证明．
( 1 )问题，在图①中完善(Ⅱ)的描点过程，并依次连线．
( 2 )问题，补全观察思考中的两个猜想：(Ⅲ) ；(Ⅳ) ．
( 3 )问题，证明上述(Ⅳ)中的猜想．
( 4 )问题，图②中折线是一个感光元件的截面设计草图，其中点，间的距离是厘米，厘米．．平行光线从区域射入，，线段、为感光区域，当的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值．
3 .如图，在中，，点在上，且，．点、同时从点出发，以相同的速度分别沿射线、射线运动．过点作的垂线段，使，连接．当点到达时，点、同时停止运动．设．和重合部分的面积为．关于的函数图象如图所示（其中，时，函数的解析式不同）．
( 1 )填空：的值为 ．
( 2 )求关于的函数表达式，并写出的取值范围．
4 .若二次函数的图象记为，其顶点为，二次函数的图象记为，其顶点为，且满足点在上，点在上，则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”．
( 1 )一个二次函数的“伴侣二次函数”有 个．
( 2 )①求二次函数与轴的交点．
②求以上述交点为顶点的二次函数的“伴侣二次函数”．
( 3 )试探究与满足的数量关系．
5 .如图，在平面直角坐标系中，的顶点，分别在轴，轴上，，，抛物线经过点，与轴交于点．
( 1 )求抛物线的表达式．
( 2 )点关于直线的对称点是否在抛物线上？请说明理由．
( 3 )延长交抛物线于点，连接，试说明的理由．
6 .已知：如图，在平行四边形中，，．．沿的方向匀速平移得到，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，当停止平移时，点也停止运动．如图，设运动时间为（）（），连接，，．解答下列问题：
( 1 )当为何值时，？
( 2 )设的面积为（），求与之间的函数关系式．
( 3 )是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
( 4 )是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由
7 .将一矩形纸片放在直角坐标系中，为原点，在轴上，，．
( 1 )如图，在上取一点，将沿折叠，使点落在边上的点，求直线的解析式．
( 2 )如图，在、边上选取适当的点、，将沿折叠，使点落在边上的点，过作于点，交于点．
① 求证：．
② 设，探求：与满足的等量关系式，并将用含的代数式表示（指出变量的取值范围）．
( 3 )在（）的条件下，当时，点在直线上，问在坐标轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由．
5.1 二次函数练习
一、解答题
1 .如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，⊙的半径为，为⊙上一动点．
( 1 )点，的坐标分别为 ， ．
( 2 )是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标．若不存在，请说明理由．
( 3 )连接，若为的中点，连接，则的最大值 ．
【答案】 (1)
(2)存在，或或或．
(3)
【解析】 (1)在中，令，则，令，则，
∴，．
(2)存在点，使得为直角三角形，
①当与⊙相切时，为直角三角形，如图（），
连接，
∵．，
∴，
∵，，
∴，
过作轴于，轴于，
则，四边形是矩形，
∴，
设，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
过作轴于，轴于，
同理求得．
②当时，为直角三角形，
过作轴于，
则，
∴，
∴，，
∴．
同理．
综上所述：点的坐标为：或
或
或．
(3)如图（），连接，∵，，
∴，
∴当最大时，的值最大，
∵当在的延长线上时，的值最大，最大值，
∴的最大值为
故答案为：．
2 .以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题．
(Ⅰ)在中，，，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到一组数据如下表：（单位：厘米）
(Ⅱ)根据学习函数的经验，选取上表中和的数据进行分析：
①，，以为坐标，在图①所示的坐标系中描出对应的点：
②连线：
观察思考
(Ⅲ)结合表中的数据以及所画的图象，猜想．当 时，最大；
(Ⅳ)进一步猜想：若中，，斜边(为常数，)，则 时，最大．
推理证明
(Ⅴ)对(Ⅳ)中的猜想进行证明．
( 1 )问题，在图①中完善(Ⅱ)的描点过程，并依次连线．
( 2 )问题，补全观察思考中的两个猜想：(Ⅲ) ；(Ⅳ) ．
( 3 )问题，证明上述(Ⅳ)中的猜想．
( 4 )问题，图②中折线是一个感光元件的截面设计草图，其中点，间的距离是厘米，厘米．．平行光线从区域射入，，线段、为感光区域，当的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值．
【答案】 (1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【解析】 (1)解：函数图象如图所示：
(2)解：(Ⅲ)观察图象可知，时，有最大值．
(Ⅳ)猜想：．
故答案为：，．
(3)解：设，，
在中，
，
，
，
，
，
关于的一元二次方程有实数根，
，
，
，，
，
当时，
，
，
当时，有最大值．
(4)解：延长交的延长线于，过点作于，过点作于，交于．
在中，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
在中，，
，
，，
四边形为矩形，
，
，
四边形是矩形，
，
，
在中，，
由问题可知，当时，的值最大，
时，的最大值为．
3 .如图，在中，，点在上，且，．点、同时从点出发，以相同的速度分别沿射线、射线运动．过点作的垂线段，使，连接．当点到达时，点、同时停止运动．设．和重合部分的面积为．关于的函数图象如图所示（其中，时，函数的解析式不同）．
( 1 )填空：的值为 ．
( 2 )求关于的函数表达式，并写出的取值范围．
【答案】 (1)
(2) 当时，，
当时，．
【解析】 (1)如图，
当时，与重叠部分的面积就是的面积，
∵，，
∴，
∴．
(2)由图象可知，的函数表达式有两种情况：
当时，，
当点运动到点时，，
∴．
当时，如图，，分别交于点，，过作，．
由题意得：，，
∵，，
∴．
∴．
∴．
由（）知：，，
∴．
∴．
∴．
设，
同理可证，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴

．
∴．
综上所述：当时，，
当时，．
4 .若二次函数的图象记为，其顶点为，二次函数的图象记为，其顶点为，且满足点在上，点在上，则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”．
( 1 )一个二次函数的“伴侣二次函数”有 个．
( 2 )①求二次函数与轴的交点．
②求以上述交点为顶点的二次函数的“伴侣二次函数”．
( 3 )试探究与满足的数量关系．
【答案】 (1)无数．
(2)①，．
②．
．
(3)当时，；当时，，为任意不为零的实数．
【解析】 (1)根据题意可知有无数个伴侣二次函数．
(2)∵，
∴顶点坐标为，
设以为顶点且经过的抛物线的函数关系式为，
将，代入得，
∴二次函数的一个“伴侣二次函数”为，
同理可求以为顶点且经过的抛物线的函数关系式，
即二次函数的另一个“伴侣二次函数”为．
(3)设，
其顶点为，
，其顶点为，
根据“伴侣二次函数”定义可得，
∴，
当时，；当时，，为任意不为零的实数．
5 .如图，在平面直角坐标系中，的顶点，分别在轴，轴上，，，抛物线经过点，与轴交于点．
( 1 )求抛物线的表达式．
( 2 )点关于直线的对称点是否在抛物线上？请说明理由．
( 3 )延长交抛物线于点，连接，试说明的理由．
【答案】 (1)．
(2)点关于直线的对称点在抛物线上．
(3)证明见解析．
【解析】 (1)把点的坐标代入抛物线的表达式，得，
解得，
∴抛物线的表达式为．
(2)连接，过点作轴于点，则．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
设，则，则有，
解得，
∴，
当时，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴点、、在同一直线上，
∴点与点关于直线对称，
∴点关于直线的对称点在抛物线上．
(3)过点作轴于点，
设直线的表达式为，则，
解得，
∴，
代入抛物线的表达式．
解得或，
当时，
∴点的坐标为，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
6 .已知：如图，在平行四边形中，，．．沿的方向匀速平移得到，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，当停止平移时，点也停止运动．如图，设运动时间为（）（），连接，，．解答下列问题：
( 1 )当为何值时，？
( 2 )设的面积为（），求与之间的函数关系式．
( 3 )是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
( 4 )是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由
【答案】 (1)．
(2)．
(3)当时，．
(4)当时，．
【解析】 (1)在中，由勾股定理得：，
由平移性质可得，
∵，
∴，
∴，即，
解得．
(2)作于点，于点，
由可得，
则由勾股定理易求，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
求得：，．
∵，
∴到的距离，
∴的面积．
过点作于，如图
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
(3)∵，
∴，
若，则，
即：，
整理得：，
解得．
答：当时，．
∵，
∴，
∴，
∴，∴．
(4)若，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即：，
由，
∴，
故，
整理得，
解得，．
答：当时，．
7 .将一矩形纸片放在直角坐标系中，为原点，在轴上，，．
( 1 )如图，在上取一点，将沿折叠，使点落在边上的点，求直线的解析式．
( 2 )如图，在、边上选取适当的点、，将沿折叠，使点落在边上的点，过作于点，交于点．
① 求证：．
② 设，探求：与满足的等量关系式，并将用含的代数式表示（指出变量的取值范围）．
( 3 )在（）的条件下，当时，点在直线上，问在坐标轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】 (1)．
(2)①证明见解析．
②．
(3)或．
【解析】 (1)方法:设或，则，，，
由勾股定理得，则．
在中由勾股定理得，
解得，
∴点的坐标为．
点的坐标为．
∴．
(2)①如图（）连接交于，由折叠可知
垂直平分即，
由，从而得出．
∴四边形是平行四边形．
从而．
②∵
∴四边形是菱形．
∵，
∴，．
∴．
∵，，，
∴．
∴．
∴．
(3)如图中，时，，即点坐标，
∴，
当为对角线时，点与重合，，
∴，
∴此时点坐标．
②为边时，∵四边形是平行四边形，
又∵四边形是平行四边形，
∴点与重合，点与点重合，
∴点坐标，
综上所述，以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，点坐标或．