初中数学苏科版九年级下册第5章 二次函数5.2 二次函数的图象和性质随堂练习题

这是一份初中数学苏科版九年级下册第5章 二次函数5.2 二次函数的图象和性质随堂练习题，共23页。试卷主要包含了单选，填空，解答题等内容，欢迎下载使用。

1 .二次函数图象的顶点坐标为（ ）．
A.
B.
C.
D.
2 .如图是二次函数的部分图象，使成立的的取值范围是（ ）．
A.
B.
C.
D.或
3 .抛物线的顶点坐标为（ ）．
A.
B.
C.
D.
4 .若二次函数的图象的对称轴是经过点且平行于轴的直线，则关于的方程的解为（ ）．
A.，
B.，
C.，
D.，
5 .已知抛物线过、两点，则下列关系式一定正确的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
6 .已知二次函数，当时，函数值为，当时，函数值为，若，则、的大小关系是（ ）．
A.
B.
C.
D.无法确定
7 .对于二次函数，下列说法正确的是( )
A.当时，随的增大而增大
B.当时，有最大值
C.图象的顶点坐标为
D.图象与轴有两个交点
8 .对于二次函数，下列说法正确的是（ ）．
A.当时，随的增大而增大
B.当时，有最大值
C.图象的顶点坐标为
D.图象与轴有两个交点
9 .已知二次函数，当时，随的增大而增大，而的取值范围是（ ）．
A.
B.
C.
D.
10 .如图，二次函数的图象经过点，，，现有下面四个推断：
①抛物线开口向下；
②当时，取最大值；
③当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根；
④直线经过点，，当时，的取值范围是．
其中推断正确的是（ ）．
A.①②
B.①③
C.①③④
D.②③④
二、填空
1 .二次函数的图象的顶点坐标是 ．
2 .二次函数的图象的顶点坐标是 ．
3 .、、是实数，点、在二次函数的图象上，则、的大小关系是 ．（用“”或“”号填空）
4 .已知抛物线 的顶点为 ，若点 ， 在抛物线上，则 （填“”、“ ”或“ ”）．
5 .如果抛物线的开口向上，那么的取值范围是 ．
6 .如图，抛物线与轴交于点、，顶点为，对称轴为直线，给出下列结论：①；②若点的坐标为，则的面积可以等于；③，是抛物线上两点，若，则；④若抛物线经过点，则方程的两根为，．其中正确结论的序号为 ．
7 .我们已经学习过反比例函数的图象和性质，请回顾研究它的过程，对函数进行探索．下列结论：①图象在第一、二象限，②图象在第一、三象限，③图象关于轴对称，④图象关于原点对称，⑤当时，随增大而增大；当时，随增大而增大，⑥当时，随增大而减小；当时，随增大而增大，是函数的性质及它的图象特征的是： ．（填写所有正确答案的序号）
8 .已知二次函数（其中是自变量），当时，随的增大而增大，且时，的最大值为，则的值为 ．
三、解答题
1 .如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴、轴上，点坐标为，二次函数的图象经过点，顶点为点．
( 1 )当时，顶点到轴的距离等于 ．
( 2 )点是二次函数的图象与轴的一个公共点（点与点不重合），求的最大值及取得最大值时的二次函数表达式．
( 3 )矩形的对角线、交于点，直线平行于轴，交二次函数的图象于点、，连接、，当时，求的值．
2 .设抛物线与轴交于点和．
( 1 )若，求，的值．
( 2 )若，求证:抛物线的顶点在直线上．
( 3 )抛物线上有两点和，若，且，试比较和的大小．
3 .已知是的二次函数，该函数的图象经过点、、．
( 1 )求该二次函数的表达式，画出它的大致图象并标注顶点及其坐标．
( 2 )结合图象，回答下列问题：
① 当，的取值范围是 ．
② 当时，求的最大值（用含的代数式表示）．
③ 是否存在实数、，使得当时，？若存在，求出、；若不存在，请说明理由．
4 .如图①，抛物线与直线交于点、，其中点在轴上，它们与轴交点分别为和，为抛物线的顶点，且点纵坐标为，抛物线的对称轴交直线于点．
( 1 )求点的坐标，并用含的代数式表示点的坐标．
( 2 )如图②，当四边形为平行四边形时．
① 求的值．
② 设、为线段上的点（含端点），横坐标分别为，（为正整数），轴交抛物线于点．问是否存在正整数，使满足的点有两个？若存在，求出；若不存在，请说明理由．
5 .已知：二次函数（为常数）．
( 1 )请写出该二次函数的三条性质．
( 2 )在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个交点，求的取值范围．
6 .在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，抛物线经过点，将点向右平移个单位长度，得到点．
( 1 )求点的坐标．
( 2 )求抛物线的对称轴．
( 3 )若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．
5.2 二次函数的图象和性质练习
一、单选
1 .二次函数图象的顶点坐标为（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【解析】 二次函数中，
．
当时，．
∴顶点坐标为．
故选．
2 .如图是二次函数的部分图象，使成立的的取值范围是（ ）．
A.
B.
C.
D.或
【答案】 C
【解析】 由图象可知：当时，二次函数不在下方部分的自变量满足．
故选．
3 .抛物线的顶点坐标为（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 A
【解析】 抛物线，∴抛物线的顶点为．
4 .若二次函数的图象的对称轴是经过点且平行于轴的直线，则关于的方程的解为（ ）．
A.，
B.，
C.，
D.，
【答案】 D
【解析】 ∵对称轴是经过点且平行于轴的直线，
∴．
解得．
解方程，
解得，．
5 .已知抛物线过、两点，则下列关系式一定正确的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 C
【解析】 解：抛物线的解析式为，
关于轴对称的点的坐标为．
又， ，
．
故选：．
6 .已知二次函数，当时，函数值为，当时，函数值为，若，则、的大小关系是（ ）．
A.
B.
C.
D.无法确定
【答案】 A
【解析】 由题可知，该抛物线的开口向下，对称轴为直线，图象上越靠近对称轴的点对应的函数值越大．
故选．
7 .对于二次函数，下列说法正确的是( )
A.当时，随的增大而增大
B.当时，有最大值
C.图象的顶点坐标为
D.图象与轴有两个交点
【答案】 B
【解析】 解:∵二次函数可化为，
又∵
∴当时，二次函数的最大值为 .
故选B.
8 .对于二次函数，下列说法正确的是（ ）．
A.当时，随的增大而增大
B.当时，有最大值
C.图象的顶点坐标为
D.图象与轴有两个交点
【答案】 B
【解析】 ∵二次函数可化为，
又∵，
∴当时，二次函数的最大值为．
9 .已知二次函数，当时，随的增大而增大，而的取值范围是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 D
【解析】 ∵当时，随增大而增大，
∴对称轴在直线左侧，即，
又∵，，
∴，解得．
10 .如图，二次函数的图象经过点，，，现有下面四个推断：
①抛物线开口向下；
②当时，取最大值；
③当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根；
④直线经过点，，当时，的取值范围是．
其中推断正确的是（ ）．
A.①②
B.①③
C.①③④
D.②③④
【答案】 B
【解析】 由函数图象可知，，抛物线开口向下，故①正确；
抛物线对称轴并不是，当时，取不到最大值，故②错误；
当时，方程必有两个不相等的实数根，故③正确；
直线经过，，当时，的取值范围才是，故④错误；
∴正确的是①③．
故选．
二、填空
1 .二次函数的图象的顶点坐标是 ．
【答案】
【解析】 ∵，
∴顶点坐标为．
故答案为：．
2 .二次函数的图象的顶点坐标是 ．
【答案】
【解析】 运用配方法：，故其图象的顶点坐标为．
3 .、、是实数，点、在二次函数的图象上，则、的大小关系是 ．（用“”或“”号填空）
【答案】
【解析】 ∵二次函数的图象的对称轴为，二次项系数，
∴抛物线的开口向上，在对称轴的右边，随的增大而增大，
∵，点、在二次函数的图象上，
∴．
4 .已知抛物线 的顶点为 ，若点 ， 在抛物线上，则 （填“”、“ ”或“ ”）．
【答案】
【解析】 ∵抛物线的顶点为 ，
∴该抛物线的开口向上，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
∵点，在抛物线上，，，
∴，
故答案为：．
5 .如果抛物线的开口向上，那么的取值范围是 ．
【答案】
【解析】 因为抛物线的开口向上，
所以，即，故的取值范围是．
6 .如图，抛物线与轴交于点、，顶点为，对称轴为直线，给出下列结论：①；②若点的坐标为，则的面积可以等于；③，是抛物线上两点，若，则；④若抛物线经过点，则方程的两根为，．其中正确结论的序号为 ．
【答案】 ①④
【解析】 ①抛物线的对称轴在轴右侧，则，而，故，故正确；
②，得：
，则，即与图象不符，故错误；③
函数的对称轴为，若，
则，则点离函数对称轴远，
故，故错误；
④抛物线经过点，
则过点，
根据函数的对称轴该抛物线也过点，
故方程的两根为，，故正确．
故答案为：①④．
7 .我们已经学习过反比例函数的图象和性质，请回顾研究它的过程，对函数进行探索．下列结论：①图象在第一、二象限，②图象在第一、三象限，③图象关于轴对称，④图象关于原点对称，⑤当时，随增大而增大；当时，随增大而增大，⑥当时，随增大而减小；当时，随增大而增大，是函数的性质及它的图象特征的是： ．（填写所有正确答案的序号）
【答案】 ①③⑥
【解析】 列表：
画图：
由函数的图象可知此图象具有以下性质：
函数的图象在一、二象限，当时，随增大而减小；当时，随增大而增大；函数的图象关于轴对称．
8 .已知二次函数（其中是自变量），当时，随的增大而增大，且时，的最大值为，则的值为 ．
【答案】
【解析】 二次函数（其中是自变量）的对称轴是直线，
∵当时，随的增大而增大，
∴，
∵时，的最大值为，
∴时，，
∴，
∴，或（不合题意舍去）．
故答案为：．
三、解答题
1 .如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴、轴上，点坐标为，二次函数的图象经过点，顶点为点．
( 1 )当时，顶点到轴的距离等于 ．
( 2 )点是二次函数的图象与轴的一个公共点（点与点不重合），求的最大值及取得最大值时的二次函数表达式．
( 3 )矩形的对角线、交于点，直线平行于轴，交二次函数的图象于点、，连接、，当时，求的值．
【答案】 (1)
(2)抛物线的表达式为．
(3)．
【解析】 (1)当时，．
将点的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：，
∴抛物线的解析式．
∴，
∴，
∴顶点与轴的距离为．
(2)将代入抛物线的解析式得：，解得或，
∵，
∴，
∴，
∴的最大值为，此时的值为，
∴抛物线的表达式为．
(3)过作，垂足为，过点作，垂足为．
∵≌，
∴，．
∵，
∴，即．
把点和坐标代入抛物线的解析式得，
解得：，
∵，
∴．
2 .设抛物线与轴交于点和．
( 1 )若，求，的值．
( 2 )若，求证:抛物线的顶点在直线上．
( 3 )抛物线上有两点和，若，且，试比较和的大小．
【答案】 (1)，．
(2)证明见解析．
(3)时，，，．
【解析】 (1)把代入得，，故．综上，．
(2)易知抛物线顶点为，把代入，得，故顶点在直线上．
(3)由，知，又，
得，
即点离对称轴较近；
故时，，，．
3 .已知是的二次函数，该函数的图象经过点、、．
( 1 )求该二次函数的表达式，画出它的大致图象并标注顶点及其坐标．
( 2 )结合图象，回答下列问题：
① 当，的取值范围是 ．
② 当时，求的最大值（用含的代数式表示）．
③ 是否存在实数、，使得当时，？若存在，求出、；若不存在，请说明理由．
【答案】 (1)，画图见解析，顶点坐标．
(2)①
②或或．
③存在，或．
【解析】 (1)设过，，，
∵，
∴，
∴，
顶点坐标．
如图所示：
(2)①当时，的最小值取在顶点处，
当时，有最小值；相较于离对称轴更远，
当时，取最大值，
∴．
②（）当，即时，与离对称轴距离一样远，
∴当或时，此时有最大值，
（）当时，此时离对称轴远，
即时，有最大值为，
（）当时，此时，离对称轴远，
即时，有最大值为．
③根据图象，若时，，
则，此时，
结合图象，当时，，
当时，，
∴或者，
整理得，
∵，
∴，即，
将代入，
解得或者（舍）．
综上，或．
4 .如图①，抛物线与直线交于点、，其中点在轴上，它们与轴交点分别为和，为抛物线的顶点，且点纵坐标为，抛物线的对称轴交直线于点．
( 1 )求点的坐标，并用含的代数式表示点的坐标．
( 2 )如图②，当四边形为平行四边形时．
① 求的值．
② 设、为线段上的点（含端点），横坐标分别为，（为正整数），轴交抛物线于点．问是否存在正整数，使满足的点有两个？若存在，求出；若不存在，请说明理由．
【答案】 (1)．
(2)①．
②不存在，证明见解析．
【解析】 (1)∵抛物线的顶点纵坐标为4
∴，
解得：，，
∵抛物线对称轴在轴右侧，
∴，
解得：，
∴，
∴抛物线为，顶点，
∵时，解得：，，
∴，
∵整理得：，
∴，
∴，
∴，
∴．
(2)①∵，，
∴直线解析式为，
∵四边形为平行四边形，
∴，即直线平行直线，
∴．
②如图，过点作于点，
∴，
∴，
∴直线：
∵点在线段上横坐标为，轴交抛物线于点，
∴，，
∵点在线段上横坐标为
∴，，
∴
，
∵中，，
∴，
∴，整理得：，
∵满足的点有两个，
∴关于的方程有两个不相等的实数根，
∴
解得：，
∴不存在正整数，使满足的点有两个．
5 .已知：二次函数（为常数）．
( 1 )请写出该二次函数的三条性质．
( 2 )在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个交点，求的取值范围．
【答案】 (1)二次函数开口向上；当时，随的增大而增大；在时，二次函数取最小值．
(2)．
【解析】 (1)该二次函数的三条性质，
∵的系数为，
∴二次函数开口向上性质①，
∵对称轴为，
∴当时，随的增大而减小，
当时，随的增大而增大性质②，
在时，二次函数取最小值性质③．
(2)，
整理得，
，
∴，
当时，，
解得，
综上．
6 .在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，抛物线经过点，将点向右平移个单位长度，得到点．
( 1 )求点的坐标．
( 2 )求抛物线的对称轴．
( 3 )若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．
【答案】 (1)．
(2)对称轴．
(3)或或．
【解析】 (1)∵与轴，轴交点、，
令，
∴，
∴，
∵将点向右平移个单位得到，
∴．
(2)令，
∴，
∴，
将代入中，
得到，
∴，
∴对称轴．
(3)，
抛物线与轴交于，两点，
①当时，将代入抛物线解析式，
得，
即（如图），
②当时，将代入抛物线解析式，
得，
即，
当抛物线的顶点过时，，
即或（如图），
综上所述，或或．