数学九年级下册5.4 二次函数与一元二次方程课时训练

这是一份数学九年级下册5.4 二次函数与一元二次方程课时训练，共45页。试卷主要包含了单选，填空，解答题等内容，欢迎下载使用。

1 .若二次函数的对称轴是，则关于的方程的解为（ ）．
A.，
B.，
C.，
D.，
2 .已知二次函数(为常数)的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根是( )
A.，
B.，
C.，
D.，
3 .二次函数的图象如图，下列四个结论：
；；关于的一元二次方程没有实数根；(为常数)．其中正确结论的个数是（ ）．
A.个
B.个
C.个
D.个
4 .已知二次函数（为常数）的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根是（ ）．
A.，
B.，
C.，
D.，
5 .若二次函数的图象经过点，则关于的方程的解为（ ）．
A.，
B.，
C.，
D.，
6 .如图，抛物线的顶点坐标，与轴的一个交点，直线与抛物线交于，两点，下列结论：
①；
②；
③抛物线与轴的另一个交点坐标是；
④方程有两个相等的实数根；
⑤当时，．
其中正确的是（ ）．
A.①②③
B.①③⑤
C.①④⑤
D.②③④
7 .“一般的，如果二次函数的图象与轴有两个公共点，那么一元二次方程有两个不相等的实数根．﹣﹣苏科版《数学》九年级（下册）”参考上述教材中的话，判断方程实数根的情况是（ ）．
A.有三个实数根
B.有两个实数根
C.有一个实数根
D.无实数根
8 .如图，二次函数的图象经过点，，，现有下面四个推断：
①抛物线开口向下；
②当时，取最大值；
③当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根；
④直线经过点，，当时，的取值范围是．
其中推断正确的是（ ）．
A.①②
B.①③
C.①③④
D.②③④
9 .二次函数的图象如图，对称轴为直线，若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是（ ）．
A.
B.
C.
D.
10 .如图，已知顶点为的抛物线经过点，则下列结论中错误的是（ ）．
A.
B.
C.若点，在抛物线上，则
D.关于的一元二次方程的两根为和
二、填空
1 .若二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的一个解为，另一个解为 ．
2 .二次函数中的自变量与函数值的部分对应值如下表：
则的解为 ．
3 .二次函数的图象如图，若一元二次方程 有实数根，则的取值范围是 .
4 .二次函数的图象如图所示，根据图象可知：方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ．
5 .已知二次函数（）中，函数值与自变量的部分对应值如下表：
则关于的一元二次方程的根是 ．
6 .如图，是二次函数（）的图象的一部分，给出下列命题：
①；②；③的两根分别为和；④．
其中正确的命题是 ．（填写正确命题的序号）
7 .已知二次函数中，函数值与自变量的部分对应值如下表：
则关于的一元二次方程的根是 ．
8 .如图，二次函数的图象经过点，，那么一元二次方程的根是 ．
三、解答题
1 .如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程的解是 ．
2 .已知二次函数（为常数）．
( 1 )求证：不论为何值，该二次函数图像与轴没有公共点．
( 2 )如果把该函数图像沿轴向上平移个单位后，得到的函数图像与轴只有一个公共点，试求 的值．
3 .已知二次函数（是常数）．
( 1 )求证：不论为何值，该二次函数的图象与轴总有公共点．
( 2 )若把该二次函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得图象的函数表达式为，则 ．
( 3 )若该二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，顶点为．当的面积与的面积相等时，求的值．
4 .年月华为瓦特实验室试验一种新型快充电池，充电时电池的电量是充电时间（分）的一次函数，其中．已知充电前电量为，测得充电分钟后电量达到，充满电后手机马上开始连续工作，工作阶段电池电量是工作时间的二次函数，如图所示，是该二次函数顶点，又测得充满电后连续工作了分钟，这时电量降为，厂商规定手机充电时不能工作，电量小于时手机部分功能将被限制，不能正常工作．
( 1 )求充电时和充电后使用阶段关于的函数表达式（不用写出取值范围）．
( 2 )为获得更多实验数据，实验室计划在首次充满电并使用分钟后停止工作再次充电，充电分钟后再次工作，假定所有的实验条件不变请问第二次工作的时间多长（电量到就停止工作）？
5 .如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，为顶点，其中点的坐标为，点的坐标为．
( 1 )求该二次函数的表达式．
( 2 )点是线段上的一点，过点作轴的垂线，垂足为，且，求点的坐标．
( 3 )试问在该二次函数图象上是否存在点，使得的面积是的面积的?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6 .已知：如图，在平行四边形中，，．．沿的方向匀速平移得到，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，当停止平移时，点也停止运动．如图，设运动时间为（）（），连接，，．解答下列问题：
( 1 )当为何值时，？
( 2 )设的面积为（），求与之间的函数关系式．
( 3 )是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
( 4 )是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由
7 .如图，二次函数的图象与轴相交于点，，与轴相交于点．
( 1 )求该函数的表达式．
( 2 )点为该函数在第一象限内的图象上一点，过点作，垂足为点，连接．
① 求线段的最大值．
② 若以点、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
8 .如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，，点在函数图象上，轴，且,直线是抛物线的对称轴，是抛物线的顶点．
( 1 )求、的值．
( 2 )如图①，连接，线段上的点关于直线的对称点恰好在线段上，求点的坐标．
( 3 )如图②，动点在线段上，过点作轴的垂线分别与交于点，与抛物线交于点．试问：抛物线上是否存在点，使得与的面积相等，且线段的长度最小？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
9 .如图，抛物线与轴交于点，两点，直线与轴交于点，与轴交于点．点是轴上方的抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为．
( 1 )求抛物线的解析式．
( 2 )若，求的值．
( 3 )若点是点关于直线的对称点，是否存在点，使点落在轴上？若存在，请直接写出相应的点的坐标；若不存在，请说明理由．
10 .如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
( 1 )求抛物线的函数表达式．
( 2 )若点是轴上的一点，且以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
( 3 )如图，轴与抛物线相交于点，点是直线下方抛物线上的动点，过点且与轴平行的直线与，分别交于点，，试探究当点运动到何处时，四边形的面积最大，求点的坐标及最大面积．
( 4 )若点为抛物线的顶点，点是该抛物线上的一点，在轴，轴上分别找点，，使四边形的周长最小，求出点，的坐标．
5.4 二次函数与一元二次方程练习
一、单选
1 .若二次函数的对称轴是，则关于的方程的解为（ ）．
A.，
B.，
C.，
D.，
【答案】 D
【解析】 ∵二次函数的对称轴是，
∴，解得，
∴关于关于的方程可化为，
即，解得，．
2 .已知二次函数(为常数)的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根是( )
A.，
B.，
C.，
D.，
【答案】 B
【解析】 解：二次函数的解析式是(为常数)，
该抛物线的对称轴是：．
又二次函数(为常数)的图象与轴的一个交点为，
根据抛物线的对称性质知，该抛物线与轴的另一个交点的坐标是，
关于的一元二次方程的两实数根分别是：，．
故选B．
3 .二次函数的图象如图，下列四个结论：
；；关于的一元二次方程没有实数根；(为常数)．其中正确结论的个数是（ ）．
A.个
B.个
C.个
D.个
【答案】 D
【解析】 因为二次函数的对称轴是直线，由图象可得左交点的横坐标大于，小于，
所以，
，
当时，，
即，
，
，
，
，
所以此选项结论正确；
抛物线的对称轴是直线，
的值最大，
即把代入得：，
，
，
所以此选项结论不正确；
，
，
，
，
，
，
，
关于的一元二次方程有实数根；
由图象得：当时，随的增大而减小，
当为常数时，，
当的值大于的函数值，
即，
，
所以此选项结论不正确；
所以正确结论的个数是个．
4 .已知二次函数（为常数）的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根是（ ）．
A.，
B.，
C.，
D.，
【答案】 B
【解析】 ∵二次函数的解析式是（为常数），
∴该抛物线的对称轴是直线．
又∵二次函数（为常数）的图象与轴的一个交点为，
∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与轴的另一个交点的坐标是，
∴关于的一元二次方程的两实数根分别是：，．
故选．
5 .若二次函数的图象经过点，则关于的方程的解为（ ）．
A.，
B.，
C.，
D.，
【答案】 C
【解析】 ∵二次函数的图象经过点，
∴方程一定有一个解为：，
∵抛物线的对称轴为：直线，
∴二次函数的图象与轴的另一个交点为：，
∴方程的解为：，．
6 .如图，抛物线的顶点坐标，与轴的一个交点，直线与抛物线交于，两点，下列结论：
①；
②；
③抛物线与轴的另一个交点坐标是；
④方程有两个相等的实数根；
⑤当时，．
其中正确的是（ ）．
A.①②③
B.①③⑤
C.①④⑤
D.②③④
【答案】 C
【解析】 ∵抛物线的顶点坐标，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，所以①正确．
∵抛物线开口向下，
∴，
∴，
∵抛物线与轴的交点在轴上方，
∴，
∴，所以②错误．
∵抛物线与轴的一个交点为，
而抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线与轴的另一个交点为，所以③错误．
∵抛物线的顶点坐标，
∴时，二次函数有最大值，
∴方程有两个相等的实数根，所以④正确．
∵抛物线与直线交于，点，
∴当时，，所以⑤正确．
7 .“一般的，如果二次函数的图象与轴有两个公共点，那么一元二次方程有两个不相等的实数根．﹣﹣苏科版《数学》九年级（下册）”参考上述教材中的话，判断方程实数根的情况是（ ）．
A.有三个实数根
B.有两个实数根
C.有一个实数根
D.无实数根
【答案】 C
【解析】 将方程变形，
设，，
在坐标系中画出两个函数的图象如图所示：
可看出两个函数有一个交点．
故方程有一个实数根．
8 .如图，二次函数的图象经过点，，，现有下面四个推断：
①抛物线开口向下；
②当时，取最大值；
③当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根；
④直线经过点，，当时，的取值范围是．
其中推断正确的是（ ）．
A.①②
B.①③
C.①③④
D.②③④
【答案】 B
【解析】 由函数图象可知，，抛物线开口向下，故①正确；
抛物线对称轴并不是，当时，取不到最大值，故②错误；
当时，方程必有两个不相等的实数根，故③正确；
直线经过，，当时，的取值范围才是，故④错误；
∴正确的是①③．
故选．
9 .二次函数的图象如图，对称轴为直线，若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 C
【解析】 对称轴为直线，解得，
所以，二次函数解析式为，，
当时，；当时，，
∵相当于与直线的交点的横坐标，
∴当时，在的范围内有解．
故选．
10 .如图，已知顶点为的抛物线经过点，则下列结论中错误的是（ ）．
A.
B.
C.若点，在抛物线上，则
D.关于的一元二次方程的两根为和
【答案】 C
【解析】 ．∵抛物线与轴有两个交点，∴，∴，故正确；
．∵抛物线的顶点坐标为，∴抛物线上所有点的纵坐标都大于或等于，故正确；
．根据抛物线的对称性可知，当时的函数值与时的函数值相等，此函数抛物线开口向上，
∴在对称轴的左侧随的增大而减小，，
∴，故错误；
．∵抛物线的顶点坐标为，
∴可设二次函数的解析式为，
代入点得出函数解析式为，
令，可得，解方程得或，故正确．
故选．
．图象与轴有两个交点，方程有两个不相等的实数根，，所以，故选项正确；
．抛物线的开口向上，函数有最小值，因为抛物线的最小值为，所以，故选项正确；
．抛物线的对称轴为直线，因为离对称轴的距离大于离对称轴的距离，所以，故选项错误；
．根据抛物线的对称性可知，关于对称轴的对称点为，所以关于的一元二次方程的两根为和，故选项正确．
故选．
二、填空
1 .若二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的一个解为，另一个解为 ．
【答案】
【解析】


，
∴该抛物线的对称轴是直线，
∵一元二次方程的一个解为，
∴，
∴．
故答案为：．
2 .二次函数中的自变量与函数值的部分对应值如下表：
则的解为 ．
【答案】 或
【解析】 ∵二次函数过点，
∴此抛物线的对称轴为：直线，
∵此抛物线过点，
∴此抛物线与轴的另一个交点为：，
∴的解为：或．
3 .二次函数的图象如图，若一元二次方程 有实数根，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】 由函数的图象可知，的最小值为，
∴一元二次方程有实数根，
即，
∴，
∴的取值范围是．
4 .二次函数的图象如图所示，根据图象可知：方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】 根据题意得：二次函数的图象与轴的交点为：、，
设二次函数，
把点代入得：，
∴二次函数的解析式为：，
即．
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
，
解得：．
5 .已知二次函数（）中，函数值与自变量的部分对应值如下表：
则关于的一元二次方程的根是 ．
【答案】 ，
【解析】 ∵，的函数值都是，相等，
∴二次函数的对称轴为直线，
∵时，，
∴时，，
∴方程的解是，．
故答案为：，．
6 .如图，是二次函数（）的图象的一部分，给出下列命题：
①；②；③的两根分别为和；④．
其中正确的命题是 ．（填写正确命题的序号）
【答案】 ①③
【解析】 ∵时，，
∴，所以①正确；
∵，
∴，所以②错误；
∵点关于直线对称的点的坐标为，
∴抛物线与轴的交点坐标为和，
∴的两根分别为和，所以③正确；
∵抛物线与轴的交点在轴下方，
∴，
而，，
∴．
∴．
∵，
∴，所以④错误．
故正确的命题是①③．
7 .已知二次函数中，函数值与自变量的部分对应值如下表：
则关于的一元二次方程的根是 ．
【答案】 ，
【解析】 ，的函数值都是，相等，
二次函数的对称轴为直线，
时，，
时，，
方程的解是，．
故答案为：，．
8 .如图，二次函数的图象经过点，，那么一元二次方程的根是 ．
【答案】 ，
【解析】 ∵二次函数的图象经过点，，
∴，
，得
，
，
把代入，得


，
把，代入一元二次方程，得


，
，．
故答案为：，．
三、解答题
1 .如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程的解是 ．
【答案】 ，
【解析】 解：抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，
方程组的解为，，
所以方程的解是，．
故答案为，．
2 .已知二次函数（为常数）．
( 1 )求证：不论为何值，该二次函数图像与轴没有公共点．
( 2 )如果把该函数图像沿轴向上平移个单位后，得到的函数图像与轴只有一个公共点，试求 的值．
【答案】 (1)证明见解析．
(2)．
【解析】 (1)令，，
则，，，
∴且，
∵，∴，即，
∴一元二次方程没有实数根，
∴不论为何值，该二次函数图像与轴没有公共点．
(2)将二次函数配方得：
，
∴该二次函数图像的顶点坐标为，
∵将函数图像沿轴向上平移个单位后，得到的函数图像与轴只有一个公共点，
∴，
解得． （其它解法参照给分）
3 .已知二次函数（是常数）．
( 1 )求证：不论为何值，该二次函数的图象与轴总有公共点．
( 2 )若把该二次函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得图象的函数表达式为，则 ．
( 3 )若该二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，顶点为．当的面积与的面积相等时，求的值．
【答案】 (1)证明见解析．
(2)
(3)或或．
【解析】 (1)∵



，
∴方程有实数根．
即不论为何值时，该二次函数的图像与轴总有公共点．
(2)，
其顶点坐标为，顶点坐标为，
即将向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到，
即，
∴．
故答案为：．
(3)令，
即，
，，
令，，
∴，，，
由（）得，
∴，
作轴
∵轴，、在轴上（不重合，即），
∴，，
∵，
∴，即即，
①当且时，，
解得：，．
②当时，，
解得：，
综上所述或或．
4 .年月华为瓦特实验室试验一种新型快充电池，充电时电池的电量是充电时间（分）的一次函数，其中．已知充电前电量为，测得充电分钟后电量达到，充满电后手机马上开始连续工作，工作阶段电池电量是工作时间的二次函数，如图所示，是该二次函数顶点，又测得充满电后连续工作了分钟，这时电量降为，厂商规定手机充电时不能工作，电量小于时手机部分功能将被限制，不能正常工作．
( 1 )求充电时和充电后使用阶段关于的函数表达式（不用写出取值范围）．
( 2 )为获得更多实验数据，实验室计划在首次充满电并使用分钟后停止工作再次充电，充电分钟后再次工作，假定所有的实验条件不变请问第二次工作的时间多长（电量到就停止工作）？
【答案】 (1)，．
(2)第二次工作的时间为分钟．
【解析】 (1)设充电时的函数表达式为，
将代入
得：，
即充电时函数表达式为：，
因为二次函数顶点为，且过点，
设，
再将代入
得：，
所以．
(2)开始充电时，电量为，充电速率不变，充电分钟，
此时电量，
当时，
解得：（舍去）或，
把代入二次函数解析式得：
，
解得：（舍去）或，
即：第二次工作的时间为，
答：第二次工作的时间为分钟．
5 .如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，为顶点，其中点的坐标为，点的坐标为．
( 1 )求该二次函数的表达式．
( 2 )点是线段上的一点，过点作轴的垂线，垂足为，且，求点的坐标．
( 3 )试问在该二次函数图象上是否存在点，使得的面积是的面积的?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】 (1)．
(2)．
(3)存在，或．
【解析】 (1)依题意，设二次函数的解析式为，
将点代入得，得，
∴二次函数的解析式为：．
(2)依题意，点，点，设直线的解析式，
代入得，解得，
∴线段所在的直线为，
设点的坐标为：，
∴，，
∵，
∴，
整理得
解得，（舍去）,
故点的纵坐标为，
∴点的坐标为．
(3)
存在点，当点在轴的上方时，
设点的坐标为，
∵点的坐标为，对称轴，
∴点的坐标为，
∴设所在的直线解析式为，
代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
∴的距离为，
过点作直线的垂线，交点垂足为，
得，化简得
由上式整理得，，
∴，
∴点到的距离为：，
由（）知直线的解析式为：，
∴的距离为，
∴同理得点至的距离为：，
∴，
整理得，
∵点在二次函数上，
∴，
代入得，
整理得，
解得，（舍去），
此时点的坐标为，
当点在轴下方时，如图所示，
∵，
此时，的直线经过原点，设直线的解析式为，
将点代入得，，故，
则有，
整理得，，得（舍去），，
当时，，故点为，
综上所述，点的坐标为或．
6 .已知：如图，在平行四边形中，，．．沿的方向匀速平移得到，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，当停止平移时，点也停止运动．如图，设运动时间为（）（），连接，，．解答下列问题：
( 1 )当为何值时，？
( 2 )设的面积为（），求与之间的函数关系式．
( 3 )是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
( 4 )是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由
【答案】 (1)．
(2)．
(3)当时，．
(4)当时，．
【解析】 (1)在中，由勾股定理得：，
由平移性质可得，
∵，
∴，
∴，即，
解得．
(2)作于点，于点，
由可得，
则由勾股定理易求，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
求得：，．
∵，
∴到的距离，
∴的面积．
过点作于，如图
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
(3)∵，
∴，
若，则，
即：，
整理得：，
解得．
答：当时，．
∵，
∴，
∴，
∴，∴．
(4)若，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即：，
由，
∴，
故，
整理得，
解得，．
答：当时，．
7 .如图，二次函数的图象与轴相交于点，，与轴相交于点．
( 1 )求该函数的表达式．
( 2 )点为该函数在第一象限内的图象上一点，过点作，垂足为点，连接．
① 求线段的最大值．
② 若以点、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
【答案】 (1)该函数的表达式为：．
(2)①的最大值为．
②或
【解析】 (1)把点，代入得：
解得．
∴该函数的表达式为：．
(2)①过作轴交于，
则，
∴，
∴，
∴当最大时，最大，
设直线解析式为，
把点，代入得，
解得，
∴直线解析式为：，
设点，，
∴，
，
，
∴当时，最大为，
∴的最大值为．
②∵，
∴或，
若，
则，
∴，
∴，
若，
过作轴交轴于，交于，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
，
∴，
∵在二次函数上，
∴，
解得（舍） ，
∴．
8 .如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，，点在函数图象上，轴，且,直线是抛物线的对称轴，是抛物线的顶点．
( 1 )求、的值．
( 2 )如图①，连接，线段上的点关于直线的对称点恰好在线段上，求点的坐标．
( 3 )如图②，动点在线段上，过点作轴的垂线分别与交于点，与抛物线交于点．试问：抛物线上是否存在点，使得与的面积相等，且线段的长度最小？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】 (1)，．
(2)．
(3)满足题意的点的坐标为和．
【解析】 (1)∵轴，，
∴抛物线对称轴为直线，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
(2)设，
∵物线对称轴为直线，
∴点关于直线l的对称点，
∵直线经过点，，
∴利用待定系数法可以求出表达式，
∵点在上，
∴，
∴．
(3)存在点满足题意，
设，
则，
，
，
作，垂足为，
∵，
∴，
∴，
①点在直线的左侧时，点坐标为，点坐标为，点坐标为，
∴在中，，
∴当时，取得最小值，
此时点坐标为，
②点在直线的左侧时，点坐标为，
同理，，
∴当时，取得最小值，
此时点坐标为，
综上所述：满足题意的点的坐标为和．
9 .如图，抛物线与轴交于点，两点，直线与轴交于点，与轴交于点．点是轴上方的抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为．
( 1 )求抛物线的解析式．
( 2 )若，求的值．
( 3 )若点是点关于直线的对称点，是否存在点，使点落在轴上？若存在，请直接写出相应的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】 (1)抛物线的解析式为：．
(2)或．
(3)存在满足条件的点，可求得点坐标为，，，．
【解析】 (1)将点、坐标代入抛物线解析式，得：
，
解得，
∴ 抛物线的解析式为：．
(2)∵ 点的横坐标为，
∴，，．
∴
，
．
由题意，，即：．
①若，
整理得：，
解得：或；
②若，
整理得：，
解得：或．
由题意，的取值范围为：，
故、这两个解均舍去．
∴或．
(3)若（不与重合时）关于直线的对称点在轴上，则直线与直线关于轴对称．
∴点关于直线的对称点也在轴上，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴或，
①当时，，
设，，，
∵，∴，
∴，
∴，
∴，．
②当时，，
设，
∵，∴，
∴，
∴，，
∵点是轴上方的抛物线上一动点，
∴，
∴点的坐标为，，．
若点与重合时，也符合题意．
综上所述，存在满足条件的点，可求得点坐标为，，，．
10 .如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
( 1 )求抛物线的函数表达式．
( 2 )若点是轴上的一点，且以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
( 3 )如图，轴与抛物线相交于点，点是直线下方抛物线上的动点，过点且与轴平行的直线与，分别交于点，，试探究当点运动到何处时，四边形的面积最大，求点的坐标及最大面积．
( 4 )若点为抛物线的顶点，点是该抛物线上的一点，在轴，轴上分别找点，，使四边形的周长最小，求出点，的坐标．
【答案】 (1)．
(2)的坐标为或．
(3)，四边形的面积最大为．
(4)，．
【解析】 (1)∵点，在抛物线上，
∴，
∴，
∴抛物线的表达式为．
(2)如图，令，则，
∴，
∴，
∴，
∴，，
要使以，，为顶点的三角形与相似，则有或，
①当时，
，
∴，
②当时，
∴，
∴，
∴，
即：的坐标为或．
(3)设，
∵轴，
∴点的纵坐标为，
∵在抛物线上，
∴，
∴（舍）或，
∴，
∴，
∵，，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
当时，四边形的面积最大为．
当时，，
∴．
(4)如图，∵为抛物线的顶点，
∴，
∴关于轴的对称点，
∵在抛物线上，
∴，
∴点关于轴的对称点，
∴直线的解析式为，
∴，．




















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…

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