初中数学苏科版九年级下册6.2 黄金分割练习

这是一份初中数学苏科版九年级下册6.2 黄金分割练习，共11页。试卷主要包含了单选，解答题等内容，欢迎下载使用。

1 .宽和长的比为的矩形称为黄金矩形，如图，黄金矩形中，宽，将黄金矩形沿折叠，使得点落在点处，点落在点处，则的面积为（ ）．
A.
B.
C.
D.
2 .宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形，分别取，的中点，，连接；以点为圆心，以为半径画弧，交的延长线与点；作，交的延长线于点．则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）．
A.矩形
B.矩形
C.矩形
D.矩形
二、解答题
1 .回答下列问题：
( 1 )如图，中，，，现以为圆心、长为半径画弧交边于，再以为圆心、为半径画弧交边于．求证：．（这个比值叫做与的黄金比）
( 2 )如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你以图中的线段为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形．
（注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注）
2 .如图，中，，点在上，，过、两点的圆的圆心在上．
( 1 )利用直尺和圆规在图中画出⊙（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线条描清楚）．
( 2 )判断所在直线与（）中所作的⊙的位置关系，并证明你的结论．
( 3 )设⊙交于点，连接，过点作，为垂足，若点是线段的黄金分割点（即），如图，试说明四边形是正方形）．
3 .我们知道：如图①，点把线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点，它们的比值为．
( 1 )在图①中，若，则的长为 ．
( 2 )如图②，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕．试说明是的黄金分割点．
( 3 )如图③，小明进一步探究：在边长为的正方形的边上任取点，连接，作，交于点，延长、交于点．他发现当与满足某种关系时、恰好分别是、的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．
6.2 黄金分割练习
一、单选
1 .宽和长的比为的矩形称为黄金矩形，如图，黄金矩形中，宽，将黄金矩形沿折叠，使得点落在点处，点落在点处，则的面积为（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 A
【解析】 ∵四边形是黄金矩形，
∴，，，
，．
∴．
∵，
∴，
根据折叠性质可知，，
∴，
∴．
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，，
∴．
故选．
2 .宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形，分别取，的中点，，连接；以点为圆心，以为半径画弧，交的延长线与点；作，交的延长线于点．则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）．
A.矩形
B.矩形
C.矩形
D.矩形
【答案】 D
【解析】 设正方形的边长为，则，，
在直角三角形中，．
∴．
∴．
∴．
∴矩形为黄金矩形．
二、解答题
1 .回答下列问题：
( 1 )如图，中，，，现以为圆心、长为半径画弧交边于，再以为圆心、为半径画弧交边于．求证：．（这个比值叫做与的黄金比）
( 2 )如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你以图中的线段为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形．
（注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注）
【答案】 (1)证明见解析．
(2)作图见解析．
【解析】 (1)∵中，，，
∴设，，则，
∴，
∴．
(2)底与腰之比均为黄金比的等腰三角形，如图：
①过点作，作的垂直平分线交于点，使，
②连接，以为圆心，长为半径画弧，使，
③以为圆心长为半径画弧，以为圆心，长为半径画弧，交点为，
则即为所求．
2 .如图，中，，点在上，，过、两点的圆的圆心在上．
( 1 )利用直尺和圆规在图中画出⊙（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线条描清楚）．
( 2 )判断所在直线与（）中所作的⊙的位置关系，并证明你的结论．
( 3 )设⊙交于点，连接，过点作，为垂足，若点是线段的黄金分割点（即），如图，试说明四边形是正方形）．
【答案】 (1)画图见解析．
(2)与⊙相切．证明见解析．
(3)四边形是正方形．
【解析】 (1)如图，⊙为所作；
(2)连接，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为⊙的切线；
(3)∵，，
∴，
∴，
∴，
∵点是线段的黄金分割点，
∴，
∵，
∵为直径，
∴，
在和中
，
∴≌，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴四边形是正方形．
3 .我们知道：如图①，点把线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点，它们的比值为．
( 1 )在图①中，若，则的长为 ．
( 2 )如图②，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕．试说明是的黄金分割点．
( 3 )如图③，小明进一步探究：在边长为的正方形的边上任取点，连接，作，交于点，延长、交于点．他发现当与满足某种关系时、恰好分别是、的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．
【答案】 (1)
(2)证明见解析．
(3)当时，、恰好分别是、的黄金分割点；证明见解析．
【解析】 (1)，
故答案为：．
(2)如图，连接，设，则，
∵四边形是正方形，
∴，
由折叠性质得：，，，，
在中，，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
解得：，
即，
∴是的黄金分割点．
(3)当时，、恰好分别是、的黄金分割点．
∵，
∴，又，
∴，
∵，，
∴≌ ，
∴，
设，则，
∵即，
∴即，
∴，
解得：或（舍去），
即，
∴，
∴、分别是、的黄金分割点．