数学九年级下册6.4 探索三角形相似的条件练习

这是一份数学九年级下册6.4 探索三角形相似的条件练习，共43页。试卷主要包含了单选，填空，解答题等内容，欢迎下载使用。

1 .如图，中，，，，则的长是（ ）．
A.
B.
C.
D.
2 .如图，点在平行四边形的边上，射线交的延长线于点，在不添加辅助线的情况下，与相似的三角形有（ ）．
A.个
B.个
C.个
D.个
3 .如图，中，，两点分别在，边上，且，如果，，那么的长为（ ）．
A.
B.
C.
D.
4 .如图，在中，，，是的中点，过点沿直线剪下一个与相似的小三角形纸板，则不同的剪法共有（ ）．
A.种
B.种
C.种
D.种
5 .如图是小刘做的一个风筝支架示意图，已知，，，则的长是（ ）．
A.
B.
C.
D.
6 .如图，将一张直角三角形纸片的斜边放在矩形的边上，恰好完全重合，、分别交于点、，，，则的长为（ ）．
A.
B.
C.
D.
7 .如图，已知为边上一点，，交于点，，则（ ）．
A.
B.
C.
D.
8 .如图，是等边三角形，被一平行于的矩形所截，被截成三等分，则图中阴影部分的面积是的面积的（ ）．
A.
B.
C.
D.
9 .如图，在中，点为边上的一点，且，．过点作，交于点．若，则的面积为（ ）．
A.
B.
C.
D.
10 .如图，在中，，若，，则长为（ ）．
A.
B.
C.
D.
二、填空
1 .如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点、、都在横格线上，若线段，则线段 ．
2 .如图，直线，，，那么的值是 ．
3 .如图，直线，， ，是一组等距离的平行线，过直线上的点作两条射线，分别与直线，相交于点、、、．若，则的长是 ．
4 .如图，、相交于点，，，，是的中位线，且，则的长为 ．
5 .根据图中所给两个三角形的角度和边长，可 ．
6 .如图，在中，，，垂足为点，如果，，那么线段的长是 ．
7 .如图，矩形的四个顶点分别落在矩形的各条边上，，，，有以下四个结论：①，②≌，③，④矩形的面积是，其中一定成立的是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）．
8 .如图，平行四边形中，是的延长线上一点，与交于点，．若的面积为，则平行四边形的面积为 ．
三、解答题
1 .如图，是⊙的直径，为⊙的弦，，与的延长线交于点．点在上，且．
( 1 )求证：直线是⊙的切线．
( 2 )若，，求的长．
2 .如图，为⊙的直径，点，在⊙上，且点是的中点．过点作的垂线交直线于点．
( 1 )求证：是⊙的切线．
( 2 )连接．若，，求线段的长．
3 .我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”．
( 1 )等边三角形“內似线”的条数为 ．
( 2 )如图，中，，点在上，且，求证：是的“內似线”．
( 3 )在中，，，，、分别在边、上，且是的“內似线”，求的长．
4 .如图（），已知点在正方形的对角线上，，垂足为点，，垂足为点．
( 1 )证明与推断：
① 求证：四边形是正方形．
② 推断：的值为 ．
( 2 )探究与证明：
将正方形绕点按顺时针方向旋转角，如图（）所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由．
( 3 )拓展与运用：
正方形在旋转过程中，当，，三点在一条直线上时，如图（）所示，延长交于点．若，，则 ．
5 .如图，在正方形中，是上一点，连接．过点作，垂足为，⊙经过点、、，与相交于点．
( 1 )求证：．
( 2 )若正方形的边长为，，求⊙的半径．
6 .已知：如图，在菱形中，点、分别在边、上，，与交于点．
( 1 )求证：．
( 2 )当时，求证：四边形是平行四边形．
7 .在中，，，、分别在、上，连接，设，（），（）．
( 1 )当，时，求证：．
( 2 )若和相似，求与的函数表达式．
8 .如图，在中，，是的平分线，经过、两点的圆的圆心恰好落在上，⊙分别与、相交于点、．
( 1 )判断直线与⊙的位置关系并证明．
( 2 )若⊙的半径为，，求的长度．
9 .回答下列问题：
( 1 )如图，中，，的垂直平分线交于点，连接．若， ，则的周长为 ．
( 2 )为正方形的中心，为边上一点，为边上一点，且的周长等于的长．
① 在图中求作．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
② 在图中补全图形，求的度数．
③ 若，则的值为 ．
10 .如图，在中，，以为直径的交边于点（点不与重合），交边于点，过点作，垂足为．
( 1 )求证：是的切线．
( 2 )若，．
① 求的半径．
② 连接交于点，则 ．
6.4 探索三角形相似的条件练习
一、单选
1 .如图，中，，，，则的长是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 C
【解析】 ∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选．
2 .如图，点在平行四边形的边上，射线交的延长线于点，在不添加辅助线的情况下，与相似的三角形有（ ）．
A.个
B.个
C.个
D.个
【答案】 C
【解析】 ∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴与相似的三角形有个．
3 .如图，中，，两点分别在，边上，且，如果，，那么的长为（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【解析】 ∵，
∴，
∴，
∴．
4 .如图，在中，，，是的中点，过点沿直线剪下一个与相似的小三角形纸板，则不同的剪法共有（ ）．
A.种
B.种
C.种
D.种
【答案】 C
【解析】 如图所示：
当时，；
当时，；
当时，；
故过点的的相似线最多有条．
故选．
5 .如图是小刘做的一个风筝支架示意图，已知，，，则的长是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【解析】 ∵，
∴，即，
∴，
∴．
6 .如图，将一张直角三角形纸片的斜边放在矩形的边上，恰好完全重合，、分别交于点、，，，则的长为（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 C
【解析】 ∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴．
7 .如图，已知为边上一点，，交于点，，则（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 C
【解析】 根据平行线段成比例，∵，
∴，
∴，
∴．
8 .如图，是等边三角形，被一平行于的矩形所截，被截成三等分，则图中阴影部分的面积是的面积的（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 C
【解析】 被截成三等分，
，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
9 .如图，在中，点为边上的一点，且，．过点作，交于点．若，则的面积为（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【解析】 ∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，即，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选．
10 .如图，在中，，若，，则长为（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 C
【解析】 ∵，，
∴，
∴，
即

，
∴．
二、填空
1 .如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点、、都在横格线上，若线段，则线段 ．
【答案】
【解析】 如图，过点作于点，交于点，
∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，
∴，
即，
∴．
2 .如图，直线，，，那么的值是 ．
【答案】
【解析】 ∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
3 .如图，直线，， ，是一组等距离的平行线，过直线上的点作两条射线，分别与直线，相交于点、、、．若，则的长是 ．
【答案】
【解析】 ∵，
∴，
∴．
4 .如图，、相交于点，，，，是的中位线，且，则的长为 ．
【答案】
【解析】 ∵是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得．
5 .根据图中所给两个三角形的角度和边长，可 ．
【答案】
【解析】 如图所示：
则，
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：．
6 .如图，在中，，，垂足为点，如果，，那么线段的长是 ．
【答案】
【解析】 ∵，
∴，
∵，
∴，
则，
由勾股定理得，，
∵，，
∴，
∴，
则，
解得．
在中，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，
∴，
故答案为：．
7 .如图，矩形的四个顶点分别落在矩形的各条边上，，，，有以下四个结论：①，②≌，③，④矩形的面积是，其中一定成立的是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）．
【答案】 ①②④
【解析】 在矩形和矩形中，，
∴
即，
∴结论①成立．
与①同理，，
又，，
∴≌，
∴结论②成立．
由②得：，设，，
则，由，，
得：，
∴，即，
解得：，即，
又在中，，
即，解得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴结论③不成立．
由③知，
∴，
∴结论④成立．
综上所述，一定成立的结论是①②④．
故答案为：①②④．
8 .如图，平行四边形中，是的延长线上一点，与交于点，．若的面积为，则平行四边形的面积为 ．
【答案】
【解析】 ∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，．
∵，
∴，，
∴，
．
∵，
∴，
，
∴．
三、解答题
1 .如图，是⊙的直径，为⊙的弦，，与的延长线交于点．点在上，且．
( 1 )求证：直线是⊙的切线．
( 2 )若，，求的长．
【答案】 (1)证明见解析．
(2)．
【解析】 (1)连结．
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点在⊙上，
∴直线是⊙的切线．
(2)连结．
∵是⊙的直径，
∴，
∴，
∴，即 ，
∴，
∴．
2 .如图，为⊙的直径，点，在⊙上，且点是的中点．过点作的垂线交直线于点．
( 1 )求证：是⊙的切线．
( 2 )连接．若，，求线段的长．
【答案】 (1)证明见解析．
(2)．
【解析】 (1)连接．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵是⊙的半径，
∴是⊙的切线．
(2)∵为⊙的直径，
∴．
根据勾股定理，由，，可求得．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
3 .我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”．
( 1 )等边三角形“內似线”的条数为 ．
( 2 )如图，中，，点在上，且，求证：是的“內似线”．
( 3 )在中，，，，、分别在边、上，且是的“內似线”，求的长．
【答案】 (1)
(2)证明见解析．
(3)的长为．
【解析】 (1)等边三角形“內似线”的条数为条；理由如下：
过等边三角形的内心分别作三边的平行线，如图所示：
则，
，
，
∴、、是等边三角形的內似线”，
(2)∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴平分，
即过的内心，
∴是的“內似线”．
(3)设是的内心，连接，
则平分，
∵是的“內似线”，
∴与相似；
分两种情况：①当时，，
∵，，，
∴，
作于，如图所示：
则，是的内切圆半径，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：．
②当时，同理得：，
综上所述，的长为．
4 .如图（），已知点在正方形的对角线上，，垂足为点，，垂足为点．
( 1 )证明与推断：
① 求证：四边形是正方形．
② 推断：的值为 ．
( 2 )探究与证明：
将正方形绕点按顺时针方向旋转角，如图（）所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由．
( 3 )拓展与运用：
正方形在旋转过程中，当，，三点在一条直线上时，如图（）所示，延长交于点．若，，则 ．
【答案】 (1)①证明见解析．
②
(2)，证明见解析．
(3)
【解析】 (1)①∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，，
∴，
∴四边形是正方形．
②由①知四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
(2)连接，
由旋转的性质知，
在和中，
，，
∴，
∴，
∴，
∴线段与之间的数量关系为．
(3)∵，点、、三点共线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
则由得，
∴，
则，，
∴得，
解得：，即，
故答案为：．
5 .如图，在正方形中，是上一点，连接．过点作，垂足为，⊙经过点、、，与相交于点．
( 1 )求证：．
( 2 )若正方形的边长为，，求⊙的半径．
【答案】 (1)证明见解析．
(2)．
【解析】 (1)在正方形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是⊙的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴．
(2)如图，连接．
∵，，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
在正方形中，，
∴，，
∴，
∵，
∴是⊙的直径，
∴⊙的半径为．
6 .已知：如图，在菱形中，点、分别在边、上，，与交于点．
( 1 )求证：．
( 2 )当时，求证：四边形是平行四边形．
【答案】 (1)证明见解析．
(2)证明见解析．
【解析】 (1)∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴≌（），
∴．
(2)∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴．
又∵，，
∴，
∴（平行线分线段成比例），
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴四边形是平行四边形．
7 .在中，，，、分别在、上，连接，设，（），（）．
( 1 )当，时，求证：．
( 2 )若和相似，求与的函数表达式．
【答案】 (1)证明见解析．
(2)（）或（）．
【解析】 (1)∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴
，
∴，
又∵，
∴．
(2)由题得，故和相似可去重后分为以下两种情况：
①，则，
∴（）．
②若，则，
∴（）．
8 .如图，在中，，是的平分线，经过、两点的圆的圆心恰好落在上，⊙分别与、相交于点、．
( 1 )判断直线与⊙的位置关系并证明．
( 2 )若⊙的半径为，，求的长度．
【答案】 (1)与⊙相切．
(2)．
【解析】 (1)与⊙相切．
证明：连接．
∵是的平分线，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
∴，即．
又∵过半径的外端点，
∴与⊙相切．
(2)由（）知．
∴．
∴．
∵⊙的半径为，
∴，．
∴．
∴．
∴，
∴在中，．
9 .回答下列问题：
( 1 )如图，中，，的垂直平分线交于点，连接．若， ，则的周长为 ．
( 2 )为正方形的中心，为边上一点，为边上一点，且的周长等于的长．
① 在图中求作．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
② 在图中补全图形，求的度数．
③ 若，则的值为 ．
【答案】 (1)
(2)①画图见解析．
②．
③
【解析】 (1)∵的垂直平分线交于点，
∴．
∵的周长，
∴的周长．
∵，，
∴的周长为．
(2)①如图，即为所求．
②在上截取，使得，连接、、．
∵点为正方形的中心，
∴，，．
∴≌．
∴，．
∴．
∵的周长等于的长，
∴．
∴≌．
∴．
③∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴．
作于，于，如图所示：
设，则，设，
∵为正方形的中心，
∴四边形为正方形，，
∴，，，，
由②知，≌，
∴，，
在和中，
，
∴≌，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
整理得：，
∴，
∴，，，
∴．
故答案为：．
10 .如图，在中，，以为直径的交边于点（点不与重合），交边于点，过点作，垂足为．
( 1 )求证：是的切线．
( 2 )若，．
① 求的半径．
② 连接交于点，则 ．
【答案】 (1)证明见解析．
(2)①．
②
【解析】 (1) 连接，
∵在中，，
∴．
∵．
∴，
∴,
∴,
∴．
∵于点．
∴，
∴，
，
又∵是的半径．
∴是的切线．
(2)① 连接，，
∵是的直径，
∴，．
∴，
∵在中，．
∴，
，
∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，，
∴．
②连接，，过点作于点，
与交于点，
由（）得，，
∴，
又∵，，
∴，
∵在中，，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
，
∴，
∴，
设，，
∴，
∴，
∴．