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高考数学专题六解析几何 微专题40 最值、范围问题课件PPT
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这是一份高考数学专题六解析几何 微专题40 最值、范围问题课件PPT，共50页。PPT课件主要包含了典型例题，热点突破，所以△MFN的面积，跟踪训练1，跟踪训练2，设RxRyR等内容，欢迎下载使用。
圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，范围、最值问题是常见的热点题型，常以解答题的形式压轴出现，难度较大.
典例1 (2023·全国甲卷)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，|AB|＝ .(1)求p；
考点一 圆锥曲线的最值问题
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
所以yA＋yB＝4p，yAyB＝2p，
即2p2－p－6＝0，解得p＝2(负值舍去).
由(1)知y2＝4x，所以焦点F(1,0)，显然直线MN的斜率不可能为零，设直线MN：x＝my＋n，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n，Δ＝16m2＋16n>0⇒m2＋n>0，
所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，即(my1＋n－1)(my2＋n－1)＋y1y2＝0，即(m2＋1)y1y2＋m(n－1)(y1＋y2)＋(n－1)2＝0，将y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n代入得，4m2＝n2－6n＋1，所以4(m2＋n)＝(n－1)2>0，所以n≠1，且n2－6n＋1≥0，
设点F到直线MN的距离为d，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线l的方程为y＝k(x－1)，
整理得(1＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－b2)＝0，
显然，随着k的增大，b在增大，
典例2 (2023·临汾模拟)已知点F1，F2是双曲线C： (a>0，b>0)的左、右焦点，P是C右支上一点，△F1F2P的周长为18，I为△F1F2P的内心，且满足 ＝2∶3∶4.(1)求双曲线C的标准方程；
考点二 圆锥曲线的范围问题
设△PF1F2内切圆半径为r，
所以 ＝|PF2|∶|F1F2|∶|PF1|＝2∶3∶4，因为△PF1F2的周长为18，所以|PF2|＝4，|PF1|＝8，|F1F2|＝6，所以2a＝|PF1|－|PF2|＝4,2c＝6，所以a2＝4，b2＝c2－a2＝9－4＝5，
由题知，直线l斜率存在且不为0，可设其方程为x＝ty＋3(t≠0)，
由题意得，椭圆焦点坐标为(1,0)，双曲线渐近线方程为bx±ay＝0，
得t2>2k2－1≠0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
＝(1＋k2)x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2
化简得8k2＋t2＝1，得证.
(2)若直线l与C1相交于P，Q两点，求|PQ|的取值范围.
得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，所以Δ＝16k2t2－4(1＋2k2)(2t2－2)>0，即t2<2k2＋1，
依题意，∠BAD＝90°，半焦距c＝2，
解得a＝1(其中a＝－2<0舍去)，所以b2＝c2－a2＝4－1＝3，
(2)M，N是C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，若k1k2＝－2，求点A到直线MN的距离d的取值范围.
显然直线MN不可能与x轴平行，故可设直线MN的方程为x＝my＋n，
消去x整理得(3m2－1)y2＋6mny＋3(n2－1)＝0，
由k1k2＝－2，得y1y2＋2(x1＋1)(x2＋1)＝0，即y1y2＋2(my1＋n＋1)(my2＋n＋1)＝0，整理得(2m2＋1)y1y2＋2m(n＋1)(y1＋y2)＋2(n＋1)2＝0，则3(n2－1)(2m2＋1)－12m2n(n＋1)＋2(n＋1)2(3m2－1)＝0，化简可得n2－4n－5＝0，解得n＝5或n＝－1(舍去)，
又M，N都在双曲线的右支上，所以y1y2<0，
2.(2023·温州模拟)如图，斜率为k的直线交抛物线x2＝4y于A，B两点，已知点B的横坐标比点A的横坐标大4，直线y＝－kx＋1交线段AB于点R，交抛物线于点P，Q.(1)若点A的横坐标为0，求|PQ|的值；
∵A(0,0)，∴B(4,4),∴k＝1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
(2)求|PR|·|QR|的最大值.
设AB的方程为y＝kx＋b(k≠0)，代入x2＝4y，得x2－4kx－4b＝0，Δ＝16k2＋16b>0，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xAxB＝－4b，xA＋xB＝4k，
∴x1＋x2＝－4k，x1x2＝－4,则|PR|·|QR|＝－(1＋k2)(x1－xR)(x2－xR)
故kM′A＝kMB，故M′A∥MB，由椭圆关于原点中心对称，可知A，B关于原点对称.
(2)求直线AB与CD之间的距离的取值范围.
设直线CD的方程为y＝kx＋m，设C，D两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
消去y并整理得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，
又由Δ＝36k2m2－4(3k2＋1)(3m2－12)>0，可得0
圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，范围、最值问题是常见的热点题型，常以解答题的形式压轴出现，难度较大.
典例1 (2023·全国甲卷)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，|AB|＝ .(1)求p；
考点一 圆锥曲线的最值问题
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
所以yA＋yB＝4p，yAyB＝2p，
即2p2－p－6＝0，解得p＝2(负值舍去).
由(1)知y2＝4x，所以焦点F(1,0)，显然直线MN的斜率不可能为零，设直线MN：x＝my＋n，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n，Δ＝16m2＋16n>0⇒m2＋n>0，
所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，即(my1＋n－1)(my2＋n－1)＋y1y2＝0，即(m2＋1)y1y2＋m(n－1)(y1＋y2)＋(n－1)2＝0，将y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n代入得，4m2＝n2－6n＋1，所以4(m2＋n)＝(n－1)2>0，所以n≠1，且n2－6n＋1≥0，
设点F到直线MN的距离为d，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线l的方程为y＝k(x－1)，
整理得(1＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－b2)＝0，
显然，随着k的增大，b在增大，
典例2 (2023·临汾模拟)已知点F1，F2是双曲线C： (a>0，b>0)的左、右焦点，P是C右支上一点，△F1F2P的周长为18，I为△F1F2P的内心，且满足 ＝2∶3∶4.(1)求双曲线C的标准方程；
考点二 圆锥曲线的范围问题
设△PF1F2内切圆半径为r，
所以 ＝|PF2|∶|F1F2|∶|PF1|＝2∶3∶4，因为△PF1F2的周长为18，所以|PF2|＝4，|PF1|＝8，|F1F2|＝6，所以2a＝|PF1|－|PF2|＝4,2c＝6，所以a2＝4，b2＝c2－a2＝9－4＝5，
由题知，直线l斜率存在且不为0，可设其方程为x＝ty＋3(t≠0)，
由题意得，椭圆焦点坐标为(1,0)，双曲线渐近线方程为bx±ay＝0，
得t2>2k2－1≠0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
＝(1＋k2)x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2
化简得8k2＋t2＝1，得证.
(2)若直线l与C1相交于P，Q两点，求|PQ|的取值范围.
得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，所以Δ＝16k2t2－4(1＋2k2)(2t2－2)>0，即t2<2k2＋1，
依题意，∠BAD＝90°，半焦距c＝2，
解得a＝1(其中a＝－2<0舍去)，所以b2＝c2－a2＝4－1＝3，
(2)M，N是C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，若k1k2＝－2，求点A到直线MN的距离d的取值范围.
显然直线MN不可能与x轴平行，故可设直线MN的方程为x＝my＋n，
消去x整理得(3m2－1)y2＋6mny＋3(n2－1)＝0，
由k1k2＝－2，得y1y2＋2(x1＋1)(x2＋1)＝0，即y1y2＋2(my1＋n＋1)(my2＋n＋1)＝0，整理得(2m2＋1)y1y2＋2m(n＋1)(y1＋y2)＋2(n＋1)2＝0，则3(n2－1)(2m2＋1)－12m2n(n＋1)＋2(n＋1)2(3m2－1)＝0，化简可得n2－4n－5＝0，解得n＝5或n＝－1(舍去)，
又M，N都在双曲线的右支上，所以y1y2<0，
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∵A(0,0)，∴B(4,4),∴k＝1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
(2)求|PR|·|QR|的最大值.
设AB的方程为y＝kx＋b(k≠0)，代入x2＝4y，得x2－4kx－4b＝0，Δ＝16k2＋16b>0，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xAxB＝－4b，xA＋xB＝4k，
∴x1＋x2＝－4k，x1x2＝－4,则|PR|·|QR|＝－(1＋k2)(x1－xR)(x2－xR)
故kM′A＝kMB，故M′A∥MB，由椭圆关于原点中心对称，可知A，B关于原点对称.
(2)求直线AB与CD之间的距离的取值范围.
设直线CD的方程为y＝kx＋m，设C，D两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
消去y并整理得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，
又由Δ＝36k2m2－4(3k2＋1)(3m2－12)>0，可得0
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