2022-2023学年福建省龙岩二中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年福建省龙岩二中八年级（下）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. 0.3B. 13C. 30D. 300
2.若代数式 xx−2有意义，则实数x的取值范围是( )
A. x>0B. x≥0C. x>0且x≠2D. x≥0且x≠2
3.下列式子中，与 2为同类二次根式的是
( )
A. 3B. 8C. 12D. 15
4.在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是( )
A. a=5，b=13，c=12B. a=11，b=12，c=15
C. a：b：c=3：4：5D. a=b=1，c= 2
5.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是( )
A. 当AB=BC时，它是菱形
B. 当AC⊥BD时，它是菱形
C. 当AC=BD时，它是正方形
D. 当∠ABC=90°时，它是矩形
6.如图，数轴上点M所表示的数为m，则m的值是( )
A. 5−2B. 5−1C. 5+1D. 1− 5
7.顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形．现有一个对角线分别为10和24的菱形，它的中点四边形的对角线长为( )
A. 13B. 15C. 17D. 19
8.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠BAD=60°，AC=2 3，则菱形ABCD的周长为( )
A. 4B. 4 3C. 6D. 8
9.如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点E，若点E恰好在边AD上，则BE2+CE2的值为( )
A. 18B. 16C. 14D. 12
10.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在BC的延长线上，连接DE，点F是DE的中点，连接OF交CD于点G，连接CF，若CE=4，OF=6.则点D到CF的距离为( )
A. 4 34
B. 8 35
C. 4 55
D. 8 55
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11. 12=______．
12.如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，若BC=6cm，则线段DE=______cm．
13.如图，在▱ABCD中，∠A=60°，则∠C的度数为______．
14.在△ABC中，AB=5，BC=a，AC=b，如果a，b满足(a+5)(a−5)−b2=0，那么△ABC的形状是______．
15.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，以点B为圆心、BC的长为半径画弧交AD于点E，再分别以点C，E为圆心、大于12CE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线BF交CD于点G，则CG的长为______．
16.如图，四边形纸片ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，将纸片沿直线EF折叠，点C恰好落在点A处；再将△ABF，△ADE分别沿AF，AE折叠，点B，D均落在EF上的点G处．
(1)∠EAF的大小为______°；
(2)若四边形AECF是菱形，点G为EF中点且四边形纸片ABCD的面积是3 3，则AB=______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1) 8+2 3−( 27− 2)；
(2) 2( 12− 3)+ 48÷ 3．
18.(本小题8分)
如图，四边形ABCD是平行四边形，点E、F在对角线BD上，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，证明：BE=DF．
19.(本小题8分)
先化简，再求值：(1a−1−1a+1)÷2aa2−1，其中a= 2−1．
20.(本小题8分)
如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠A=30°．
(1)请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；(不要求写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，连接BF，求∠DBF的度数．
21.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°．
(1)求证：CD⊥AD；
(2)求四边形ABCD的面积．
22.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．
(1)求证：▱ABCD是菱形；
(2)若AB=5，AC=6，求▱ABCD的面积．
23.(本小题8分)
在解决问题“已知a=1 2−1求2a2−4a+1的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵a=1 2−1= 2+1( 2−1)( 2+1)= 2+1，
∴a−1= 2．
∴(a−1)2=2，a2−2a+1=2．
∴a2−2a=1．
∴2a2−4a=2，2a2−4a+1=3．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)化简：23− 7；
(2)若a=13+2 2，求3a2−18a−1的值．
24.(本小题8分)
如图1，已知AD//BC，AB/​/CD，∠B=∠C．

(1)求证：四边形ABCD为矩形；
(2)M为AD的中点，在AB上取一点N，使∠BNC=2∠DCM．
①如图2，若N为AB中点，BN=2，求CN的长；
②如图2，若CM=3，CN=4，求BC的长．
25.(本小题8分)
已知，如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点．
(1)如图1，若AE⊥BF，垂足为M，求证：AE=BF；
(2)如图2，点G是边AD上一点，且GE⊥BF，垂足为M．
①判断GE与BF是否相等？并说明理由；
②如图3，若GE垂直平分BF，交对角线AC交于点N，写出线段MN、NG、ME之间的数量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、原式= 310= 3010，故此选项不符合题意．
B、原式= 33，故此选项不符合题意．
C、 30是最简二次根式，故此选项符合题意．
D、原式=10 3，故此选项不符合题意．
故选：C．
根据最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进而分别判断得出答案．
此题主要考查了最简二次根式，正确掌握最简二次根式的定义是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：由题意可知：
x≥0x−2≠0，
∴x≥0且x≠2，
故选：D．
根据分式、二次根式有意义的条件即可求出答案．
本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
3.【答案】B
【解析】解：A、 3与 2不是同类二次根式，故A不符合题意；
B、∵ 8=2 2，∴ 8与 2是同类二次根式，故B符合题意；
C、∵ 12=2 3，∴ 12与 2不是同类二次根式，故C不符合题意；
D、 15= 55，∴ 15与 2不是同类二次根式，故D不符合题意；
故选：B．
根据同类二次根式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是根据勾股定理的逆定理验证四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，套入数据验证“较小两边平方的和是否等于最大边的平方”是关键．
根据勾股定理的逆定理，验证四个选项中数据是否满足“较小两边的平方和等于最大边的平方”，由此即可得出结论．
【解答】
解：A、52+122=169，132=169，∴能构成直角三角形；
B、112+122=265，152=225，∴不能构成直角三角形；
C、设a=3x，b=4x，c=5x，则(3x)2+(4x)2=25x2，(5x)2=25x2，∴能构成直角三角形；
D、12+12=2，( 2)2=2，∴能构成直角三角形．
故选B．
5.【答案】C
【解析】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据菱形、矩形、正方形的判定逐个判断即可．
本题考查了菱形、矩形、正方形的判定，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：直角三角形斜边长 22+12= 5，
∴点M表示的数为 5−1．
故选：B．
本题可以通过勾股定理及数轴上的运算求解．
本题考查数轴上点的运算及勾股定理，解题在直角三角形中利用勾股定理求解．
7.【答案】A
【解析】解：∵E、F、G、H分别为各边中点，
∴EF//GH//AC，EH=FG=12DB，EF=HG=12AC，EH/​/FG/​/BD．
∵DB⊥AC，
∴EF⊥EH，
∴四边形EFGH是矩形，
∵EH=12BD=5，EF=12AC=12，
∴HF= EH2+EF2=13．
故选：A．
顺次连接这个菱形各边中点所得的四边形是矩形，且矩形的边长分别是菱形对角线的一半，问题得解．
本题考查菱形的性质，菱形的四边相等，对角线互相垂直，连接菱形各边的中点得到矩形，且矩形的边长是菱形对角线的一半以及勾股定理的运用．
8.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,AO=12AC= 3，
∵∠BAD=60°，
∴∠DAO=30°，
∴AD=2OD，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD2=OD2+AO2，
∴AD2=14AD2+3，
∴AD=2，
∴菱形ABCD的周长为4AD=8，
故选：D．
根据菱形的性质得到AC⊥BD,AO=12AC= 3，∠DAO=30°，再根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出AD的长即可得到答案．
本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟知菱形的性质是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵BE、CE 分别平分∠ABC 和∠BCD，
∴∠EBC=12∠ABC，∠ECB=12∠BCD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB=CD=2，BC=AD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∴∠BEC=90°，
∴BE2+CE2=BC2 ，
∵AD/​/BC，
∴∠EBC=∠AEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=∠ABE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AB=AE=2，
同理可证，DE=DC=2，
∴DE+AE=AD=4，
∴BE2+CE2=BC2=AD2=16．
故选：B．
根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得AE=AB=DE=CD=2，∠BEC=90°，可得BC=AD=2+2=4，再根据勾股定理解答即可．
此题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，关键是根据平行四边形的性质和勾股定理解答．
10.【答案】D
【解析】解：在正方形ABCD中，BO=DO，BC=DC，
∵点F是DE的中点，OF=6，
∴BE=2OF=12，
∵CE=4，
∴DC=BC=8，
在Rt△DCE中，DE= DC2+CE2=4 5，
∴CF=12DE=2 5，
∴△CDE的面积=12CE⋅DC=12×4×8=16，
∵F是Rt△DCE斜边DE的中点，
∴△DCF面积=8，
设点D到CF的距离为x，则12x⋅CF=8，
∴12⋅x×2 5=8，
解得x=8 55，
∴点D到CF的距离为8 55．
故选：D．
由正方形的性质及三角形的中位线的性质可求得DC=8，利用勾股定理及直角三角形的斜边上的中线的性质可求解DE，CF的长，进而求出△DCF面积为8，设点D到CF的距离为x，则12x⋅CF=8，可得点D到CF的距离．
本题考查正方形的性质及应用，涉及三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、点到直线的距离、勾股定理等知识，解题的关键是求出△DCF面积，用等面积法解决问题．
11.【答案】 22
【解析】解： 12= 24= 2 4= 22．
故答案为 22．
先把12的分子分母都乘以2得到 12= 24，再利用二次根式的除法法则得到 2 4，然后利用二次根式的性质化简即可．
本题考查了二次根式的性质与化简： a2=|a|.也考查了二次根式的除法．
12.【答案】3
【解析】解：∵点D，点E分别是AB，AC边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12BC=12×6=3(cm)，
故答案为：3．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
13.【答案】60°
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠A=60°，
故答案为：60°．
直接利用平行四边形的对角相等即可得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的对角性质是解题关键．
14.【答案】直角三角形
【解析】【解答】
解：∵(a+5)(a−5)−b2=0，
∴a2−52−b2=0，
即a2=52+b2，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
【分析】
由(a+5)(a−5)−b2=0，推出a2=52+b2，根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
本题考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
15.【答案】103
【解析】解：如图，连接EG，
根据作图过程可知：BF是∠EBC的平分线，
∴∠EBG=∠CBG，
在△EBG和△CBG中，
EB=CB∠EBG=∠CBGBG=BG，
∴△EBG≌△CBG(SAS)，
∴GE=GC，
在Rt△ABE中，AB=6，BE=BC=10，
∴AE= BE2−AB2=8，
∴DE=AD−AE=10−8=2，
在Rt△DGE中，DE=2，DG=DC−CG=6−CG，EG=CG，
∴EG2−DE2=DG2
∴CG2−22=(6−CG)2，
解得CG=103．
故答案为：103．
根据作图过程可得BF是∠EBC的平分线，然后证明△EBG≌△CBG，再利用勾股定理即可求出CG的长．
本题考查了矩形的性质，>作一个角的平分线，勾股定理，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
16.【答案】60 3
【解析】解：(1)如图，由翻折的性质得：
∠1=∠2，∠3=∠4，∠C=∠2+∠3，∠D=∠AGE，∠B=∠AGF，
∵∠AGE+∠AGF=180°，
∴∠D=∠AGE=∠B=∠AGF=90°，
∵四边形内角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，
∴3(∠2+∠3)=180°，
∴∠2+∠3=60°，
∴∠EAF=60°．
故答案为：60°；
(2)∵四边形AECF是菱形，
∴AE=AF，S△AEF=S△CEF，
∵点G为EF中点，
∴∠2=∠3=30°，
设DE=x，则AE=2x，
∴AD= AE2−DE2= 3x，
∴四边形纸片ABCD的面积是：3S△AEF=3×12×EF×AG=3×12×2x× 3x=3 3，
解得：x=1，
∴AB= 3．
故答案为： 3．
(1)由翻折的性质得：∠1=∠2，∠3=∠4，∠C=∠2+∠3，∠D=∠AGE，∠B=∠AGF，再结合∵四边形内角和为360°，即可求出∠EAF=60°；
(2)由边形AECF是菱形得AE=AF、S△AEF=S△CEF，由点G为EF中点，∠2=∠3=30°，设DE=x，勾股定理求出AD= 3x，由四边形纸片ABCD的面积3 3解出x，即可求得AB．
本题主要考查了翻折的性质、四边形内角和、菱形的性质，利用翻折性质：对应角相等、对应边相等是本题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=2 2+2 3−3 3+ 2
=3 2− 3；
(2)原式= 2×12− 2×3+ 48÷3
=2 6− 6+4
= 6+4．
【解析】(1)先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
(2)先进行二次根式的乘法和除法法则计算，然后化简后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，AB=CD，∠BAD=∠BCD．
∴∠ABE=∠CDF．
∵AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，
∴∠BAE=12∠BAD，∠DCF=12∠BCD．
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠BAE=∠DCF．
在△BAE与△DCF中，
∠BAE=∠DCFAB=CD∠ABE=∠CDF，
∴△BAE≌△DCF(ASA)．
∴BE=DF．
【解析】先由平行四边形的性质得到AB/​/CD，AB=CD，∠BAD=∠DCB，求得∠ABE=∠CDF，再证△ABE≌△CDF(ASA)，然后由全等三角形的性质即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
19.【答案】解：原式=[(a+1)−(a−1)(a+1)(a−1)⋅(a+1)(a−1)2a
=2(a+1)(a−1)⋅(a+1)(a−1)2a
=1a，
当a= 2−1时，原式=1 2−1= 2+1．
【解析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，求出后代入，即可求出答案．
本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
20.【答案】解：(1)如图所示，直线EF 即为所求；
(2)∵四边形ABCD 是菱形，
∴∠ABD=∠DBC，DA//CB，
∴∠ABC+∠A=180°．
又∵∠A=30°，
∴∠ABC=150°．
∴∠ABD=∠DBC=75°，
∵EF 垂直平分线段AB，
∴AF=FB．
∴∠A=∠FBA=30°．
∴∠DBF=∠ABD−∠FBA=75°−30°=45°．
【解析】(1)分别以A、B为圆心，大于12AB长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可；
(2)利用菱形的性质得AD//BC，∠ABD=∠CBD=75°，则∠ABC=150°，再利用平行线的性质得∠A=180°−∠ABC=180°−150°=30°，接着根据线段垂直平分线的性质得AF=BF，则∠A=∠FBA=30°，然后计算∠ABD−∠FBA即可．
本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的性质等知识，解题时注意：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
21.【答案】(1)证明：连接AC，
∵∠B=90°，
∴AC2=BA2+BC2=400+225=625，
∵DA2+CD2=242+72=625，
∴AC2=DA2+DC2，
∴△ADC是直角三角形，即∠D是直角，
∴CD⊥AD；
(2)解：S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC
=12AB⋅BC+12AD⋅CD
=12×20×15+12×24×7
=234．
【解析】(1)连接AC，根据勾股定理可知AC2=BA2+BC2，再根据AC2=DA2+DC2即可得出结论；
(2)根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC即可得出结论．
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
在△AEB与△AFD中，
∠B=∠DBE=DF∠AEB=∠AFD,
∴△AEB≌△AFD(ASA)，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形．
(2)连接BD交AC于O．
∵四边形ABCD是菱形，AC=6，
∴AC⊥BD，
AO=OC=12AC=12×6=3，
∵AB=5，AO=3，
∴BO= AB2−AO2= 52−32=4，
∴BD=2BO=8，
∴S平行四边形ABCD=12×AC×BD=24．
【解析】(1)利用全等三角形的性质证明AB=AD即可解决问题；
(2)连接BD交AC于O，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题；
本题考查菱形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
23.【答案】解：(1)原式=2(3+ 7)(3− 7)(3+ 7)
=2(3+ 7)32−7
=3+ 7；
(2)3a2−18a−1
=3a2−18a+27−28
=3(a2−6a+9)−28
=3(a−3)2−28．
∵a=3−2 2(3+2 2)(3−2 2)
=3−2 29−8
=3−2 2．
∴原式=3(3−2 2−3)2−28
=3×(−2 2)2−28
=3×8−28
=−4．
【解析】(1)分子、分母都乘以3+ 7，化简得结果；
(2)a表示数的分子、分母都乘以3−2 2，化简后代入代数式3a2−18a−1里，计算得结果．
本题考查了二次根式的运算，掌握分母有理化和二次根式的运算法则是解决本题的关键．
24.【答案】(1)证明：如图1中，
∵AD/​/BC，AB/​/CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB/​/CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
(2)①如图2中，延长CM、BA交于点E．
∵AN=BN=2，
∴AB=CD=4，
∵AE/​/DC，
∴∠E=∠MCD，
在△AEM和△DCM中，
∠E=∠MCD∠AME=∠CMDAM=DM，
∴△AME≌△DMC，
∴AE=CD=4，
∵∠BNC=2∠DCM=∠NCD，
∴∠NCE=∠ECD=∠E，
∴CN=EN=AE+AN=4+2=6．
②如图3中，延长CM、BA交于点E．
由①可知，△EAM≌△CDM，EN=CN，
∴EM=CM=3，EN=CN=4，设BN=x，则BC2=CN2−BN2=CE2−EB2，
∴42−x2=62−(x+4)2，
∴x=12，
∴BC= CN2−BN2= 42−(12)2=3 72．
【解析】(1)只要证明∠B=90°即可．
(2)如图2中，延长CM、BA交于点E，只要证明△AME≌△DMC，得到AE=CD−4，再证明EN=CN即可解决问题．
(3)如图3中，延长CM、BA交于点E.设BN=x，则BC2=CN2−BN2=CE2−EB2，由此列出方程即可解决问题．
本题考查矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加常用辅助线．构造全等三角形，属于中考考查图形．
25.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠C=90°，AB=BC=AD=CD，
∴∠ABM+∠CBF=90°，
∵AE⊥BF，
∴∠ABM+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△CBF中，∠BAE=∠CBF AB=BC ∠ABE=∠C ，
∴△ABE≌△CBF(ASA)，
∴AE=BF；
(2)解：①GE=BF；理由如下：
作GH⊥BC于H，如图2所示：
则GH=AB=BC，∠GHE=90°=∠C，
∴∠HGE+∠GEH=90°，
∵GE⊥BF，
∴∠CBF+∠GEH=90°，
∴∠HGE=∠CBF，
在△HGE和△CBF中，∠HGE=∠CBF GH=BC ∠GHE=∠C ，
∴△HGE≌△CBF(ASA)，
∴BE=BF；
②MN=NG+ME；理由如下：
连接BN、FN，过N作PQ⊥AB于P，交CD于Q，如图3所示：
则AP=DQ，PQ=AD=AB=CD，PQ⊥CD，
则∠APN=∠BPN=∠NQF=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45°，
∴△APN是等腰直角三角形，
∴PN=AP=DQ，
∴BP=NQ，
∵GE垂直平分BF，
∴BN=FN，BM=FM=12BF，
在Rt△BPN和Rt△NQF中，BN=FNBP=NQ，
∴Rt△BPN≌Rt△NQF(HL)，
∴∠PBN=∠QNF，
∵∠PBN+∠BNP=90°，
∴∠QNF+∠BNP=90°，
∴∠BNF=90°，
∴△BNF是等腰直角三角形，
∴∠NFM=45°，
∵GE⊥BF，
∴△MNF是等腰直角三角形，
∴MN=FM=12BF，
由①得：GE=BF，
∴MN=12GE，
∴MN=NG+ME．
【解析】(1)由ASA证明△ABE≌△CBF，即可得出结论；
(2)①作GH⊥BC于H，则GH=AB=BC，∠GHE=90°=∠C，由ASA证明△HGE≌△CBF，即可得出结论；
②连接BN、FN，过N作PQ⊥AB于P，交CD于Q，则AP=DQ，PQ=AD=AB=CD，PQ⊥CD，则∠APN=∠BPN=∠NQF=90°，证明△APN是等腰直角三角形，得出PN=AP=DQ，证出BP=NQ，由线段垂直平分线的性质得出BN=FN，BM=FM=12BF，由HL证明Rt△BPN≌Rt△NQF得出∠PBN=∠QNF，证出∠BNF=90°，得出△BNF是等腰直角三角形，得出∠NFM=45°，证出△MNF是等腰直角三角形，得出MN=FM=12BF，由①得：GE=BF，得出MN=12GE，即可得出结论．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．