广东省揭阳市惠来县第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数为方程(，)的一个根，则该方程的另一个复数根是（ ）
A. B. C. D.
3. 设是等比数列，且，，则（ ）
A. 12B. 24C. 30D. 32
4．用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有（ ）
A．16个B．12个C．9个D．8个
5. 已知直线和圆，则“”是“直线与圆相切”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6．已知函数在处取得极小值1，则（ ）
A． B． C． D．
7 已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点能作圆的两条切线，切点为A，，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A B. C. D.
8. 若函数在区间恰有2个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（ ）
A．该地农户家庭年收入的极差为12
B．估计该地农户家庭年收入的75%分位数约为9
C．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
D．估计该地农户家庭年收入的平均值超过6.5万元
10. 已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. “”是“与夹角为钝角”的充要条件
D. 若，则在上的投影向量的坐标为
11．如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别是，的中点，为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．一定是异面直线
B．存在点，使得
C．直线与平面所成角的正切值的最大值为
D．过M，N，P三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 记为等差数列的前项和，若，则___________.
13．已知泳池深度为，其容积为，如果池底每平方米的维修费用为元．设入水处的较短池壁长度为，且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例系数为，较长的池壁总维修费用满足代数式，则当泳池的总维修费用最低时的值为 ．
14. 已知函数是上的奇函数，，都有成立，则________．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知函数.
(1)求函数的最小值；
(2)求函数过点的切线；
16．（15分）记为等差数列的前n项和．已知，
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
17．（15分）如图，在四棱锥中，底面.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
18．（17分）已知点在双曲线上
(1)求双曲线的方程
(2)过点的互相垂直的两直线与轴分别交于点，求面积的最小值
(3)已知直线交双曲线于两点，且直线的斜率之和为0，求直线的斜率
19．（17分）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质．
(1)类比正、余弦函数导数之间的关系，，，请写出，具有的类似的性质（不需要证明）；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)求的最小值．