黑龙江省哈尔滨哈尔滨市第一二二中学校2024届高三下学期校二模考试数学试卷

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这是一份黑龙江省哈尔滨哈尔滨市第一二二中学校2024届高三下学期校二模考试数学试卷，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，且P(21.5)等于( )
A. 0.14B. 0.62C. 0.72D. 0.86
2.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A. f(x)=−lnxB. f(x)=12xC. f(x)=−1xD. f(x)=3|x−1|
3.已知集合A={x|x>−1,x∈R}，B={x|x2−x−2≥0,x∈R}，则下列关系中，正确的是( )
A. A⊆BB. ∁RA⊆∁RBC. A∩B=⌀D. A∪B=R
4.“sin2θ>0”是“θ为第一或第三象限角”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5.长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有15的学生每天玩手机超过1h，这些人近视率约为12，其余学生的近视率约为38，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是( )
A. 15B. 716C. 25D. 78
6.如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆左焦点F1的直线与椭圆C相交于P，Q两点，|QF2|=2|PF2|，cs∠PF2Q=14，则椭圆C的离心率为( )
A. 55B. 105C. 22D. 34
7.已知圆O的方程为x2+y2=1，过第一象限内的点P(a,b)作圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若PO⋅PA=8，则a+b的最大值为( )
A. 3B. 3 2C. 4 2D. 6
8.已知函数f(x)的导函数f′(x)=(x+2)(x2+x+m)，若−2是函数f(x)的极大值点，则实数m的取值范围为( )
A. (−2,+∞)B. (−4,−2]C. (−∞,−2]D. (−∞,−2)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知f(x)=2sin(ωx+φ)(其中ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. f(x)=2sin(4x+π3)
B. |f(x)|的最小正周期为π2
C. 不等式f(x)≥1的解集为{x |−π24+kπ2≤x≤π8+kπ2,k∈Z}
D. 将f(x)的图象向右平移θ个单位长度变为偶函数，则θ的最小值是5π24
10.关于函数f(x)=ex，g(x)=x2，下列说法正确的是( )
A. 若过点(a,b)可以作曲线f(x)的两条切线，则0B. 若f(x)−kx≥0在R上恒成立，则实数k的取值范围为0≤k≤e
C. 若g(x)≤mf(x)在[1,3]上恒成立，则m≥4e2
D. 若函数h(x)=g(x)f(x)−t有且只有一个零点，则实数t的范围为t>4e2
11.已知复数z0=1−i和z，则下列命题是真命题的有( )
A. 若z满足|z−z0|=z0+z0−，则其在复平面内对应点的轨迹是圆
B. 若z满足|z−z0|+|z−z0−|=3，则其在复平面内对应点的轨迹是椭圆
C. 若z满足|z−z0|−|z−z0−|=2，则其在复平面内对应点的轨迹是双曲线
D. 若z满足|z+z0+z0−|=|z−z0−|，则其在复平面内对应点的轨迹是抛物线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，正六边形ABCDEF的边长为1，(AB+BC+CD)⋅DE=______．
13.测量塔高AB时，选取与塔底B在同一水平内的两个测量点C与D，现测得∠BCD=5π12，∠BDC=π3，CD=100，在点C测得塔顶A的仰角为π4，测塔高AB=______．
14.已知点A1，A2是等轴双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右顶点，且点M是双曲线C上异于A1，A2一点，∠A1MA2=2∠MA1A2，则∠MA1A2= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知椭圆C的两个焦点分别为F1(0,− 3),F2(0, 3)，且椭圆C过点P( 32,1)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点Q(12,1)作直线l交椭圆于M，N两点，Q是弦MN的中点，求直线l的方程．
16.(本小题15分)
中国新能源汽车企业在10余年间实现了“弯道超车”，使我国一跃成为新能源汽车产量连续7年居世界第一的全球新能源汽车强国.某新能源汽车配件企业积极加大科研力度，生产效益逐步攀升.该企业在今年1月份至5月份的生产利润y(单位：亿元)关于月份x的数据如表所示：
(1)试求y与x之间的相关系数r，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系；(若|r|>0.75，则认为两个变量具有较强的线性相关性)
(2)为扩大生产，该企业在M大学启动了校园招聘，分别招聘A、B两个工程师岗位，两个岗位都各设有3门笔试科目.M大学的硕士毕业生张无忌决定参加这次应聘，且每门科目考试是否通过相互独立.若张无忌报考A岗位，每门笔试科目通过的概率依次为12，t，25，其中0附：参考数据：i=15(xi−x−)2=10，i=15(yi−y−)2=40，i=15(xi−x−)(yi−y−)=19．
相关系数r=i=1n(xi−x−)(yi−y−) i=1n(xi−x−)2 i=1n(yi−y−)2．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PB=AB=1，AD=PD=2，∠BAD=60°．
(1)求证：平面PAB⊥平面ABCD；
(2)若二面角P−BD−A的大小为120°，点E在棱PD上，且PE=2ED，求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an=( 2)bn(n∈N*).若{an}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．
(Ⅰ)求an和bn；
(Ⅱ)设cn=1an−1bn(n∈N*)，记数列{cn}的前n项和为Sn．
(i)求Sn；
(ii)求正整数k，使得对任意n∈N*均有Sk≥Sn．
19.(本小题17分)
对于函数y=f(x)，x∈D1，y=g(x)，x∈D2及实数m，若存在x1∈D1，x2∈D2，使得f(x1)+g(x2)=m，则称函数f(x)与g(x)具有“m关联”性质．
(1)若f(x)=sinx与g(x)=cs2x具有“m关联”性质，求m的取值范围；
(2)已知a>0，f(x)为定义在R上的奇函数，且满足；
①在[0,2a]上，当且仅当x=a2时，f(x)取得最大值1；
②对任意x∈R，有f(a+x)+f(a−x)=0．
求证：y1=sinπx+f(x)与y2=csπx−f(x)不具有“4关联”性．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：因为X～N(2,σ2)，所以P(X<2)=P(X>2)=0.5，
P(2P(X>1.5)=P(1.5故选：D．
根据正态曲线的对称性即可得．
本题考查正态分布的性质，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：对于A，因为y=lnx在(0,+∞)上单调递增，y=−x在(0,+∞)上单调递减，
所以f(x)=−lnx在(0,+∞)上单调递减，故A错误；
对于B，因为y=2x在(0,+∞)上单调递增，y=1x在(0,+∞)上单调递减，
所以f(x)=12x在(0,+∞)上单调递减，故B错误；
对于C，因为y=1x在(0,+∞)上单调递减，y=−x在(0,+∞)上单调递减，
所以f(x)=−1x在(0,+∞)上单调递增，故C正确；
对于D，因为f(12)=3|12−1|=312= 3，f(1)=3|1−1|=30=1，f(2)=3|2−1|=3，
显然f(x)=3|x−1|在(0,+∞)上不单调，D错误．
故选：C．
利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可．
本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：已知集合A={x|x>−1,x∈R}，B={x|x2−x−2≥0,x∈R}，
解得B={x|x≥2或x≤−1，x∈R}，
∁RA={x|x≤−1,x∈R}，∁RB={x|−1则A∪B=R，A∩B={x|x≥2}，
故选：D．
根据集合的基本运算对每一选项判断即可．
本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
4.【答案】C
【解析】解：∵sin2θ=2sinθ⋅csθ>0⇔sinθcsθ>0⇔tanθ>0，
∴θ为第一或第三象限角．
故选：C．
由题意sin2θ=2sinθ⋅csθ>0即sinθ与csθ同号，即tanθ>0，由任意角三角函数定义即可知角所在象限．
本题考查了不同象限角的三角函数值的符号判断，任意角三角函数的定义，同角三角函数基本关系式，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：某学校学生中，大约有15的学生每天玩手机超过1h，则有45的学生每天玩手机低于1h，
超过1h近视率约为12，低于1h近视率约为38，
所以从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是15×12+45×38=410=25．
故选：C．
根据近视情况分为超过1h和低于1h两种可能，利用古典概率模型计算可得．
本题考查古典概率模型，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：设椭圆C的焦距为2c，|PF2|=t，|QF2|=2t，
有|PF1|=2a−t，|QF1|=2a−2t，|PQ|=4a−3t，
在△PQF2中，由余弦定理有(4a−3t)2=t2+4t2−2⋅t⋅2t⋅14，有t=45a，
可得|QF2|=85a,|PQ|=85a,|PF1|=65a，
有∠PF2Q=∠QPF2，则cs∠PF2Q=cs∠QPF2=14，
在△PF1F2中，由余弦定理有2c= (6a5)2+(4a5)2−2×6a5×4a5×14=2 10a5，
可得e=ca= 105，
则椭圆C的离心率为 105．
故选：B．
设椭圆C的焦距为2c，|PF2|=t，|QF2|=2t，利用椭圆的性质和余弦定理即可求解．
本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：如图，
由PO⋅PA=8，得|PO||PA|cs∠OPA=|PA|2=a2+b2−1=8，
即a2+b2=9．
∴(a+b)2≤2(a2+b2)=18，
∴a+b的最大值为3 2，
故选：B．
由已知结合数量积的几何意义求得a2+b2=9，再由基本不等式求最值．
本题主要考查向量数量积的几何意义，考查基本不等式的运用，是中档题．
8.【答案】D
【解析】解：由题意f′(x)=(x+2)(x2+x+m)，
令g(x)=x2+x+m，
若g(x)≥0恒成立，
则当x∈(−∞,−2)时f′(x)≤0，f(x)单调递减，
当x∈(−2,+∞)时f′(x)≥0，f(x)单调递增，
所以−2是f(x)的极小值点，不合题意，
所以g(x)有两个不同零点，
设g(x)的两个零点分别为x1，x2(x1结合三次函数的图象与性质知：x1<−2在(−∞,x1)，(−2,x2)上f′(x)<0，f(x)单调递减，
在(x1,−2)，(x2,+∞)上f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以−2是f(x)的极大值点，符合题意，
此时需g(−2)=2+m<0，得m<−2，
所以实数m的取值范围为(−∞,−2)．
故选：D．
令g(x)=x2+x+m且g(x)≥0恒成立，根据f(x)的极值点得到矛盾，g(x)有两个不同的零点，利用三次函数性质判断f(x)单调性，进而求参数范围．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：由题意得，12T=π6−(−π12)=π4，
所以T=π2，ω=4，f(x)=2sin(4x+φ)，
由五点作图法可知，4×(−π12)+φ=0，即φ=π3，
所以f(x)=2sin(4x+π3)，A正确；
根据函数图象的变换可知，|f(x)|的最小正周期为π4，B错误；
由f(x)=2sin(4x+π3)≥1可得，sin(4x+π3)≥12，
所以π6+2kπ≤4x+π3≤5π6+2kπ，k∈Z，
解得，kπ2−π24≤x≤kπ2+π8，k∈Z，C正确；
将f(x)的图象向右平移θ个单位长度可得y=2sin(4x+π3−4θ)，
若该函数为偶函数，则π3−4θ=π2+kπ，k∈Z，
所以θ=−π24−kπ4，k∈Z，
因为θ>0，
则θ的最小值为5π24，D正确．
故选：ACD．
根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质即可得到结论．
本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象的性质，属于中档题．
10.【答案】ABC
【解析】解：对A：由题意知可知当点(a,b)在曲线f(x)=ex的下方和x轴上方才可以作出两条切线，
所以0对B：由f(x)−kx≥0在R上恒成立，等价于y=ex在R上横在y=kx上方，
设y=ex的切点坐标为(x0,y0)，其切线方程为y−ex0=ex0(x−x0)，
对应的切线经过坐标原点，将(0,0)代入解得x0=1，其切线斜率k=e，
所以实数k的取值范围为0≤k≤e，故B正确；
对C：若g(x)≤mf(x)在[1,3]上恒成立，则m≥g(x)f(x)=x2ex在[1,3]时恒成立，
即m≥(g(x)f(x))max，x∈[1,3]，设F(x)=g(x)f(x)=x2ex，x∈[1,3]，则F′(x)=x(2−x)ex，
当x∈[1,2)时，F′(x)>0，当x∈(2,3]，F′(x)<0，
所以F(x)在区间[1,2)上单调递增，(2,3]上单调递减，
当x=2时，F(x)取到极大值也是最大值为F(2)=4e2，所以m≥4e2，故C正确；
对D：由C知，当x∈(−∞,0)时，F′(x)<0，当x∈(0,2)时，F′(x)>0，
当x∈(2,+∞)时，F′(x)<0，
所以F(x)在区间(−∞,0)，(2,+∞)上单调递减，(0,2)上单调递增，
当x=0时，F(x)取到极小值F(0)=0，当x=2时，F(x)取到极大值F(2)=4e2，
而x>0时，f(x)>0恒成立，故可画出函数F(x)的图象如下：
要求函数h(x)=g(x)f(x)−t的零点，即求y=F(x)与y=t图象的交点个数，
所以可知t>4e2或t=0时，有且只有一个零点，故D错误．
故选：ABC．
根据题意可知点(a,b)在f(x)=ex下方及x轴上方，从而可对A判断；设出y=ex切点(x0,y0)，求出切线方程，再结合题意中的几何条件，从而可对B判断；构造函数F(x)=x2ex，利用导数分别可求出F(x)的单调性及最值情况，画出相应图象，从而可对C、D判断求解．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，函数恒成立问题，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】AB
【解析】解：因为z0=1−i，可得|z−z0|=z0+z0−=2，
表示复平面内点(x,y)与点(1,−1)之间的距离为定值2，
则z在复平面内对应点的轨迹是圆，故A正确；
|z−z0|+|z−z0−|=3，表示复平面内点(x,y)到点(1,−1)和(1,1)的距离之和为3，
又|z0−z0−|=2，满足椭圆的定义2a>|F1F2，故B正确；
足|z−z0|−|z−z0−|=2，表示复平面内点(x,y)到点(1,−1)和(1,1)的距离之差为2，
又|z0−z0−|=2，不满足双曲线的定义2a<|F1F2|，故C不正确；
|z+z0+z0−|=|z−z0−|，表示复平面内点(x,y)到点(−2,0)和(1,1)的距离相等，
故轨迹是直线，故D错误．
故选：AB．
运用复数的几何意义，结合圆，椭圆，双曲线，抛物线的定义可判断每个选项的正确性．
本题考查复数的几何意义，考查椭圆，双曲线，抛物线的定义，属基础题．
12.【答案】−1
【解析】解：依题意，∠ADE=60°，AD=2DE，
则(AB+BC+CD)⋅DE=AD⋅DE=−|DA|⋅|DE|cs=−2×1×cs60°=−1．
故答案为：−1．
由正六边形性质，结合向量线性运算及数量积运算即可．
本题考查平面向量的数量积及其运用，考查运算求解能力，属于基础题．
13.【答案】50 6
【解析】解：如图，
线段AB是塔，△BCD在地平面内，∠BCD=5π12,∠BDC=π3,CD=100，
则有∠CBD=π4，由正弦定理BCsin∠CDB=CDsin∠CBD，
得：BC=100sinπ3sinπ4=50 6，直角△ABC中，AB⊥BC,∠ACB=π4，
则AB=BC=50 6，
所以塔高AB=50 6．
故答案为：50 6．
根据给定条件，作出图形，再利用正弦定理及直角三角形边角关系计算作答．
本题考查解三角形，考查学生的运算能力，属于中档题．
14.【答案】π8
【解析】解：设∠MA1A2=α，则∠A1MA2=2α，∠MA2x=3α，
所以∠MA1A2+∠A1MA2=α+2α=3α∈(0,π)，即α∈(0,π3)，
设M(x0,y0)，则x02a2−y02b2=1，
因为双曲线C为等轴双曲线，所以x02a2−y02a2=1，即x02−y02=a2，
因为A1(−a,0)，A2(a,0)，
所以kMA1kMA2=y0x0+a⋅y0x0−a=y02x02−a2=1，
所以tan∠MA1A2⋅tan∠MA2x=1，即tanα⋅tan3α=1，
所以sinαsin3αcsαcs3α=1，即csαcs3α−sinαsin3α=0，
所以cs(α+3α)=cs4α=0，
因为α∈(0,π3)，所以4α=π2，即α=π8，
所以∠MA1A2=π8．
故答案为：π8．
设∠MA1A2=α，α∈(0,π3)，结合等轴双曲线的定义与直线斜率的求法，推出tanα⋅tan3α=1，再利用同角三角函数的商数关系与两角和的余弦公式，求解即可．
本题考查双曲线的几何性质，理解等轴双曲线的定义，熟练掌握同角三角函数的商数关系、两角和的余弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
15.【答案】解：(1)椭圆C的两个焦点分别为F1(0,− 3),F2(0, 3)，
设椭圆C的标准方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0)，且c= 3，
则a2=b2+c2=b2+3①，
又椭圆C过点P( 32,1)，所以1a2+34b2=1②，
联立①②，解得a2=4，b2=1，
所以椭圆C的标准方程为y24+x2=1．
(2)由题意可知直线l的斜率存在，且直线l过点Q(12,1)，
设直线l的方程为y−1=k(x−12)，即y=kx+1−12k，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
则y=kx+1−12ky24+x2=1，消去y得(k2+4)x2+(2k−k2)x+14k2−k−3=0，
Δ=(2k−k2)2−4(k2+4)(14k2−k−3)>0，
所以x1+x2=−2k−k2k2+4,x1x2=14k2−k−3k2+4，
又Q(12,1)是弦MN的中点，所以x1+x2=k2−2kk2+4=1，解得k=−2，
故直线l的方程为2x+y−2=0．
【解析】(1)根据焦点坐标设椭圆方程y2a2+x2b2=1(a>b>0)，将P( 32,1)代入椭圆方程，结合a2=b2+c2即可求解；
(2)设直线 l的方程为y−1=k(x−12)，联立直线与椭圆方程，得出x1+x2=2k−k2k2+4，再由中点坐标知x1+x22=12，求出k值，即可得到直线l的方程．
本题考查了利用待定系数法求椭圆的标准方程，椭圆的性质和直线与椭圆的综合，考查了方程思想和转化思想，属中档题．
16.【答案】解：(1)由题意，r=19 10× 40=0.95>0.75，故y与x具有较强的线性相关关系．
(2)由题意，因为每门科目考试是否通过相互独立，
故张无忌通过A岗位的3门笔试a，b，c门数的数学期望为：
E(A)=E(a)+E(b)+E(c)=1×12+1×t+1×25=910+t，
通过B岗位的3门笔试d，e，f门数的数学期望为E(B)=E(d)+E(e)+E(f)=1×12+1×12+1×12=32，
故若张无忌更有希望通过A岗位的笔试，则910+t>32，又0即t的取值范围(35,1)．
【解析】(1)计算相关系数r，再进行判断即可；
(2)分别计算通过A，B两个岗位的科目数学期望，再比较大小判断即可．
本题考查离散型随机变量的数学期望相关知识，属于中档题．
17.【答案】(1)证明：在△ABD中，由余弦定理得BD= 12+22−2⋅1⋅2cs60°= 3，
所以AD2=AB2+BD2，PD2=PB2+BD2，
因此AB⊥BD，PB⊥BD，又AB∩PB=B，AB，PB⊂平面PAB，
所以BD∩面PAB，又因为BD⊂平面ABCD，
故平面PAB⊥平面ABCD；
(2)解：由于AB⊥BD，PB⊥BD，
所以二面角P−BD−A的平面角为∠PBA，即∠PBA=120°，
在平面PAB内过点B作AB的垂线，交AP于F，
由平面PAB⊥平面ABCD，且BF⊂平面PAB，平面PAB∩平面ABCD=AB，
所以BF⊥平面ABCD，以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则B(0,0,0),D(0, 3,0),C(−1, 3,0),P(−12,0, 32)，
设平面PBC的法向量为n=(x,y,z)，
由于BC=(−1, 3,0),BP=(−12,0, 32)，
则n⋅BC=0n⋅BP=0，即−x+ 3y=0−12x+ 32z=0，令x= 3，则y=z=1，所以n=( 3,1,1)，
又CE=CP+PE=CP+23PD=(56,− 33, 36)，
设直线CE与平面PBC所成角为θ，
则 sinθ=|cs〈CE,n〉|=|CE⋅n||CE|⋅|n|=2 33 5 2536+13+336= 65，
因此直线CE与平面PBC所成角的正弦值为 65．
【解析】(1)根据余弦定理求出BD= 3，再利用勾股定理逆定理和面面垂直的判定即可；
(2)建立合适的空间之间坐标系，求出相关法向量，根据线面角的空间向量求法即可．
本题考查了空间几何体中位置关系的证明和空间角的向量求法，属于中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)∵a1a2a3…an=( 2)bn(n∈N*) ①，
当n≥2，n∈N*时，a1a2a3…an−1=( 2)bn−1 ②，
由①②知：an=( 2)bn−bn−1，
令n=3，则有a3=( 2)b3−b2，
∵b3=6+b2，
∴a3=8．
∵{an}为等比数列，且a1=2，
设{an}的公比为q，则q2=a3a1=4，
由题意知an>0，
∴q>0，∴q=2．
∴an=2n(n∈N*).
又由a1a2a3…an=( 2)bn(n∈N*)得：
21×22×23…×2n=( 2)bn，
2n(n+1)2=( 2)bn，
∴bn=n(n+1)(n∈N*).
(Ⅱ)(i)∵cn=1an−1bn
=12n−1n(n+1)=12n−(1n−1n+1)．
∴Sn=c1+c2+c3+…+cn
=12−(11−12)+122−(12−13)+…+12n−(1n−1n+1)
=12+122+…+12n−(1−1n+1)
=1−12n−1+1n+1
=1n+1−12n；
(ii)因为c1=0，c2>0，c3>0，c4>0，
当n≥5时，
cn=1n(n+1)[n(n+1)2n−1]，
而n(n+1)2n−(n+1)(n+2)2n+1=(n+1)(n−2)2n+1>0，
得n(n+1)2n≤5⋅(5+1)25<1，
所以，当n≥5时，cn<0，
综上，对任意n∈N*，恒有S4≥Sn，故k=4．
【解析】本题考查了等比数列通项公式、求和公式，还考查了分组求和法、裂项求和法和猜想证明的思想，证明可以用二项式定理，还可以用数学归纳法．本题计算量较大，思维层次高，要求学生有较高的分析问题解决问题的能力，属于较难题．
(Ⅰ)先利用前n项积与前(n−1)项积的关系，得到等比数列{an}的第三项的值，结合首项的值，求出通项an，然后现利用条件求出通项bn；
(Ⅱ)(i)利用数列特征进行分组求和，一组用等比数列求和公式，另一组用裂项法求和，得出本小题结论；(ii)本小题可以采用猜想的方法，得到结论，再加以证明．
19.【答案】解：(1)由题意可知f(x1)=sinx1∈[−1,1]，g(x2)=cs2x2∈[−1,1]，
故f(x1)+g(x2)=sinx1+cs2x2∈[−2,2]，
则m的取值范围为[−2,2]；
(2)证明：因为在[0,2a]上，当且仅当x=a2时，f(x)取得最大值1，
且f(x)为定义在R上的奇函数，
故在[−2a,0]上当且仅当x=−a2时，f(x)取得最小值−1，
由对任意x∈R，有f(a+x)+f(a−x)=0，
所以f(a+x)=−f(a−x)，
所以f(x)图象关于点(a,0)对称，
又f(a+x)=−f(a−x)=f(x−a)，
即f(x+2a)=f(x)，
故2a为函数f(x)的周期，
故f(x)∈[−1,1]，
sinπx∈[−1,1]，csπx∈[−1,1]，
当f(x1)=1时，x1=a2+2na,n∈Z，
sinπx1=1时，x1=12+2k,k∈Z，
若a2+2na=12+2k，a=4k+14n+1，k，n∈Z，
此时有y1=sinπx1+f(x1)=2为最大值；
当f(x2)=−1时，x2=−a2+2ma,m∈Z，
csπx2=1时，x2=2t，t∈Z，
若−a2+2ma=2t，a=4t4m−1,t,m∈Z，
此时有y2=csπx2−f(x2)=2为最大值，
由于a=4k+14n+1≠4t4m−1，k，n，t，m∈Z，
故sinπx1+f(x1)+csπx2−f(x2)<4，
即不存在x1∈R，x2∈R，使得sinπx1+f(x1)+csπx2−f(x2)=4，
所以y1=sinπx+f(x)与y2=csπx−f(x)不具有“4关联”性．
【解析】(1)根据函数f(x)与g(x)具有“m关联”性质的定义，结合正余弦函数的性质，即可得答案．
(2)根据f(x)满足的性质，推出其对称性以及周期，可得f(x)∈[−1,1]，再结合正弦函数的性质推出sinπx1+f(x1)+csπx2−f(x2)<4，即说明不存在x1∈R，x2∈R，使得sinπx1+f(x1)+csπx2−f(x2)=4，即可得结论．
本题属于新概念题，考查了三角函数的性质、抽象函数的奇偶性及周期性，属于中档题．月份x
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黑龙江省哈尔滨哈尔滨市第一二二中学校2024届高三下学期校二模考试数学试卷

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