初中数学人教版七年级下册8.1 二元一次方程组精品综合训练题

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1．高度抽象性：数学的抽象，在对象上、程度上都不同于其它学科的抽象，数学是借助于抽象建立起来并借助于抽象发展的。
2．严密逻辑性： 数学具有严密的逻辑性，任何数学结论都必须经过逻辑推理的严格证明才能被承认。任何一门科学，都要应用逻辑工具，都有它严谨的一面。
3．广泛应用性：数学作为一种工具或手段，几乎在任何一门科学技术及一切社会领域中都被运用。各门科学的“数学化”，是现代科学发展的一大趋势。
专题8.1-2 二元一次方程组及其解法
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1、二元一次方程
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程的解
适合-一个二元- -次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
3、二元一次方程组
含有两个未知数的两个二元一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。
4、二元一次方程组的解
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
5、二元一次方程组的解法
(1)代入(消元)法(2)加减(消元)法
考点精讲
考点1：二元一次方程得定义
典例：（2023秋·江苏无锡·九年级统考期末）若方程是关于x的一元二次方程，则______．
方法或规律点拨
此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
巩固练习
1．（2023春·吉林长春·七年级长春市第二实验中学校考阶段练习）下列方程是二元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·河北邢台·七年级邢台三中校考阶段练习）若方程是二元一次方程，则表示的数是（ ）
A．B．0C．1D．2
3．（2023春·吉林长春·七年级东北师大附中校考阶段练习）下列方程中，二元一次方程的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2023春·浙江金华·七年级义乌市绣湖中学教育集团校考阶段练习）下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．B． C．D．
5．（2022春·湖南郴州·七年级校考阶段练习）下列各方程是二元一次方程的是（ ）
A． B．C．D．
6．（2022秋·湖南永州·七年级统考期中）若关于x的方程是二元一次方程，则______．
7．（2023春·吉林长春·七年级东北师大附中校考阶段练习）方程是关于，的二元一次方程，则的值为______．
8．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）若方程是关于，的二元一次方程，则的值为 ______ ．
9．（2022秋·湖南永州·七年级统考期末）已知 是关于x，y的二元一次方程，则 _______________．
10．（2022秋·河南郑州·八年级校联考期末）已知是二元一次方程，则a的值为______．
考点2：二元一次方程组的判定
典例：（2023春·湖南岳阳·七年级岳阳市弘毅新华中学校考阶段练习）下列方程组中，表示二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
方法或规律点拨
本题考查了二元一次方程组的定义，解题关键是掌握其中的三个条件：①是整式方程，②方程组中一共只含有两个未知数，③含未知数的项的次数是1．
巩固练习
1．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·湖南永州·七年级统考期末）在下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·海南海口·七年级海口市第十四中学校考阶段练习）下列属于二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·九年级专题练习）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022秋·湖南怀化·七年级校考阶段练习）下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·七年级专题练习）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·全国·七年级专题练习）下列方程组中，二元一次方程组的个数有（ ）
① ② ③ ④ ⑤
A．1个B．2个C．3个D．4个
考点3：二元一次方程（组）的解及应用
典例：（2023春·七年级课时练习）已知关于、的二元一次方程组的解为，则代数式的值是（ ）
A．B．2C．3D．
方法或规律点拨
本题考查了已知二元一次方程组的解求参数，将两个式子相减得到所需代数式是解题关键．
巩固练习
1．（2023春·浙江·七年级期中）方程的非负整数解有（）
A．1组B．2组C．3组D．4组
2．（2023春·浙江·七年级期中）已知是方程的解，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·北京通州·七年级校考阶段练习）现有5元和10元的人民币若干张，如果凑成50元人民币，有几（ ）种方法．
A．4B．5C．6D．7
4．（2022秋·广东佛山·八年级统考期末）若，是方程的解，则的值是（ ）
A．B．C．2D．3
5．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）下列是二元一次方程的解为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023春·北京东城·七年级北京市第一六六中学校考阶段练习）已知是二元一次方程的解，则k的值是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）小明求得方程组的解为，由于不小心，滴上了墨水，刚好遮住了两个数和，则这两个数分别为（ ）
A．和2B．和4C．2和D．2和
8．（2023秋·贵州毕节·八年级校联考期末）已知是方程的一个解，那么的值是（ ）
A．3B．1C．D．
9．（2023春·浙江·七年级期中）若是关于，的方程的一个解，则的值为______．
10．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考期末）已知是方程的一个解，那么a的值是______．
11．（2022秋·山东枣庄·八年级校考期中）若是方程组的解，则___________；___________．
考点4：二元一次方程组的解法
典例：（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）解下列方程组：
(1)（代入消元法）
(2)（加减消元法）
方法或规律点拨
本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤，具有消元的思想．
巩固练习
1．（2023春·全国·七年级专题练习）用代入法解方程组，使得代入后化简比较容易的变形是（ ）
A．由①得B．由①得C．由②得D．由②得
2．（2023春·全国·七年级专题练习）用代入法解方程组，下列解法中最简便的是（ ）
A．由①得代入②B．由①得代入②
C．由②得代入①D．由②得代入①
3．（2023春·河北邢台·七年级邢台三中校考阶段练习）用代入法解方程组时，代入正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·北京通州·七年级校考阶段练习）已知，是关于x，y的二元一次方程的解，则k，b的值是（ ）
A．，B．，C．，D．，
5．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）关于，的方程和的解相同，则的值为（ ）
A．B．C．D．0
6．（湖南省娄底市2021-2022学年七年级下学期期中考试作业（二）数学试题）解下列方程组：
(1)
(2)
7．（2023春·全国·七年级专题练习）解方程组：
(1)；
(2)．
8．（2023春·全国·七年级专题练习）解下列方程组：
(1)；
(2)．
9．（2023春·浙江·七年级期中）用适当的方法解下列方程组：
(1)；
(2)．
(3)；
(4)．
10．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）解下列方程组：
(1)（代入消元）
(2)（加减消元）
11．（2023春·浙江宁波·七年级校联考阶段练习）解方程组：
(1)
(2)
12．（2022秋·广东佛山·八年级统考期末）关于x、y的方程组．
(1)当时，解方程组；
(2)若方程组的解满足，求k的值．
13．（2022春·黑龙江大庆·七年级大庆一中校考期末）解下列方程组
(1)
(2)
考点5：二元一次方程组的错解问题
典例：（2023·全国·九年级专题练习）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为，乙看错了方程组中的，得解为．
(1)甲把错看成了什么？乙把错看成了什么？
(2)求出原方程组的正解．
方法或规律点拨
本题主要考查二元一次方程组的解及二元一次方程组的错解问题，理解方程组的解是使方程组中两方程成立的未知数的值是解题的关键．
巩固练习
1．（2023春·浙江·七年级专题练习）两位同学在解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得，乙看错②中的b，解得，那么a和b的正确值应是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的，得到方程组的解为则，的值分别为（ ）
A．，6B．2，6C．2，D．，
3．（2023·全国·九年级专题练习）甲乙两人同时解方程组，甲正确解得；乙因抄错了c，解得；则=___________，=___________，c= ___________．
4．（2023春·七年级单元测试）甲、乙两位同学解方程组，甲看错了方程组，中的a，得到的解为，乙看错了方程组中的b，得到的解为，则原方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022秋·全国·八年级专题练习）甲乙两人同时解方程组时，甲正确解得，乙因抄错c而解得，则a，c的值是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022秋·安徽滁州·七年级校考阶段练习）甲、乙两人求二元一次方程的整数解，甲正确地求出一组解为，乙把看成，求得一组解为，则a，b的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023春·海南海口·七年级海口市第十四中学校考阶段练习）已知，当时，；当时，．
(1)求k、b的值；
(2)求当x为何值时，？
8．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）小李、小张两位同学同时解方程组，小李解对了，得：，小张抄错了m，得：，求原方程组中a的值．
9．（2023春·浙江金华·七年级校考阶段练习）在解方程组时，甲同学因看错了b的符号，从而求得解为，乙同学因看漏了c，从而求得解为，试求的值．
10．（2023春·七年级课时练习）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为；乙看错了方程组中的，而得解为.
(1)求出原方程组的正确解．
(2)甲把看成数是多少？乙把看成的数是多少？
11．（2023春·全国·七年级专题练习）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试求出，的正确值，并计算的值．
12．（2023春·七年级单元测试）已知关于x，y的方程组，甲同学由于看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙同学由于看错了方程②中的b，得到方程组的解为．
(1)求出原题中a和b的正确值是多少？
(2)求这个方程组的正确解是多少？
13．（2023春·浙江·七年级专题练习）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到了方程组的解为；乙把字母b看错了得到方程组的解为．
(1)求的值；
(2)求原方程组的解．
14．（2022秋·全国·八年级专题练习）甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为；乙看错了方程组中的b，而得解为．
(1)甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？
(2)请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解．
考点6：二元一次方程组的特殊解法
典例：（2022·山东济南·八年级期中）阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组，小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令，．
原方程组化为，
解得，
把代入，，
得，
解得．
∴原方程组的解为．
请你参考小明同学的做法解方程组：
(1)
(2)
方法或规律点拨
本题考查了换元法解方程组，熟练掌握换元法解方程组的意义是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·全国·八年级单元测试）已知方程组的解是，则的解是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·陕西·无八年级期中）已知二元一次方程组的解是；那么方程组的解是___________．
3．（2022·全国·八年级专题练习）已知，满足方程组，则的值为______．
4．（2022·江苏·射阳县实验初级中学七年级期中）方程组的解是，请你写出方程组的解______．
5．（2022·全国·九年级专题练习）关于x、y的方程组，则x+y的值为________
6．（2022·四川·广元市利州区东城实验学校七年级期末）若方程组的解是，则方程组的解是_____．
7．（2022·山东·曲阜师范大学附属实验学校七年级期末）已知关于a，b满足方程组，则的值为_____________．
8．（2022·浙江·之江中学七年级阶段练习）关于x，y的方程组的解为，则①__________．
②关于x，y的方程组的解为__________．
9．（2022·江苏·测试·编辑教研五七年级阶段练习）用换元法解方程组，若设，，则原方程组可化为方程组_______．
10．（2022·江西赣州·七年级期中）三个同学对问题“若方程组，的解是求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程通过换元替换的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是________________．
11．（2022·山西临汾·七年级期末）已知关于和的方程组的解是，则另一关于、的方程组的解是______．
12．（2022·福建·漳州三中八年级期中）阅读材料：小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法：
解：将方程②变形：，即…③，把方程①代入③得：即，把代入方程①，得，所以方程组的解为．
请你解决以下问题
(1)模仿小强同学的“整体代换”法解方程组；
(2)已知x，y满足方程组
（i）求的值；
（ii）求出这个方程组的所有整数解．
13、（2022·山东济南·八年级期中）阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组，小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令，．
原方程组化为，
解得，
把代入，，
得，
解得．
∴原方程组的解为．
请你参考小明同学的做法解方程组：
(1)
(2)
考点7：含有字母系数的二元一次方程组
典例：典例：（2022·浙江·龙游县华岗中学七年级阶段练习）已知关于，的方程组，下列结论中正确的有几个（ ）
①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；
②当时，方程组的解也是方程的解；
③无论取什么实数，的值始终不变；
④若用表示，则；
A．1B．2C．3D．4
方法或规律点拨
本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·江苏·如皋市石庄镇初级中学七年级阶段练习）方程组的解适合方程，则k值为( )
A．2B．C．1D．
2．（2022·河北·邯郸市第二十三中学七年级期中）已知方程组的解x、y满足方程5x﹣y＝3，求k的值为（ ）
A．-1B．-2C．-3D．-4
3．（2022·海南省直辖县级单位·七年级期末）若方程组的解适合，则k的值为（ ）
A．3B．4C．5D．7
4．（2022·浙江·宁波外国语学校七年级期中）若关于x，y的方程组的解满足x+y=2022，则k等于（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
5．（2022·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校七年级期中）若关于，的方程组的解互为相反数，则的值等于（ ）
A．1B．0C．－1D．2
6．（2022·全国·八年级专题练习）已知关于x，y的方程组 ，给出下列结论：①不论a取何值，方程组总有一组解；②当a＝﹣2时，x，y的值互为相反数；③x+2y＝3；④当时，a＝2．其中正确的是（ ）
A．②③B．①②③C．①③④D．①②③④
7．（2022·全国·八年级单元测试）已知关于，的方程组，给出下列说法：
①当时，该方程组的解也是方程的一个解；
②当时，则；
③无论取任何实数，的值始终不变，以上三种说法中正确的有（ ）个
A．0B．1C．2D．3
解的定义，二元一次方程组的解的定义，平方差公式，解二元一次方程组．
8．（2022·重庆一中八年级阶段练习）已知关于、的二元一次方程组的解满足，则的值为______．
9．（2022·山东·夏津县万隆实验中学七年级阶段练习）关于x，y的二元一次方程组的解为正整数，则满足条件的所有整数a的和为___________．
10．（2021·四川省南充市高坪中学七年级期中）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程中的，解得，乙看错中的，解得，试求的值.
11．（2022·福建省永春乌石中学七年级阶段练习）已知关于x，y的方程组
(1)试用含的式子表示方程组的解．
(2)若方程组的解也是方程的解，求的值．
12．（2022·全国·八年级专题练习）已知关于x、y的方程组；
(1)请写出方程的所有正整数解；
(2)若方程组的解满足，求m的值；
(3)当m每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解吗；
(4)如果方程组有整数解，求整数m的解．
13．（2022·福建·晋江市阳溪中学七年级阶段练习）阅读以下内容：
已知x，y满足x+2y=5，且，求m的值．
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于x，y的方程组再求 m的值．
乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求m的值．
丙同学：先解方程组 再求m的值．
你最欣赏上面的哪种思路?先根据你所选的思路解答此题，再简要说明你选择这种思路的理由．
能力提升
一、单选题（每题3分）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·八年级单元测试）下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·吉林·长春博硕学校七年级阶段练习）关于x、y的二元一次方程组，用代入法消去y后所得到的方程，正确的是（ ）
A．3x﹣x﹣5＝8B．3x+x﹣5＝8C．3x+x+5＝8D．3x﹣x+5＝8
4．（2022·山东滨州·八年级期中）如果是关于x和y的二元一次方程的解，那么m的值是（ ）
A．B．4C．D．2
5．（2022·福建·漳州三中八年级期中）已知是方程的解，则m的值为（ ）
A．7B．C．1D．
6．（2022·陕西·商南县富水镇初级中学八年级期中）剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标为，则的值为（ ）
A．B．C．0D．1
二、填空题（每题3分）
7．（2022·福建·仙游县蔡襄中学七年级期末）已知：，用含x的式子表示y，y=________．
8．（2021·湖南·武冈市教育科学研究所七年级期末）若是方程组的解，则的值是______________.
9．（2022·重庆一中八年级阶段练习）已知关于、的二元一次方程组，则的值为______．
的关键．
10．（2021·浙江·嵊州市马寅初初级中学七年级期中）若方程组的解为，则的解为__________________________．
11．（2021·浙江·七年级期中）一个被墨水污染的方程组如下：，小刚回忆说：这个方程组的解是，而我求出的解是，经检查后发现，我的错误是由于看错了第二个方程中的x的系数所致，请你根据小刚的回忆，把方程组复原出来，为______．
12．（2022·江西·泰和水槎中学八年级期末）已知方程组和的解相同，则______．
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．（2022·山东济南·八年级期中）解下列方程组：
(1)；
(2)．
14．已知关于x,y的二元一次方程组,
（1）当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，求a的值；
（2）说明无论a取什么数，的值始终不变．
15．完成下列问题：
（1）已知方程组的解x、y的值相等，求m的值．
（2）甲、乙两位同学在解方程组时，甲看错了a，解得；乙将一个方程中的b写成了相反数，解得，求a、b的值．