2024年河南省中考模拟数学模拟预测题（原卷版+解析版）

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1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 下列各数中，小于0的是（ ）
A. 8B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了比较有理数的大小．根据“正数大于0，0大于负数，两个负数相比，绝对值大的反而小”判断即可．
【详解】解：8、、都大于0，只有小于0，
∴小于0的数是．
故选：C．
2. 如图所示的几何体是阶梯教室内的移动台阶，则其俯视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】俯视图是指从上面看，所得到的图形．
【详解】解：从上面看是一排三个相邻的长方形，
其形状为： ，
故选：C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的意义是解题的关键．
3. 中国人民银行2月9日发布的金融数据报告显示，2024年1月份我国人民币贷款增加万亿元，同比多增亿元，数据万亿用科学记数法可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：万亿=，
故选：B．
4. 将一副三角尺按如图所示方式摆放，若它们的斜边平行，则的大小为（ ）

A. 5°B. 10°C. 12°D. 15°
【答案】D
【解析】
【分析】先根据直角三角板的性质得出∠ACD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】解：如图:可知：
由一副三角板的性质可知：，
∵
∴
∴．
故选D．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行、同位角相等是解答本题的关键．
5. 计算：（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据单项式乘以多项式法则计算即可．
【详解】解∶
，
故选∶B．
【点睛】本题考查了单项式乘以多项式法则，掌握相关运算法则是解题的关键．
6. 若方程有两个相等的实数根，则a的值为（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式．根据根的判别式的意义得到，然后解的一元二次方程，从而可对各选项进行判断．
【详解】解：根据题意得，
解得，，
即的值为4或．
故选：C．
7. 为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，某学校积极开设种植类劳动教育课．某班决定每位学生随机抽取一张卡片来确定自己的种植项目，老师提供6张背面完全相同的卡片，其中蔬菜类有4张，正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案；水果类有2张，正面分别印有草莓、西瓜图案，每个图案对应该种植项目．把这6张卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据概率公式求解即可．
【详解】解：由题意，随机抽取一张，共有6种等可能的结果，其中恰好抽中水果类卡片的有2种，
∴小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概率是，
故选：B．
【点睛】本题考查求简单事件的概率，关键是熟知求概率公式：所求情况数与总情况数之比．
8. 将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的函数表达式为：．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
9. 如图，该几何体是由一个大圆锥截去上部的小圆锥后剩下的部分．若该几何体上、下两个圆的半径分别为1和2，原大圆锥高的剩余部分为，则其侧面展开图的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据展开面积大圆锥侧面积与小圆锥侧面积之差计算即可．
【详解】根据题意，补图如下：

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴侧面展开图的面积为，
故选C．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积计算，三角形相似的判定和性质，熟练掌握圆锥的侧面积计算是解题的关键．
10. 如图，在中，，点P为边上一动点，过点P作直线，交折线于点Q．设，则y关于x的函数图象大致是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分两种情况：当点Q在时，当点Q在时，结合相似三角形的判定和性质，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
当点Q在时，
∵直线，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：；
当点Q在时，如图，

∵直线，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：；
综上所述，y关于x的函数图象大致是：

故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 分解因式：x2－9＝______．
【答案】(x＋3)(x－3)
【解析】
【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3），
故答案为：（x+3）（x-3）.
12. 不等式组的解集为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组：先分别解几个不等式，然后把它们的解集的公共部分作为原不等式的解集；按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于小的小于大的为空集”．也考查了利用数轴表示不等式的解集．
分别解出两不等式的解集，再根据大于小的小于大的取中间得到不等式组的解集，
【详解】解：
解①得：，
解②得：，
则不等式组的解集为：，
故答案为：
13. 下表是小红参加一次“阳光体育”活动比赛的得分情况：
评总分时，按跑步占，花样跳绳占，跳绳占考评，则小红的最终得分为__________．
【答案】分
【解析】
【分析】根据加权平均数公式进行计算即可．
【详解】解：由跑步占，花样跳绳占，跳绳占考评，
则小红的最终得分为（分），
故答案为：分．
【点睛】本题考查的是加权平均数的含义，熟记加权平均数公式是解本题的关键．
14. 如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为______．

【答案】##20度
【解析】
【分析】连接，由点是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，
AI ，
点是的内心，
平分，
，
，
点是外接圆的圆心，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
15. 如图，点在正方形边上，且，点是线段上一动点（点不与点重合），连接，将沿所在直线折叠，点的对应点为，过作于点，当点落在正方形的对角线上时，线段的长为______．
【答案】或1
【解析】
【分析】本题主要考查折叠的性质、正方形形的性质、两点间的距离公式、用待定系数法求函数解析式．根据题意可得，，由折叠的性质可得，，，，再分两种情况：①当点在对角线上时，以点为原点建立直角坐标系，连接，根据待定系数法可求得所在直线解析式为，设点的坐标为，根据两点间的距离公式列出方程，求得，因此，则；②当点在对角线上时，此时点与点重合，连接，易证四边形为正方形，则，．
【详解】解：，
，，
，
四边形为正方形，
，，
由折叠的性质可得，，，，，
①当点在对角线上时，
如图，以点为原点建立直角坐标系，连接，
则点，，，
设所在直线解析式为，
，
解得：，
所在直线解析式为，
设点的坐标为，
，，
，
解得：或（舍去），
，
，
；
②当点在对角线上时，此时点与点重合，
如图，连接，
，
，
，
四边形为正方形，
，
．
综上，线段的长为或1．
故答案为：或1．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16 （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】此题考查了分式的加减运算，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）原式利用特殊角的三角函数值，二次根式性质，以及负整数指数幂法则计算即可得到结果；
（2）通分，利用同分母分式的加减法计算即可得到答案．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
17. 某校德育处开展专项安全教育活动前，在全校范围内随机抽取了40名学生进行安全知识测试，测试结果如表1所示（每题1分，共10道题），专项安全教育活动后，再次在全校范围内随机抽取40名学生进行测试，根据测试数据制作了如图1、图2所示的统计图（尚不完整）．

表1
设定8分及以上为合格，分析两次测试结果得到表2．
表2
请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）将图2中的统计图补充完整，并直接写出a，b，c的值；
（2）若全校学生以1200人计算，估计专项安全教育活动后达到合格水平的学生人数；
（3）从多角度分析本次专项安全教育活动的效果．
【答案】（1）见解析，，，；
（2）估计专项安全教育活动后达到合格水平的学生人数为1050人；
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）先求出第二次测试得8分的人数，然后求出第二次测试得7分的人数，再补全统计图即可；根据众数、中位数的定义，合格率的计算方法求解即可；
（2）用总人数乘以专项安全教育活动后的合格率即可；
（3）可以从平均数、中位数以及合格率这几个角度进行分析．
【小问1详解】
解：第二次测试得8分人数为：（人），
第二次测试得7分的人数为：（人），
补全图2中的统计图如图：

由表1知，第一次测试得8分的人数有12人，人数最多，故众数，
第二次测试的平均数为，
第二次测试的合格率；
【小问2详解】
解：（人），
答：估计专项安全教育活动后达到合格水平的学生人数为1050人；
【小问3详解】
解：第二次测试的平均数、中位数以及合格率较第一次均有大幅提升，
故本次专项安全教育活动的效果非常显著．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，众数、中位数的定义，用样本估计总体等知识，能够从不同的统计图中获取有用信息是解题的关键．
18. 小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点，处测出点的仰角度数，可以求出信号塔的高．如图，的长为，高为．他在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔的高吗？若能，请求出信号塔的高；若不能，请说明理由．（参考数据：，，，结果保留整数）
【答案】能求出信号塔的高，信号塔的高为；
【解析】
【分析】过作，垂足为，根据勾股定理及等腰直角三角形的性质，进而设根据锐角三角函数解答即可．
【详解】解：过作，垂足为，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，．
∵的长为，高为，
∴．
∴在中，()．
∵，，
∴．
∴．
∴设．
∴，．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
即信号塔的高为．
∴能求出信号塔高，信号塔的高为．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形性质，锐角三角函数，掌握锐角三角函数是解题的关键．
19. 2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以龙的十二生肖专属汉字“辰”为名．设计灵感以中华民族龙图腾的代表性实物，突出呈现吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某网店从工厂购进大号、中号两种型号的“龙辰辰”，已知每个大号“龙辰辰”进价比中号“龙辰辰”多15元，2个大号“龙辰辰”和1个中号“龙辰辰”共150元．
（1）求大号、中号两种型号的“龙辰辰”的进价．
（2）该网点准备购进两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过中号的一半．中号“龙辰辰”定价60元，大号“龙辰辰”的定价比中号多．当购进大号“龙辰辰”多少个时，销售总利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）大号的“龙辰辰”的进价为55元，中号的“龙辰辰”的进价为元
（2）当购进大号“龙辰辰”20个时，销售总利润最大，最大利润是元．
【解析】
【分析】此题考查了一次函数、一元一次不等式、一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是解题的关键．
（1）设大号的“龙辰辰”的进价为x，则中号的“龙辰辰”的进价为元，根据2个大号“龙辰辰”和1个中号“龙辰辰”共150元列方程，解方程即可得到答案；
（2）设购进大号“龙辰辰”m个，则中号“龙辰辰”的个数为个，销售总利润为元，得到，再根据题意求出，根据一次函数的性质即可得到答案．
【小问1详解】
解：设大号的“龙辰辰”的进价为x，则中号的“龙辰辰”的进价为元，则
解得，
则，
答：大号的“龙辰辰”的进价为55元，中号的“龙辰辰”的进价为元；
【小问2详解】
解：设购进大号“龙辰辰”m个，则中号“龙辰辰”的个数为个，销售总利润为元，
则，
∵大号“龙辰辰”的个数不超过中号的一半
∴，
∴，
∵中，，
∴w随着m的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，此时，
∴当购进大号“龙辰辰”20个时，销售总利润最大，最大利润是元．
20. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象相交于点．

（1）求反比例函数的表达式；
（2）点的横坐标为3，过点作轴交反比例函数的图象于点，连接，求的面积．
【答案】（1）反比例函数的表达式为：；
（2）
【解析】
【分析】（1）将代入得，则A点坐标为，代入反比例函数解析式即可求解；
（2）先把代入直线表达式求出点C坐标，再将代入反比例函数表达式求出D点坐标,根据可求出答案．
【小问1详解】
解：将代入得，
点坐标为，
点A在反比例函数图象上，
．
反比例函数的表达式为：；
【小问2详解】
解：将代入一次函数得，
即点C的坐标为，
将代入反比例函数得，
即D点坐标为
，
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，掌握一次函数与反比例数的性质是解题的关键．
21. 如图，内接于，是的直径，过点C作的切线，交的延长线于点P，点F在上，连接．易证命题：“若是的切线，则”是真命题．

（1）请写出该命题的逆命题是______；
（2）判断（1）中的命题是否为真命题，并说明理由；
（3）若⊙O的半径为4，，且，求AC的长．
【答案】（1）若，则AF是⊙O的切线
（2）是真命题，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据逆命题的概念，交换题设和结论即可解答；
（2）如图：连接OC， 根据平行线的性质可得、，进而得到，然后再证可得，再根据PC是的切线可得，进而说明即可说明；
（3）先根据勾股定理可得，然后再说明、，由三角形的面积公式可得，即可得，最后根据即可解答．
【小问1详解】
解：∵原命题为：若是的切线，则
∴逆命题为：若，则AF是⊙O的切线；
故答案为：若，则AF是⊙O的切线．
【小问2详解】
解：是真命题，理由如下：
如图：连接OC，

∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵PC是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线．
【小问3详解】
解：∵的半径为4，，，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴的面积，
∴，解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了逆命题、圆的切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识点是解答本题的关键．
22. 原地正面掷实心球是中招体育考试项目之一．受测者站在起掷线后，被掷出的实心球进行斜抛运动，实心球着陆点到起掷线的距离即为此项目成绩．实心球的运动轨迹可看作抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，实心球从出手到着陆的过程中，竖直高度与水平距离近似满足函数关系．小明使用内置传感器的智能实心球进行掷实心球训练．
（1）第一次训练时，智能实心球回传的水平距离与竖直高度的几组对应数据如下：
则：①抛物线顶点的坐标是______，顶点坐标的实际意义是________；
②求y与x近似满足的函数关系式，并直接写出本次训练的成绩．
（2）第二次训练时，y与x近似满足函数关系，则第二次训练成绩与第一次相比否有提高？为什么？
（3）实心球的抛物线轨迹是影响成绩的重要因素，可以通过多种方法调整实心球的轨迹．小明掷实心球的出手高度不变，即抛物线中c的值不变，要提高成绩应使a，b的值做怎样的调整?
【答案】（1）①，顶点坐标的实际意义是实心球抛出后达到的最大垂直高度；②，本次训练的成绩为
（2）有提高，理由见解析
（3）a变大，b变大
【解析】
【分析】（1）①根据表格数据和题意可解答；②利用待定系数法求解即可；
（2）求出第二次着陆的距离，与第一次比较即可得出结论；
（3）可根据抛物线的最大垂直高度、对称轴的位置和着陆距离，结合前两次的函数解析式和结论可作出结论．
【小问1详解】
解：①根据表格数据，当和时，y值相等，则直线是对称轴，
∴顶点坐标为，
由于顶点是抛物线的最高点，故实际意义为实心球抛出后达到的最大垂直高度，
故答案为：，顶点坐标的实际意义是实心球抛出后达到的最大垂直高度；
②设y与x近似满足的函数关系式为，
将，代入，得，解得，
∴y与x近似满足的函数关系式为；
令，由得，（负值舍去），
∴本次训练的成绩为；
【小问2详解】
解：有提高，理由为：
对于函数，抛物线的顶点坐标为
令，由得，（负值舍去），
∵，，
∴第二次抛出的最大垂直高度大于第一次，着陆更远，成绩更集中，
即第二次训练成绩与第一次相比有提高；
【小问3详解】
解：对于函数的顶点坐标为，对称轴为直线，
由题意，，，着陆距离为（负值舍去），最大垂直高度为，
要提高成绩，只需提高最大垂直高度，对称轴尽可能的远离抛出位置，着陆距离尽可能的远，
结合第一次和第二次的抛物线方程，可将a变大，b变大．
【点睛】本题是二次函数的综合应用题，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数图象与x轴的交点问题等知识，解答的关键是理解题意，熟练运用二次函数的图象与性质分析解答．
23. 教材呈现
以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容．
如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
概念理解
（1）根据上面教材的内容，请写出“筝形”的一条性质：______；
（2）如图1，在中，，垂足为，与关于所在的直线对称，与关于所在的直线对称，延长，相交于点．请写出图中的“筝形”： ______；（写出一个即可）
应用拓展
（3）如图2，在（2）的条件下，连接，分别交，于点，，连接．
①求证：；
②求证：．
【答案】（1）垂直平分线段；
（2）四边形（答案不唯一）
（3）①见解析；②见解析
【解析】
【分析】（1）根据线段的垂直平分线的判定可得结论；
（2）根据“筝形”的定义判断即可；
（3）①利用同角的余角相等证明即可；
②利用相似三角形的判定和性质证明即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴垂直平分线段．
故答案为：垂直平分线段；
【小问2详解】
解：由翻折变换的性质可知，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是“筝形”，
故答案为：四边形（答案不唯一）；
【小问3详解】
①证明：如图1中，
由翻折变换的性质可知，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②证明：如图2中，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
项目
跑步
花样跳绳
跳绳
得分
90
80
70
分数/分
人数/人
2
4
5
6
6
8
7
8
8
12
9
2
平均数/分
众数/分
中位数/分
合格率
第一次
6.4
a
7
35%
第二次
b
8
9
c
水平距离x/m
0
1
2
3
4
5
6
7
竖直高度y/m
1.8
2.3
2.6
2.7
2.6
2.3
1.8
1.1