初中数学人教版九年级下册29.1 投影优秀学案

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知识点01 投影
投影的概念：
物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的 影子 ，这就是投影现象．一般地，用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做 投影线 ，投影所在的平面叫做 投影面 。
平行投影的概念：
由 平行光线 形成的投影是平行投影。当物体与投影面平行时，则物体与投影是全等的。
正投影：
在平行投影中，投影线 垂直于 投影面产生的投影叫做正投影。
中心投影：
由 同一点（点光源） 发出的光线形成的投影叫做中心投影。物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系。
题型考点：①对相关投影的概念的理解。 ②判断投影。③利用投影求值。
【即学即练1】
1．下列现象不属于投影的是（ ）
A．皮影B．树影C．手影D．素描画
【解答】解：根据平行投影的概念可知，素描画不是光线照射形成的．
故选：D．
【即学即练2】
2．下列各种现象属于中心投影的是（ ）
A．晚上人走在路灯下的影子
B．中午用来乘凉的树影
C．上午人走在路上的影子
D．阳光下旗杆的影子
【解答】解：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，在各选项中只有A选项得到的投影为中心投影．
故选：A．
【即学即练3】
3．下列投影现象属于平行投影的是（ ）
A．手电筒发出的光线所形成的投影
B．太阳光发出的光线所形成的投影
C．路灯发出的光线所形成的投影
D．台灯发出的光线所形成的投影
【解答】解：手电筒发出的光线所形成的投影、路灯发出的光线所形成的投影和台灯发出的光线所形成的投影都为中心投影；太阳光发出的光线所形成的投影为平行投影．
故选：B．
【即学即练4】
4．下列四幅图形中，表示两棵圣诞树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、影子的方向不相同，错误；
B、影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，正确；
C、相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，错误；
D、影子的方向不相同，错误；
故选：B．
【即学即练5】
5．如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子（ ）
A．逐渐变短B．先变短后变长
C．先变长后变短D．逐渐变长
【解答】解：晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子先变短，再变长．
故选：B．
【即学即练6】
6．在平行投影下，矩形的投影不可能是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：在平行投影下，矩形的投影可能是直线、矩形、平行四边形，
不可能是直角梯形，
故选：A．
【即学即练7】
7．在测量旗杆高度的活动课中，某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗杆的影长进行了测量，得到的数据如图所示，根据这些数据计算出旗杆的高度为 12 m．
【解答】解：设旗杆的高度为xm，
根据题意，得：＝，
解得x＝12，
即旗杆的高度为12m，
故答案为：12．
【即学即练8】
8．如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m．则路灯的高度OP为 m．
【解答】解：∵AB∥OP，
∴△ABC∽△OPC，
∴＝，即＝，
∴OP＝（m）．
故答案为．
知识点02 视图
三视图的概念：
正视图：从几何体正面看得到的图形叫做 正视图 ，可以得到物体的 长度 和 高度 。
左视图：从几何体左面看得到的图形叫做 侧视图 ，可以得到物体的 宽度 和 高度 。
俯视图：从几何体上面看得到的图形叫做 俯视图 ，可以得到物体的 长度 和 宽度 。
画三视图：
画三视图时，要把三视图放在正确的位置，一定要注意主视图与俯视图的 长对正 ，主视图与左视图的 高平齐 ，左视图与俯视图的 宽相等 。看得见的轮廓线用 实线 表示，看不见的轮廓线用 虚线 表示。
题型考点：①判断几何体的三视图。 ②由三视图判断几何体。③相关计算。
【即学即练1】
9．如图所示的几何体从上面看到的形状图是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：从上面看共有两层，底层右边是1个小正方形，上层有2个小正方形．
故选：D．
【即学即练2】
10．如图2的三幅图分别是从不同方向看图1所示的工件立体图得到的平面图形，（不考虑尺寸）其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．③
【解答】解：从正面看可得到两个左右相邻的中间没有界线的长方形，①错误；
从左面看可得到两个上下相邻的中间有界线的长方形，②错误；
从上面看可得到两个左右相邻的中间有界线的长方形，③正确．
故选：D．
【即学即练3】
11．如图所示的钢块零件的俯视图为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：从上面看是：
．
故选：D．
【即学即练4】
12．如图是一个空心圆柱体，其主视图是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形，
又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线，
故选：D．
【即学即练5】
13．如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆柱B．球C．三棱柱D．长方体
【解答】解：由几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形，
故该几何体是一个柱体，
又∵俯视图是一个圆，
故该几何体是一个圆柱．
故选：A．
【即学即练6】
14．如图是某一几何体的主视图、左视图、俯视图，该几何体是（ ）
A．四棱柱B．四棱锥C．三棱柱D．三棱锥
【解答】解：由于主视图与左视图是三角形，
俯视图是正方形，故该几何体是四棱锥，
故选：B．
【即学即练7】
15．某几何体由若干个小正方体组成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小正方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：主视图是从正面看得到的图形，应该是选项B，
故选：B．
【即学即练8】
16．如图是由一些相同的小正方体构成的立体图形的三种视图，则构成这个立体图形的小正方体的个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【解答】解：由俯视图易得最底层有6个正方体，第二层有2个正方体，那么共有6+2＝8个正方体组成．
故选：D．
【即学即练9】
17．如图是由两个长方体组合而成的一个立体图形的三视图，根据图中所标尺寸（单位：mm），计算出这个立体图形的体积和表面积．
【解答】解：根据三视图可得：上面的长方体长4mm，高4mm，宽2mm，
下面的长方体长8mm，宽6mm，高2mm，
∴立体图形的体积是：4×4×2+6×8×2＝128（mm3），
∴立体图形的表面积是：4×4×2+4×2×2+4×2+6×2×2+8×2×2+6×8×2﹣4×2＝200（mm2）．
题型01 投影的判断
【典例1】
下面四幅图是两个物体不同时刻在太阳光下的影子，按照时间的先后顺序正确的是（ ）
A．A⇒B⇒C⇒DB．D⇒B⇒C⇒AC．C⇒D⇒A⇒BD．A⇒C⇒B⇒D
【解答】解：根据平行投影的特点和规律可知，C，D是上午，A，B是下午，
根据影子的长度可知先后为C→D→A→B．
故选：C．
【典例2】
如图，白炽灯下有一个乒乓球，当乒乓球越接近灯泡时，它在地面上的影子（ ）
A．越大B．越小C．不变D．无法确定
【解答】解：白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小；相反当乒乓球越接近灯泡时，它在地面上的影子变大．
故选：A．
【典例3】
圆形的物体在太阳光下的投影是（ ）
A．圆形B．椭圆形
C．线段D．以上都有可能
【解答】解：根据题意：同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变．
故选：D．
【典例4】
下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以A选项错误；
B、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以B选项错误；
C、在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以C选项正确．
D、图中树高与影子成反比，而在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以D选项错误；
故选：C．
【典例4】
下面4个图是一根电线杆在一天中不同时刻的影长图，试按其一天中发生的先后顺序排列，正确的是 ④①③② ．
【解答】解：依题意，由于太阳是从东边升起，故影子首先指向西方的．然后根据太阳的位置可判断变化规律为④①③②．
题型02 与投影有关的计算（相似）
【典例1】
小明家的客厅有一张直径为1米，高0.75米的圆桌BC，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中点D的坐标为（2，0），则点E的坐标是 （3.6，0） ．
【解答】解：过点B作BF⊥x轴，垂足为F，由题意得，BF＝0.75米，BC＝1米，
∵BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝＝，
即：＝，
解得：DE＝1.6（米），
∴OE＝2+1.6＝3.6（米），
∴E（3.6，0），
故答案为：（3.6，0）．
【典例2】
如图，在直角坐标系中，点P（2，2）是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1）．则木杆AB在x轴上的投影长为（ ）
A．3B．5C．6D．7
【解答】解：延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，
∵P（2，2），A（0，1），B（3，1）．
∴PD＝1，PE＝2，AB＝3，
∵AB∥A′B′，
∴△PAB∽△PA′B′，
∴＝，即＝，
∴A′B′＝6，
故选：C．
【典例3】
圆桌面（桌面中间有一个直径为1m的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为2m，桌面离地面1m，若灯泡离地面2m，则地面圆环形阴影的面积是（ ）
A．2πm2B．3π m2C．6π m2D．12π m2
【解答】解：如图所示：
∵AC⊥OB，BD⊥OB，
∴△AOC∽△BOD，
∴＝，即＝，
解得：BD＝2m，
同理可得：AC′＝m，则BD′＝1m，
∴S圆环形阴影＝22π﹣12π＝3π（m2）．
故选：B．
【典例4】
如图，王琳同学在晚上由路灯A走向路灯B，当他行到P处时发现，他在路灯B下的影长为2米，且恰好位于路灯A的正下方，接着他又走了6.5米到Q处，此时他在路灯A下的影子恰好位于路灯B的正下方（已知王琳身高1.8米，路灯B高9米）
（1）标出王琳站在P处在路灯B下的影子；
（2）计算王琳站在Q处在路灯A下的影长；
（3）计算路灯A的高度．
【解答】解：（1）线段CP为王琳在站在P处路灯B下的影子；
（2）由题意得Rt△CEP∽Rt△CBD，
∴，
∴，
解得：QD＝1.5米；
（3）∵Rt△DFQ∽Rt△DAC，
∴，
∴，
解得：AC＝12米．
答：路灯A的高度为12米．
题型03 判断几何体的三视图
【典例1】
如图所示，从上面看该几何体的形状图为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：根据能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示，
从上面看到的是矩形，且有看不见的轮廓线，
因此选项C中的图形符合题意；
故选：C．
【典例2】
如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：从上面可看到第一横行左下角有一个正方形，
第二横行有3个正方形，
第三横行中间有一个正方形．
故选：C．
【典例3】
从不同方向观察如图所示的几何体，不可能看到的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：从正面看从左往右3列正方形的个数依次为2，1，1，
∴D是该物体的主视图；
从左面看从左往右2列正方形的个数依次为2，1，
∴A是该物体的左视图；
从上面看从左往右3列正方形的个数依次为1，1，2，
∴C是该物体的俯视图；
没有出现的是选项B．
故选：B．
【典例4】
如图所示物体的左视图为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：从左边看下边是一个大矩形，矩形的左上角是一个小矩形，
故选：A．
题型04 三视图确定几何体
【典例1】
如图是一些完全相同的小正方体搭成的几何体的三视图．这个几何体只能是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：观察图象可知，选项A符合题意．
故选：A．
【典例2】
某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是一个圆柱，下面是一个长方体且圆柱的高度和长方体的高度相当．
故选：A．
【典例3】
．几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：根据该组合体的三视图发现该几何体为
．
故选：C．
【典例4】
某几何体的三视图如图所示，则此几何体是（ ）
A．圆锥B．圆柱C．长方体D．四棱柱
【解答】解：∵主视图和左视图都是长方形，
∴此几何体为柱体，
∵俯视图是一个圆，
∴此几何体为圆柱，
故选：B．
题型05 利用三视图确定小正方体的数量
【典例1】
如图，是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
【解答】解：综合三视图，我们可得出，这个几何体的底层应该有4个小正方体，第二层应该有1个小正方体，
因此搭成这个几何体的小正方体的个数为4+1＝5个，
故选：B．
【典例2】
用若干大小相同的小立方块搭成一个几何体，使得从正面和从上面看到这个几何体的形状如图所示，该几何体至多是用（ ）个小立方块搭成的．
A．5B．6C．7D．8
【解答】解：由俯视图可知该几何体底层有5个正方体，上层左侧至多有3个正方体，
∴该几何体至多是用8个小立方块搭成的，
故选：D．
【典例3】
已知一个几何体由大小相等的若干个小正方体组成，其三视图如图所示，则组成该几何体的小正方体个数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【解答】解：根据俯视图可知该组合体共3行、2列，
结合主视图和左视图知该几何体中小正方体的分布情况如图所示：
则组成此几何体需要正方体个数为6．
故选：A．
【典例4】
如图，是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则这个几何体最多由（ ）个小正方体搭成．
A．5B．6C．7D．8
【解答】解：由主视图和俯视图可得：
最多由1+3+3＝7个小正方体搭成．
故选：C．
题型06 其他计算
【典例1】
一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 48π+64 ．
【解答】解：由三视图可知：原几何体为圆柱的一半，（沿中轴线切开），
由题意可知，圆柱的高为8，底面圆的半径为4，
故其表面积为S＝42π+4π×8+8×8＝48π+64．
故答案为：48π+64．
【典例2】
如图所示是某种型号的正六角螺母毛坯的三视图，则它的侧面积为 36 cm2．
【解答】解：这个正六角螺母的侧面积为：6×S长方形＝6×3×2＝36（cm2）．
答：该正六角螺母的侧面积为36cm2．
故答案为：36．
【典例3】
如图，是一个长方体的主视图、左视图与俯视图（单位：cm），根据图中数据计算这个长方体的体积是 24cm3 ．
【解答】解：该几何体的主视图以及左视图都是相同的矩形，俯视图也为一个矩形，可确定这个几何体是一个长方体，
依题意可求出该几何体的体积为3×2×4＝24cm3．
答：这个长方体的体积是24cm3．
故答案为：24cm3．
【典例4】
如图是某工件的三视图，求此工件的全面积和体积．
【解答】解：由三视图可知，该工件为底面半径为10cm，高为30cm的圆锥体，
这圆锥的母线长为＝10（cm），
圆锥的侧面积为s＝πrl＝×20π×10＝100π （cm2），
圆锥的底面积为102π＝100πcm2，
圆锥的全面积为100π+100π＝100（1+）π（cm2）；
圆锥的体积×π×（20÷2）2×30＝1000π（cm3）．
故此工件的全面积是100（1+）πcm2，体积是1000πcm3．
课程标准
学习目标
①投影、平行投影、中心投影的概念
②物体的三视图
掌握投影的相关概念，能够熟练判断投影以及利用投影求值。
掌握物体的三视图，能够根据物体求出三视图，也能够根据三视图判断几何体。