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数学七年级上册第一章 有理数1.2 有理数1.2.1 有理数优质学案
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这是一份数学七年级上册第一章 有理数1.2 有理数1.2.1 有理数优质学案，文件包含第05讲有理数的计算-教师版2024年七上数学同步精品讲义人教版docx、第05讲有理数的计算-学生版2024年七上数学同步精品讲义人教版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共40页， 欢迎下载使用。
知识点01 有理数的加法运算
加法运算法则：
①同号相加：同号相加， 符号 不变， 绝对值 相加。即符号相同的数相加，和的符号与加数的符号一致，把绝对值相加。同为正数相加时，和 大于 每一个加数，同为负数相加时，和 小于 每一个加数。
②异号相加：异号相加，取绝对值 较大 的数的符号，再把 绝对值 做差。大的绝对值减去
小的绝对值。
③与0相加：任何数与0相加都等于 任何数本身 。
有理数的加法运算技巧：一定二求三加减。确定和的符号，求各个加数的绝对值，对绝对值进行加减。
加法运算定律：
①加法交换律：交换加数的位置，和 不变 。。
②加法结合律：三个加数相加时，先把 前两个 加数相加或先把 后两个 加数相加，和不变。即：
特别提示：简便运算小技巧：
互为相反数的两个数可先相加。
同分母或者分母成倍数的分数可先相加。
和为整数的数可先相加。
符号相同的数可先相加。
带分数可分拆成整数部分和分数部分然后分别相加。（两部分符号与原符号 一致 ）
题型考点：①有理数的加法计算。②根据解题步骤列方程解决实际问题。
【即学即练1】
1．计算：﹣2+5的结果是（ ）
A．﹣7B．﹣3C．3D．7
【解答】解：﹣2+5＝3．
故选：C．
【即学即练2】
2．武汉市元月份某一天早晨的气温是﹣3℃，中午上升了8℃，则中午的气温是（ ）
A．﹣5℃B．5℃C．3℃D．﹣3℃
【解答】解：﹣3+8＝5（℃）
∴中午的气温是5℃．
故选：B．
【即学即练3】
3．下列运算正确的是（ ）
A．（+8）+（﹣10）＝﹣（10﹣8）＝﹣2
B．（﹣3）+（﹣2）＝﹣（3﹣2）＝﹣1
C．（﹣5）+（+6）＝+（6+5）＝+11
D．（﹣6）+（﹣2）＝+（6+2）＝+8
【解答】解：A、原式＝8﹣10＝﹣（10﹣8）＝﹣2，正确；
B、原式＝﹣（3+2）＝﹣5，错误；
C、原式＝6﹣5＝1，错误；
D、原式＝﹣（6+2）＝﹣8，错误，
故选：A．
【即学即练4】
4．运用加法的运算律计算（+6）+（﹣18）+（+4）+（﹣6.8）+18+（﹣3.2）最适当的是（ ）
A．[（+6）+（+4）+18]+[（﹣18）+（﹣6.8）+（﹣3.2）]
B．[（+6）+（﹣6.8）+（+4）]+[（﹣18）+18+（﹣3.2）]
C．[（+6）+（﹣18）]+[（+4）+（﹣6.8）]+[18+（﹣3.2）]
D．[（+6）+（+4）]+[（﹣18）+18]+[（﹣3.2）+（﹣6.8）]
【解答】解：（+6）+（﹣18）+（+4）+（﹣6.8）+18+（﹣3.2）＝[（+6）+（+4）]+[（﹣18）+18]+[（﹣3.2）+（﹣6.8）]；
故选：D．
【即学即练5】
5．计算．
（1）（+7）+（﹣6）+（﹣7）； （2）13+（﹣12）+17+（﹣18）；
（3）（﹣）+（﹣）++（﹣）； （4）（﹣20）+3+20+（﹣）；
（5）（﹣3.75）+2+（﹣1）； （6）5.6+（﹣0.9）+4.4+（﹣8.1）．
【解答】解：（1）（+7）+（﹣6）+（﹣7）
＝（+7）+（﹣7）+（﹣6）
＝﹣6；
（2）13+（﹣12）+17+（﹣18）
＝[13+（﹣12）]+[17+（﹣18）]
＝1﹣1
＝0；
（3）（﹣）+（﹣）++（﹣）
＝[（﹣）+]+[（﹣）+（﹣）]
＝1﹣1
＝0；
（4）（﹣20）+3+20+（﹣）＝
（﹣20）+20+3+（﹣）
＝3；
（5）（﹣3.75）+2+（﹣1）
＝（﹣3.75）+（﹣1）+2
＝﹣5+2
＝﹣3；
（6）5.6+（﹣0.9）+4.4+（﹣8.1）
＝（5.6+4.4）+[（﹣0.9）+（﹣8.1）]
＝10+（﹣9）
＝1．
知识点02 有理数的减法
减法运算法则：
减去一个数等于加上这个数的 相反数 。把减法变成加法计算。
较大的数－较小的数＝正数。即则 ＞ 0。
较小的数－较大的数＝负数。即 ＜ 0。
相等的数的差等于0。即 ＝ 0。
题型考点：①有理数的减法计算。
【即学即练1】
6．计算﹣1﹣2＝（ ）
A．﹣1B．1C．﹣3D．3
【解答】解：﹣1﹣2＝﹣1+（﹣2）＝﹣3，
故选：C．
【即学即练2】
7．计算：
（1）（﹣12）﹣（﹣15）； （2）0﹣2020；
（3）（﹣7.5）﹣5.6； （4）（﹣）﹣（﹣）；
（5）（﹣2）﹣（﹣3）； （6）（﹣5）﹣（﹣7）﹣（﹣6）﹣10．
【解答】解：（1）（﹣12）﹣（﹣15）；
解：原式＝（﹣12）+15
＝+（15﹣12）
＝3．
（2）0﹣2 020；
解：原式＝0+（﹣2 020）
＝﹣2 020．
（3）（﹣7.5）﹣5.6；
解：原式＝（﹣7.5）+（﹣5.6）
＝﹣13.1．
（4）（﹣）﹣（﹣）；
解：原式＝（﹣）+（+）
＝﹣（﹣）
＝﹣．
（5）（﹣2）﹣（﹣3）；
解：原式＝（﹣2）+3
＝．
（6）（﹣5）﹣（﹣7）﹣（﹣6）﹣10．
解：原式＝（﹣5）+7+6+（﹣10）
＝﹣2．
知识点03 有理数的乘法
乘法运算法则：
两数相乘，同号得 正 ，异号得 负 ，在把 绝对值 相乘。若两个因数的符号时一样的，则积的符号为正，若两个因数的符号不一样，则积的符号为负。再把他们的绝对值相乘。
多个有理数相乘：先观察因数中有无0作为因数，若有0作为因数，则积为 0 ，若没有0作为因数，则根据 负号 的个数先确定积的符号，当负号的个数为奇数个时，积的符号为 ﹣ ，当负号的个数为偶数个时，积的符号为 正 。在把所有因数的 绝对值 相乘。
任何数与0相乘都等于 0 。
任何数与1相乘的积是 原数 ，与﹣1相乘得到它的 它的相反数 。
在有理数的乘法计算时，小数化成 分数 ，带分数化成 假分数 。
乘法运算法则：
乘法交换律：交换因数的位置，积 不变 。即。
乘法结合律：三个有理数相乘，先把 前两个 因数相乘或先把 后两个 因数相乘，积 不变 。
乘法分配律：一个数乘以几个数的和或差，等于这个数别分乘以这几个数的积的和或差。即：
题型考点：①有理数的乘法计算。②乘法运算定律的应用。
【即学即练1】
8．下列运算结果为负值的是（ ）
A．（﹣7）×（﹣6）B．（﹣6）×3C．0×（﹣2）D．（﹣7）×（﹣15）
【解答】解：A、（﹣7）×（﹣6）的值是正数，故本选项错误；
B、（﹣6）×3的值是负数，故本选项正确；
C、0×（﹣2）的值是0，既不是正数也不是负数，故本选项错误；
D、（﹣7）×（﹣15）的值是正数，故本选项错误．
故选：B．
【即学即练2】
9．计算﹣1的结果是（ ）
A．1B．﹣1C．D．﹣
【解答】解：原式＝（﹣）＝1．
故选：A．
【即学即练3】
10．计算：
（1）（﹣）×（﹣）×（﹣）； （2）（﹣5）×（﹣）××0×（﹣325）．
【解答】解：（1）（﹣）×（﹣）×（﹣）
＝﹣××
＝﹣
（2）（﹣5）×（﹣）××0×（﹣325）
＝0．
知识点04 倒数
倒数的定义：
乘积为 1 的两个数互为倒数。若，则与互为 倒数 或是的 倒数 或是的 倒数 。一个数不能说是倒数。
求倒数：
正数的倒数是 正数 ，负数的倒数是 负数 ， 0 没有倒数，倒数等于它本身的数有 ±1 。
求带分数的倒数时，先把带分数化成 假分数 ，求小数的倒数时，把小数化成 分数 。
题型考点：求倒数。
【即学即练1】
11．做一做：
①5的倒数是 ； ②2的倒数是 ；
③0.1的倒数是 ； ④﹣3.75的倒数是 ；
⑤﹣3的倒数是 ； ⑥﹣0.15的倒数是 ．
【解答】解：①∵5×＝1，
∴5的倒数是，
故答案为：；
②∵×＝1，
∴的倒数是，
故答案为：；
③∵0.1×10＝1，
∴0.1的倒数是10，
故答案为：10；
④∵﹣3.75×（﹣）＝1，
∴﹣3.75的倒数是﹣，
故答案为：﹣；
⑤∵﹣3×（﹣）＝1，
∴﹣3的倒数是﹣，
故答案为：﹣；
⑥∵﹣0.15×（﹣）＝1，
∴﹣0.15的倒数是﹣，
故答案为：﹣．
知识点05 有理数的除法
除法运算法则：
法则一：除以一个数，等于乘以这个数的 倒数 。
法则二：两数相除，同号得 正 ，异号得 负 ，再把 绝对值 相除。0除以任何一个不为0的数都得 0 。若两数相除的结果为1时，这两个数 相等 ，若两数相除的结果为﹣1时，这两个数 互为相反数 。
题型考点：①有理数的除法运算。
【即学即练1】
12．把（﹣）÷（﹣）转化为乘法是（ ）
A．（﹣）×B．（﹣）×
C．（﹣）×（﹣）D．（﹣）×（﹣）
【解答】解：把（﹣）÷（﹣）转化为乘法是（﹣）×（﹣），
故选：D．
【即学即练2】
13．计算：的结果是（ ）
A．﹣8B．8C．2D．﹣2
【解答】解：（﹣4）÷（﹣）＝4×2＝8．
故选：B．
【即学即练3】
14．计算：
（1）﹣3÷（﹣）÷（﹣）； （2）（﹣12）÷（﹣4）÷（﹣1）；
（3）（﹣）×（﹣）÷0.25； （4）（﹣2）÷（﹣5）×（﹣3）．
【解答】解：（1）原式＝﹣3×（﹣）×（﹣）
＝﹣；
（2）原式＝（﹣12）×（﹣）×（﹣）
＝﹣；
（3）原式＝（﹣）×（﹣）×4
＝；
（4）原式＝（﹣）×（﹣）×（﹣）
＝﹣．
知识点06 有理数的加减乘除混合运算
混合运算法则：
①先 乘除 ，后 加减 ，有 括号 的要先算 括号 。先算 小括号 ，再算 中括号 ，最后算 大括号 。
②同级运算中，按照 从左至右 的顺序计算。
能使用简便运算的使用简便运算。
题型考点：①有理数的混合运算。
【即学即练1】
15．下面是佳佳同学的一道题的解题过程：
2÷（﹣）×（﹣3）
＝[2÷（﹣）+2]×（﹣3），①
＝2×（﹣3）×（﹣3）+2×4×（﹣3），②
＝18﹣24，③
＝6，④
（1）佳佳同学开始出现错误的步骤是 ；
（2）请给出正确的解题过程．
【解答】解：（1）佳佳同学开始出现错误的步骤是①．
故答案为：①．
（2）2÷（﹣）×（﹣3）
＝
＝2×（﹣12）×（﹣3）
＝72．
【即学即练2】
16．计算：
（1）﹣8+8÷[（﹣2）×]； （2）（﹣+﹣）÷（﹣）；
（3）[﹣30﹣（+﹣）×（﹣36）]÷（﹣5）； （4）（+14.9）×[（﹣）﹣1]÷．
【解答】解：（1）﹣8+8÷[（﹣2）×]
＝﹣8+8÷[（﹣）×]
＝﹣8+8÷（﹣）
＝﹣8+×（﹣4）
＝﹣8﹣33
＝﹣41；
（2）（﹣+﹣）÷（﹣）
＝（﹣+﹣）×（﹣63）
＝（﹣）+14+（﹣9）+21
＝；
（3）[﹣30﹣（+﹣）×（﹣36）]÷（﹣5）
＝（﹣30+28+30﹣33）×（﹣）
＝（﹣5）×（﹣）
＝1；
（4）（+14.9）×[（﹣）﹣1]÷
＝（+）×[（﹣）+（﹣）]×
＝（）×（﹣）×
＝×（﹣）×
＝﹣126．
题型01 加法运算定律与技巧的运用
【典例1】
计算：
（1）（+17）+（+6.25）+（﹣8） （2）﹣（﹣7）+9.8+（﹣4.2）+（﹣7）
【解答】解：（1）（+17）+（+6.25）+（﹣8）
＝17.75+6.25﹣8
＝24﹣8
＝16；
（2）﹣（﹣7）+9.8+（﹣4.2）+（﹣7）
＝7+9.8﹣4.2﹣7
＝7﹣7+9.8﹣4.2
＝0+5.6
＝5.6．
【典例2】
用适当的方法计算：
（1）0.36+（﹣7.4）+0.5+（﹣0.6）+0.14； （2）（﹣51）+（+12）+（﹣7）+（﹣11）+（+36）．
【解答】解：（1）0.36+（﹣7.4）+0.5+（﹣0.6）+0.14
＝（0.36+0.14+0.5）+[（﹣7.4）+（﹣0.6）]
＝1+（﹣8）
＝﹣7；
（2）（﹣51）+（+12）+（﹣7）+（﹣11）+（+36）
＝[（﹣51）+（﹣7）+（﹣11）]+[（+12）+（+36）]
＝（﹣69）+48
＝﹣21．
【典例3】
阅读下面文字：
对于（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3），
可以按如下方法计算：
原式＝[（﹣5）+（﹣）]+[（﹣9）+（﹣）]+（17+）+[（﹣3）+（﹣）]
＝[（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）]+[（﹣）+（﹣）++（﹣）]
＝0+（﹣1）
＝﹣1
上面这种方法叫拆项法．
仿照上面的方法，请你计算：
（﹣2018）+（﹣2017）+（﹣1）+4036．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝﹣2．
题型02 有理数的加减混合运算
【典例1】
计算
（1）（﹣3.6）+（+2.5）； （2）（﹣49）﹣（﹣91）﹣（+51）+（﹣9）；
（3）3﹣（﹣）+2+（﹣）； （4）1+（﹣2）+|﹣2﹣3|﹣5．
【解答】解：（1）（﹣3.6）+（+2.5）
＝﹣3.6+2.5
＝﹣1.1；
（2）（﹣49）﹣（﹣91）﹣（+51）+（﹣9）
＝﹣49+91﹣51﹣9
＝﹣100+91﹣9
＝﹣9﹣9
＝﹣18；
（3）3﹣（﹣）+2+（﹣）
＝3++2﹣
＝3﹣++2
＝3+3
＝6；
（4）1+（﹣2）+|﹣2﹣3|﹣5
＝1﹣2+5﹣5
＝1﹣2
＝﹣1．
【典例2】
计算：
（1）﹣7+（﹣7）﹣（﹣15）﹣1 （2）（﹣52）+（﹣19）﹣（+37）﹣（﹣24）
（3）﹣24+3.2﹣16﹣3.5+0.3 （4）﹣22
（5） （6）[1.4﹣（﹣3.6+5.2）﹣4.3]﹣（﹣1.5）
【解答】解：（1）﹣7+（﹣7）﹣（﹣15）﹣1
＝﹣7﹣7+15﹣1
＝﹣15+15
＝0；
（2）（﹣52）+（﹣19）﹣（+37）﹣（﹣24）
＝﹣52﹣19﹣37+24
＝﹣108+24
＝﹣84；
（3）﹣24+3.2﹣16﹣3.5+0.3
＝﹣43.5+3.5
＝﹣40；
（4）﹣22
＝（﹣22+）+（4﹣1.25）
＝﹣22+3
＝﹣19；
（5）
＝（﹣0.5﹣5.5）+（3.25+2.75）
＝﹣6+6
＝0；
（6）[1.4﹣（﹣3.6+5.2）﹣4.3]﹣（﹣1.5）
＝[1.4﹣1.6﹣4.3]﹣（﹣1.5）
＝﹣4.5+1.5
＝﹣3．
题型03 有理数加减法的实际应用
【典例1】
小虫从点A出发，在一水平直线上来回爬行，假定向右爬行为正，向左爬行为负，爬行的各段路程（单位：cm）依次记录为：+5，﹣2，+10，﹣8，﹣6，+12，﹣10．
（1）小虫最后回到了出发点A吗？
（2）在爬行的过程中，若每爬行1cm，奖励一粒芝麻，则小虫可得到多少粒芝麻？
【解答】解：（1）+5﹣2+10﹣8﹣6+12﹣10
＝27﹣26
＝1，
答：小虫最后没有回到出发点A；
（2）小虫爬行的总路程为：
|+5|+|﹣2|+|+10|+|﹣8|+|﹣6|+|+12|+|﹣10|
＝5+2+10+8+6+12+10
＝53（cm）．
答：小虫一共得到53粒芝麻．
【典例2】
高速公路养护小组，乘车沿东西向公路巡视维护，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）
+17，﹣9，+7，﹣15，﹣3，+11，﹣6，﹣8，+5，+16
（1）养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？
（2）养护过程中，最远处离出发点有多远？
（3）若汽车耗油量为a升/千米，则这次养护共耗油多少升？
【解答】解：（1）17﹣9+7﹣15﹣3+11﹣6﹣8+5+16＝+15（千米）．
则在出发点的东边15千米的地方；
（2）因为17﹣9＝8，8+7＝15，15﹣15＝0，0﹣3＝﹣3，﹣3+11＝，8，8﹣6＝2，2﹣8＝﹣6，﹣6+5＝﹣1，﹣1+16＝15，
所以最远处离出发点有17千米；
（3）（17+9+7+15+3+11+6+8+5+16）a＝97a（升）．
答：这次养护共耗油97a升．
【典例3】
科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富．小明把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负．下表是小王第一周柚子的销售情况：
（1）小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克？
（2）小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？
（3）若小王按8元/千克进行柚子销售，平均运费为3元/千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？
【解答】解：（1）13﹣（﹣7）＝13+7＝20（千克）．
答：小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售20千克．
（2）3﹣5﹣2+11﹣7+13+5+100×7
＝18+700
＝718（千克）．
答：小王第一周实际销售柚子的总量是718千克．
（3）718×（8﹣3）
＝718×5
＝3590（元）．
答：小王第一周销售柚子一共收入3590元．
题型04 有理数乘法运算定律
【典例1】
简便方法计算：
①（﹣﹣）×（﹣27）； ②﹣6×+4×﹣5×．
【解答】解：①原式＝
＝﹣6+9+2
＝5．
②原式＝×（﹣6+4﹣5）
＝（﹣7）
＝﹣3．
【典例2】
简便计算
（1）（﹣48）×0.125+48×+（﹣48）× （2）（）×（﹣36）
【解答】解：（1）原式＝（﹣48）×（0.125﹣+）
＝（﹣48）×
＝﹣60；
（2）原式＝×（﹣36）﹣×（﹣36）+×（﹣36）
＝﹣20+27﹣2
＝5．
【典例3】
计算
（1） （2）．
【解答】解：（1）[1﹣（+﹣）×24]×（﹣），
＝[1﹣（×24+×24﹣×24）]×（﹣），
＝[﹣（9+4﹣18）]×（﹣），
＝（+5）×（﹣），
＝×（﹣）+5×（﹣），
＝﹣﹣1，
＝﹣；
（2）﹣5×（﹣）+11×（﹣）﹣3×（﹣），
＝﹣5×（﹣）+11×（﹣）﹣6×（﹣），
＝（﹣5+11﹣6）×（﹣），
＝0．
题型05 有理数的加减法表示数轴上的点间的距离以及点的移动
【典例1】
在数轴上，到表示﹣1的点的距离等于6的点表示的数是（ ）
A．5B．﹣7C．5或﹣7D．8
【解答】解：设在数轴上与﹣1的距离等于6的点为A，表示的有理数为x，
因为点A与点﹣1的距离为6，即|x﹣（﹣1）|＝6，
所以x＝5或x＝﹣7．
故选：C．
【典例2】
M点在数轴上表示﹣4，N点离M的距离是3，那么N点表示的数为（ ）
A．﹣1B．﹣7C．﹣1或﹣7D．﹣1或1
【解答】解：﹣4+3＝﹣1，
﹣4﹣3＝﹣7，
故C正确．
故选：C．
【典例3】
点A在数轴上距原点3个单位长度，若将点A向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度，此时点A所表示的数是 ．
【解答】解：∵点A在数轴上距原点3个单位长度，
∴点A表示的数为3或﹣3；
当点A表示的数是﹣3时，移动后的点A所表示的数为：﹣3+4﹣1＝0；
当点A表示的数是3时，移动后的点A所表示的数为：3+4﹣1＝6；
综上所述，移动后点A所表示的数是：0或6．
故答案为：0或6．
【典例4】
如果在数轴上点A表示﹣3，从点A出发，沿数轴移动4个单位长度到达B点，则点B表示的数是 ．
【解答】解：∵点A表示﹣3，
∴从点A出发，沿数轴向右移动4个单位长度到达B点，则点B表示的数是﹣3+4＝1；
∴从点A出发，沿数轴向左移动4个单位长度到达B点，则点B表示的数是﹣3﹣4＝﹣7；
故答案为：1或﹣7．
题型06 有理数的运算与数轴
【典例1】
已知|m|＝4，|n|＝6，且m+n＝|m+n|，则m﹣n的值是（ ）
A．﹣10B．﹣2C．﹣2或﹣10D．2
【解答】解：∵m+n＝|m+n|，|m|＝4，|n|＝6，
∴m＝4，n＝6或m＝﹣4，n＝6，
∴m﹣n＝4﹣6＝﹣2或m﹣n＝﹣4﹣6＝﹣10．
故选：C．
【典例2】
若|a﹣2|+|b+3|＝0，则a﹣b的值为 ．
【解答】解：由题意得，a﹣2＝0，b+3＝0，
解得，a＝2，b＝﹣3，
则a﹣b＝5，
故答案为：5．
【典例3】
若|a|＝5，|b|＝1，且a﹣b＜0，则a+b的值等于（ ）
A．4或6B．4或﹣6C．﹣6或6D．﹣6或﹣4
【解答】解：∵|a|＝5，|b|＝1，且a﹣b＜0，
∴a＝﹣5，b＝1，此时a+b＝﹣4；
a＝﹣5，b＝﹣1，此时a+b＝﹣6，
故选：D．
【典例4】
有理数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c﹣b|的结果是（ ）
A．2b﹣2cB．2c﹣2bC．2bD．﹣2c
【解答】解：由图可知：
c＜b＜0＜a，﹣c＞a，﹣b＜a，
∴a+b＞0，a+c＜0，c﹣b＜0
∴|b+a|+|a+c|+|c﹣b|＝a+b﹣a﹣c+b﹣c＝2b﹣2c．
故选：A．
【典例5】
已知：x＜0＜z，xy＞0，且|y|＞|z|＞|x|，那么|x+z|+|y+z|﹣|x﹣y|的值（ ）
A．是正数B．是负数
C．是零D．不能确定符号
【解答】解：由题意可知，x、y、z在数轴上的位置如图所示：
所以|x+z|+|y+z|﹣|x﹣y|＝x+z﹣（y+z）﹣（x﹣y）＝0
故选：C．
1．﹣2023的倒数是（ ）
A．2023B．C．﹣2023D．
【解答】解：∵﹣2023×（﹣）＝1，
∴﹣2023的倒数是﹣，
故选：B．
2．下面算法正确的是（ ）
A．（﹣5）+9＝﹣（9﹣5）B．7﹣（﹣10）＝7﹣10
C．（﹣5）×0＝﹣5D．（﹣8）÷（﹣4）＝8÷4
【解答】解：（﹣5）+9＝﹣5+9＝﹣（5﹣9），故选项A错误，不符合题意；
7﹣（﹣10）＝7+10，故选项B错误，不符合题意；
（﹣5）×0＝0≠﹣5，故选项C错误，不符合题意；
（﹣8）÷（﹣4）＝8÷4，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
3．定义一种新的运算：如果，则有x▲y＝x+xy+|﹣y|，那么2▲（﹣4）的值是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣5D．4
【解答】解：根据题中的新定义得：
原式＝2+2×（﹣4）+|﹣（﹣4）|
＝2﹣8+4
＝﹣2．
故选：B．
4．下列算式结果为负数的是（ ）
A．﹣1+2B．2﹣3C．﹣1×（﹣2）D．0÷（﹣1）
【解答】解：﹣1+2＝1＞0，故选项A不符合题意；
2﹣3＝﹣1＜0，故选项B符合题意；
﹣1×（﹣2）＝2＞0，故选项C不符合题意；
0÷（﹣1）＝0，故选项D不符合题意；
故选：B．
5．已知a、b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的共有（ ）
①＜0，②ab＞0，③a﹣b＜0，④﹣a＜﹣b．
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【解答】解：由数轴可得b＜0＜a，
那么＜0，ab＜0，
则①正确，②错误；
∵b＜a，
∴a﹣b＞0，﹣a＜﹣b，
则③错误，④正确；
综上，正确的个数为2个，
故选：B．
6．点A，B在数轴上的位置如图所示，若点A，B表示的数分别为a，b，且满足a+b＞0，则下列选项中原点位置正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、由数轴可知，a＜0，b＜0，所以a+b＜0，故本选项不符合题意；
B、由数轴可知，a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，所以a+b＞0，故本选项符合题意；
C、由数轴可知，a＜0，b＞0，且|a|＝|b|，所以a+b＝0，故本选项不符合题意；
D、由数轴可知，a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，所以a+b＜0，故本选项不符合题意；
故选：B．
7．已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元．小红在该快递公司寄一件8千克的物品，需要付费（ ）
A．19元B．20元C．21元D．23元
【解答】解：由题意得：
小红在该快递公司寄一件8千克的物品，需要付费为：13+（8﹣5）×2
＝13+3×2
＝13+6
＝19（元），
故选：A．
8．已知a、b、c的大致位置如图所示：化简|a+c|+|b﹣c|﹣|a﹣b|的结果是（ ）
A．2a+2c﹣2bB．0C．2c﹣2bD．2c
【解答】解：由数轴可得：b＜a＜0，c＞0，|a|＜c，
∴a+c＞0，b﹣c＜0，a﹣b＞0，
故原式＝a+c﹣（b﹣c）﹣（a﹣b）
＝a+c﹣b+c﹣a+b
＝2c．
故选：D．
9．绝对值小于3的所有整数的和是 ．
【解答】解：根据绝对值的意义得
绝对值小于3的所有整数为0，±1，±2．
所以0+1﹣1+2﹣2＝0．
故答案为：0．
10．若m、n互为相反数，p、q互为倒数，则−2023m+−2023n的值是 ．
【解答】解：∵m、n互为相反数，p、q互为倒数，
∴m+n＝0，pq＝1，
∴−2023m+−2023n
＝﹣2023（m+n）+
＝0+3
＝3．
故答案为：3．
11．在6，﹣5，﹣4，3四个数中任取两数相乘，积记为A，任取两数相除，商记为B，则A﹣B的最大值为 ．
【解答】解：A的最大值为：（﹣5）×（﹣4）＝20，
B的最小值为：（﹣5）÷3＝，
∴A﹣B的最大值为：＝＝．
故答案为：
12．已知有理数a，b，c满足|a+b+c|＝a+b﹣c，且c≠0，则|a+b﹣c+2|﹣|c﹣10|＝ ．
【解答】解：∵|a+b+c|＝a+b﹣c，
∴a+b﹣c≥0，a+b＝0，c＜0，
则|a+b﹣c+2|﹣|c﹣10|＝a+b﹣c+2﹣[﹣（c﹣10）]＝a+b﹣c+2﹣（10﹣c）＝0﹣c+2﹣10+c＝﹣8，
故答案为：﹣8．
13．计算：
（1）8+（）﹣5﹣（﹣0.25）； （2）﹣36×（）；
（3）﹣2+2÷×2； （4）﹣3.5××÷．
【解答】解：（1）原式＝8﹣0.25﹣5+0.25
＝（8﹣5）+（﹣0.25+0.25）
＝3+0
＝3；
（2）原式＝﹣36×（﹣）﹣36×﹣36×（﹣）﹣36×（﹣）
＝24﹣30+21+32
＝﹣6+21+32
＝15+32
＝47；
（3）原式＝﹣2﹣2×2×2
＝﹣2﹣8
＝﹣10；
（4）原式＝﹣×（﹣）××2
＝1．
14．粮库6天内粮食进、出库的吨数记录如下表（“+”表示进库，“﹣”表示出库）：
（1）在这6天中，进库或出库的粮食数量最多的是 吨；
（2）经过这6天，粮库里的粮食是增多还是减少了？请通过计算说明；
（3）经过这6天，仓库管理员结算时发现库里还存有480吨粮食，那么6天前库里存粮多少吨？
【解答】解：（1）∵|﹣36|＞|+34|＞|+25|＞|22|＞|﹣12|＞|+8|，
∴在这6天中，进库或出库的粮食数量最多的是36吨；
故答案为：36；
（2）25+（+8）+（−12）+（+34）+（−36）+22＝+41（吨），
答：库里的粮食是增多了41吨；
（3）480﹣41＝439（吨），
答：6天前库里有粮439吨．
51．若a，b是有理数，定义一种运算“▲”：a▲b＝ab+2a﹣3b+2．
（1）计算3▲（﹣4）的值；
（2）计算（2▲3）▲（﹣6）的值；
（3）定义的新运算“▲”对交换律是否成立？请写出你的探究过程．
【解答】解：（1）由题意得：3▲（﹣4）＝3×（﹣4）+2×3﹣3×（﹣4）+2＝8；
（2）由题意得（2▲3）＝2×3+2×2﹣3×3+2＝3，
3▲（﹣6）＝3×（﹣6）+2×3﹣3×（﹣6）+2＝8，
∴（2▲3）▲（﹣6）＝8；
（3）不成立，理由如下：
∵a▲b＝ab+2a﹣3b+2，b▲a＝ba+2b﹣3a+2，
∴a▲b≠b▲a（a≠b），即定义的新运算“▲”对交换律不成立．
课程标准
学习目标
①有理数的加法运算法则以及运算定律
②有理数的减法运算法则
③有理数的乘法运算法则与运算定律
④倒数与有理数的除法运算法则
掌握有理数的加减法运算法则，能够进行加减运算。
掌握有理数的乘除运算法则，能够进行乘除运算。
掌握运算定律，能够进行有理数的加减乘除法混合运算。
星期
一
二
三
四
五
六
日
柚子销售超过或不足计划量情况（单位：千克）
+3
﹣5
﹣2
+11
﹣7
+13
+5
时间
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
进、出库数量（吨）
+25
+8
﹣12
+34
﹣36
22
知识点01 有理数的加法运算
加法运算法则：
①同号相加：同号相加， 符号 不变， 绝对值 相加。即符号相同的数相加，和的符号与加数的符号一致，把绝对值相加。同为正数相加时，和 大于 每一个加数，同为负数相加时，和 小于 每一个加数。
②异号相加：异号相加，取绝对值 较大 的数的符号，再把 绝对值 做差。大的绝对值减去
小的绝对值。
③与0相加：任何数与0相加都等于 任何数本身 。
有理数的加法运算技巧：一定二求三加减。确定和的符号，求各个加数的绝对值，对绝对值进行加减。
加法运算定律：
①加法交换律：交换加数的位置，和 不变 。。
②加法结合律：三个加数相加时，先把 前两个 加数相加或先把 后两个 加数相加，和不变。即：
特别提示：简便运算小技巧：
互为相反数的两个数可先相加。
同分母或者分母成倍数的分数可先相加。
和为整数的数可先相加。
符号相同的数可先相加。
带分数可分拆成整数部分和分数部分然后分别相加。（两部分符号与原符号 一致 ）
题型考点：①有理数的加法计算。②根据解题步骤列方程解决实际问题。
【即学即练1】
1．计算：﹣2+5的结果是（ ）
A．﹣7B．﹣3C．3D．7
【解答】解：﹣2+5＝3．
故选：C．
【即学即练2】
2．武汉市元月份某一天早晨的气温是﹣3℃，中午上升了8℃，则中午的气温是（ ）
A．﹣5℃B．5℃C．3℃D．﹣3℃
【解答】解：﹣3+8＝5（℃）
∴中午的气温是5℃．
故选：B．
【即学即练3】
3．下列运算正确的是（ ）
A．（+8）+（﹣10）＝﹣（10﹣8）＝﹣2
B．（﹣3）+（﹣2）＝﹣（3﹣2）＝﹣1
C．（﹣5）+（+6）＝+（6+5）＝+11
D．（﹣6）+（﹣2）＝+（6+2）＝+8
【解答】解：A、原式＝8﹣10＝﹣（10﹣8）＝﹣2，正确；
B、原式＝﹣（3+2）＝﹣5，错误；
C、原式＝6﹣5＝1，错误；
D、原式＝﹣（6+2）＝﹣8，错误，
故选：A．
【即学即练4】
4．运用加法的运算律计算（+6）+（﹣18）+（+4）+（﹣6.8）+18+（﹣3.2）最适当的是（ ）
A．[（+6）+（+4）+18]+[（﹣18）+（﹣6.8）+（﹣3.2）]
B．[（+6）+（﹣6.8）+（+4）]+[（﹣18）+18+（﹣3.2）]
C．[（+6）+（﹣18）]+[（+4）+（﹣6.8）]+[18+（﹣3.2）]
D．[（+6）+（+4）]+[（﹣18）+18]+[（﹣3.2）+（﹣6.8）]
【解答】解：（+6）+（﹣18）+（+4）+（﹣6.8）+18+（﹣3.2）＝[（+6）+（+4）]+[（﹣18）+18]+[（﹣3.2）+（﹣6.8）]；
故选：D．
【即学即练5】
5．计算．
（1）（+7）+（﹣6）+（﹣7）； （2）13+（﹣12）+17+（﹣18）；
（3）（﹣）+（﹣）++（﹣）； （4）（﹣20）+3+20+（﹣）；
（5）（﹣3.75）+2+（﹣1）； （6）5.6+（﹣0.9）+4.4+（﹣8.1）．
【解答】解：（1）（+7）+（﹣6）+（﹣7）
＝（+7）+（﹣7）+（﹣6）
＝﹣6；
（2）13+（﹣12）+17+（﹣18）
＝[13+（﹣12）]+[17+（﹣18）]
＝1﹣1
＝0；
（3）（﹣）+（﹣）++（﹣）
＝[（﹣）+]+[（﹣）+（﹣）]
＝1﹣1
＝0；
（4）（﹣20）+3+20+（﹣）＝
（﹣20）+20+3+（﹣）
＝3；
（5）（﹣3.75）+2+（﹣1）
＝（﹣3.75）+（﹣1）+2
＝﹣5+2
＝﹣3；
（6）5.6+（﹣0.9）+4.4+（﹣8.1）
＝（5.6+4.4）+[（﹣0.9）+（﹣8.1）]
＝10+（﹣9）
＝1．
知识点02 有理数的减法
减法运算法则：
减去一个数等于加上这个数的 相反数 。把减法变成加法计算。
较大的数－较小的数＝正数。即则 ＞ 0。
较小的数－较大的数＝负数。即 ＜ 0。
相等的数的差等于0。即 ＝ 0。
题型考点：①有理数的减法计算。
【即学即练1】
6．计算﹣1﹣2＝（ ）
A．﹣1B．1C．﹣3D．3
【解答】解：﹣1﹣2＝﹣1+（﹣2）＝﹣3，
故选：C．
【即学即练2】
7．计算：
（1）（﹣12）﹣（﹣15）； （2）0﹣2020；
（3）（﹣7.5）﹣5.6； （4）（﹣）﹣（﹣）；
（5）（﹣2）﹣（﹣3）； （6）（﹣5）﹣（﹣7）﹣（﹣6）﹣10．
【解答】解：（1）（﹣12）﹣（﹣15）；
解：原式＝（﹣12）+15
＝+（15﹣12）
＝3．
（2）0﹣2 020；
解：原式＝0+（﹣2 020）
＝﹣2 020．
（3）（﹣7.5）﹣5.6；
解：原式＝（﹣7.5）+（﹣5.6）
＝﹣13.1．
（4）（﹣）﹣（﹣）；
解：原式＝（﹣）+（+）
＝﹣（﹣）
＝﹣．
（5）（﹣2）﹣（﹣3）；
解：原式＝（﹣2）+3
＝．
（6）（﹣5）﹣（﹣7）﹣（﹣6）﹣10．
解：原式＝（﹣5）+7+6+（﹣10）
＝﹣2．
知识点03 有理数的乘法
乘法运算法则：
两数相乘，同号得 正 ，异号得 负 ，在把 绝对值 相乘。若两个因数的符号时一样的，则积的符号为正，若两个因数的符号不一样，则积的符号为负。再把他们的绝对值相乘。
多个有理数相乘：先观察因数中有无0作为因数，若有0作为因数，则积为 0 ，若没有0作为因数，则根据 负号 的个数先确定积的符号，当负号的个数为奇数个时，积的符号为 ﹣ ，当负号的个数为偶数个时，积的符号为 正 。在把所有因数的 绝对值 相乘。
任何数与0相乘都等于 0 。
任何数与1相乘的积是 原数 ，与﹣1相乘得到它的 它的相反数 。
在有理数的乘法计算时，小数化成 分数 ，带分数化成 假分数 。
乘法运算法则：
乘法交换律：交换因数的位置，积 不变 。即。
乘法结合律：三个有理数相乘，先把 前两个 因数相乘或先把 后两个 因数相乘，积 不变 。
乘法分配律：一个数乘以几个数的和或差，等于这个数别分乘以这几个数的积的和或差。即：
题型考点：①有理数的乘法计算。②乘法运算定律的应用。
【即学即练1】
8．下列运算结果为负值的是（ ）
A．（﹣7）×（﹣6）B．（﹣6）×3C．0×（﹣2）D．（﹣7）×（﹣15）
【解答】解：A、（﹣7）×（﹣6）的值是正数，故本选项错误；
B、（﹣6）×3的值是负数，故本选项正确；
C、0×（﹣2）的值是0，既不是正数也不是负数，故本选项错误；
D、（﹣7）×（﹣15）的值是正数，故本选项错误．
故选：B．
【即学即练2】
9．计算﹣1的结果是（ ）
A．1B．﹣1C．D．﹣
【解答】解：原式＝（﹣）＝1．
故选：A．
【即学即练3】
10．计算：
（1）（﹣）×（﹣）×（﹣）； （2）（﹣5）×（﹣）××0×（﹣325）．
【解答】解：（1）（﹣）×（﹣）×（﹣）
＝﹣××
＝﹣
（2）（﹣5）×（﹣）××0×（﹣325）
＝0．
知识点04 倒数
倒数的定义：
乘积为 1 的两个数互为倒数。若，则与互为 倒数 或是的 倒数 或是的 倒数 。一个数不能说是倒数。
求倒数：
正数的倒数是 正数 ，负数的倒数是 负数 ， 0 没有倒数，倒数等于它本身的数有 ±1 。
求带分数的倒数时，先把带分数化成 假分数 ，求小数的倒数时，把小数化成 分数 。
题型考点：求倒数。
【即学即练1】
11．做一做：
①5的倒数是 ； ②2的倒数是 ；
③0.1的倒数是 ； ④﹣3.75的倒数是 ；
⑤﹣3的倒数是 ； ⑥﹣0.15的倒数是 ．
【解答】解：①∵5×＝1，
∴5的倒数是，
故答案为：；
②∵×＝1，
∴的倒数是，
故答案为：；
③∵0.1×10＝1，
∴0.1的倒数是10，
故答案为：10；
④∵﹣3.75×（﹣）＝1，
∴﹣3.75的倒数是﹣，
故答案为：﹣；
⑤∵﹣3×（﹣）＝1，
∴﹣3的倒数是﹣，
故答案为：﹣；
⑥∵﹣0.15×（﹣）＝1，
∴﹣0.15的倒数是﹣，
故答案为：﹣．
知识点05 有理数的除法
除法运算法则：
法则一：除以一个数，等于乘以这个数的 倒数 。
法则二：两数相除，同号得 正 ，异号得 负 ，再把 绝对值 相除。0除以任何一个不为0的数都得 0 。若两数相除的结果为1时，这两个数 相等 ，若两数相除的结果为﹣1时，这两个数 互为相反数 。
题型考点：①有理数的除法运算。
【即学即练1】
12．把（﹣）÷（﹣）转化为乘法是（ ）
A．（﹣）×B．（﹣）×
C．（﹣）×（﹣）D．（﹣）×（﹣）
【解答】解：把（﹣）÷（﹣）转化为乘法是（﹣）×（﹣），
故选：D．
【即学即练2】
13．计算：的结果是（ ）
A．﹣8B．8C．2D．﹣2
【解答】解：（﹣4）÷（﹣）＝4×2＝8．
故选：B．
【即学即练3】
14．计算：
（1）﹣3÷（﹣）÷（﹣）； （2）（﹣12）÷（﹣4）÷（﹣1）；
（3）（﹣）×（﹣）÷0.25； （4）（﹣2）÷（﹣5）×（﹣3）．
【解答】解：（1）原式＝﹣3×（﹣）×（﹣）
＝﹣；
（2）原式＝（﹣12）×（﹣）×（﹣）
＝﹣；
（3）原式＝（﹣）×（﹣）×4
＝；
（4）原式＝（﹣）×（﹣）×（﹣）
＝﹣．
知识点06 有理数的加减乘除混合运算
混合运算法则：
①先 乘除 ，后 加减 ，有 括号 的要先算 括号 。先算 小括号 ，再算 中括号 ，最后算 大括号 。
②同级运算中，按照 从左至右 的顺序计算。
能使用简便运算的使用简便运算。
题型考点：①有理数的混合运算。
【即学即练1】
15．下面是佳佳同学的一道题的解题过程：
2÷（﹣）×（﹣3）
＝[2÷（﹣）+2]×（﹣3），①
＝2×（﹣3）×（﹣3）+2×4×（﹣3），②
＝18﹣24，③
＝6，④
（1）佳佳同学开始出现错误的步骤是 ；
（2）请给出正确的解题过程．
【解答】解：（1）佳佳同学开始出现错误的步骤是①．
故答案为：①．
（2）2÷（﹣）×（﹣3）
＝
＝2×（﹣12）×（﹣3）
＝72．
【即学即练2】
16．计算：
（1）﹣8+8÷[（﹣2）×]； （2）（﹣+﹣）÷（﹣）；
（3）[﹣30﹣（+﹣）×（﹣36）]÷（﹣5）； （4）（+14.9）×[（﹣）﹣1]÷．
【解答】解：（1）﹣8+8÷[（﹣2）×]
＝﹣8+8÷[（﹣）×]
＝﹣8+8÷（﹣）
＝﹣8+×（﹣4）
＝﹣8﹣33
＝﹣41；
（2）（﹣+﹣）÷（﹣）
＝（﹣+﹣）×（﹣63）
＝（﹣）+14+（﹣9）+21
＝；
（3）[﹣30﹣（+﹣）×（﹣36）]÷（﹣5）
＝（﹣30+28+30﹣33）×（﹣）
＝（﹣5）×（﹣）
＝1；
（4）（+14.9）×[（﹣）﹣1]÷
＝（+）×[（﹣）+（﹣）]×
＝（）×（﹣）×
＝×（﹣）×
＝﹣126．
题型01 加法运算定律与技巧的运用
【典例1】
计算：
（1）（+17）+（+6.25）+（﹣8） （2）﹣（﹣7）+9.8+（﹣4.2）+（﹣7）
【解答】解：（1）（+17）+（+6.25）+（﹣8）
＝17.75+6.25﹣8
＝24﹣8
＝16；
（2）﹣（﹣7）+9.8+（﹣4.2）+（﹣7）
＝7+9.8﹣4.2﹣7
＝7﹣7+9.8﹣4.2
＝0+5.6
＝5.6．
【典例2】
用适当的方法计算：
（1）0.36+（﹣7.4）+0.5+（﹣0.6）+0.14； （2）（﹣51）+（+12）+（﹣7）+（﹣11）+（+36）．
【解答】解：（1）0.36+（﹣7.4）+0.5+（﹣0.6）+0.14
＝（0.36+0.14+0.5）+[（﹣7.4）+（﹣0.6）]
＝1+（﹣8）
＝﹣7；
（2）（﹣51）+（+12）+（﹣7）+（﹣11）+（+36）
＝[（﹣51）+（﹣7）+（﹣11）]+[（+12）+（+36）]
＝（﹣69）+48
＝﹣21．
【典例3】
阅读下面文字：
对于（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3），
可以按如下方法计算：
原式＝[（﹣5）+（﹣）]+[（﹣9）+（﹣）]+（17+）+[（﹣3）+（﹣）]
＝[（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）]+[（﹣）+（﹣）++（﹣）]
＝0+（﹣1）
＝﹣1
上面这种方法叫拆项法．
仿照上面的方法，请你计算：
（﹣2018）+（﹣2017）+（﹣1）+4036．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝﹣2．
题型02 有理数的加减混合运算
【典例1】
计算
（1）（﹣3.6）+（+2.5）； （2）（﹣49）﹣（﹣91）﹣（+51）+（﹣9）；
（3）3﹣（﹣）+2+（﹣）； （4）1+（﹣2）+|﹣2﹣3|﹣5．
【解答】解：（1）（﹣3.6）+（+2.5）
＝﹣3.6+2.5
＝﹣1.1；
（2）（﹣49）﹣（﹣91）﹣（+51）+（﹣9）
＝﹣49+91﹣51﹣9
＝﹣100+91﹣9
＝﹣9﹣9
＝﹣18；
（3）3﹣（﹣）+2+（﹣）
＝3++2﹣
＝3﹣++2
＝3+3
＝6；
（4）1+（﹣2）+|﹣2﹣3|﹣5
＝1﹣2+5﹣5
＝1﹣2
＝﹣1．
【典例2】
计算：
（1）﹣7+（﹣7）﹣（﹣15）﹣1 （2）（﹣52）+（﹣19）﹣（+37）﹣（﹣24）
（3）﹣24+3.2﹣16﹣3.5+0.3 （4）﹣22
（5） （6）[1.4﹣（﹣3.6+5.2）﹣4.3]﹣（﹣1.5）
【解答】解：（1）﹣7+（﹣7）﹣（﹣15）﹣1
＝﹣7﹣7+15﹣1
＝﹣15+15
＝0；
（2）（﹣52）+（﹣19）﹣（+37）﹣（﹣24）
＝﹣52﹣19﹣37+24
＝﹣108+24
＝﹣84；
（3）﹣24+3.2﹣16﹣3.5+0.3
＝﹣43.5+3.5
＝﹣40；
（4）﹣22
＝（﹣22+）+（4﹣1.25）
＝﹣22+3
＝﹣19；
（5）
＝（﹣0.5﹣5.5）+（3.25+2.75）
＝﹣6+6
＝0；
（6）[1.4﹣（﹣3.6+5.2）﹣4.3]﹣（﹣1.5）
＝[1.4﹣1.6﹣4.3]﹣（﹣1.5）
＝﹣4.5+1.5
＝﹣3．
题型03 有理数加减法的实际应用
【典例1】
小虫从点A出发，在一水平直线上来回爬行，假定向右爬行为正，向左爬行为负，爬行的各段路程（单位：cm）依次记录为：+5，﹣2，+10，﹣8，﹣6，+12，﹣10．
（1）小虫最后回到了出发点A吗？
（2）在爬行的过程中，若每爬行1cm，奖励一粒芝麻，则小虫可得到多少粒芝麻？
【解答】解：（1）+5﹣2+10﹣8﹣6+12﹣10
＝27﹣26
＝1，
答：小虫最后没有回到出发点A；
（2）小虫爬行的总路程为：
|+5|+|﹣2|+|+10|+|﹣8|+|﹣6|+|+12|+|﹣10|
＝5+2+10+8+6+12+10
＝53（cm）．
答：小虫一共得到53粒芝麻．
【典例2】
高速公路养护小组，乘车沿东西向公路巡视维护，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）
+17，﹣9，+7，﹣15，﹣3，+11，﹣6，﹣8，+5，+16
（1）养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？
（2）养护过程中，最远处离出发点有多远？
（3）若汽车耗油量为a升/千米，则这次养护共耗油多少升？
【解答】解：（1）17﹣9+7﹣15﹣3+11﹣6﹣8+5+16＝+15（千米）．
则在出发点的东边15千米的地方；
（2）因为17﹣9＝8，8+7＝15，15﹣15＝0，0﹣3＝﹣3，﹣3+11＝，8，8﹣6＝2，2﹣8＝﹣6，﹣6+5＝﹣1，﹣1+16＝15，
所以最远处离出发点有17千米；
（3）（17+9+7+15+3+11+6+8+5+16）a＝97a（升）．
答：这次养护共耗油97a升．
【典例3】
科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富．小明把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负．下表是小王第一周柚子的销售情况：
（1）小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克？
（2）小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？
（3）若小王按8元/千克进行柚子销售，平均运费为3元/千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？
【解答】解：（1）13﹣（﹣7）＝13+7＝20（千克）．
答：小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售20千克．
（2）3﹣5﹣2+11﹣7+13+5+100×7
＝18+700
＝718（千克）．
答：小王第一周实际销售柚子的总量是718千克．
（3）718×（8﹣3）
＝718×5
＝3590（元）．
答：小王第一周销售柚子一共收入3590元．
题型04 有理数乘法运算定律
【典例1】
简便方法计算：
①（﹣﹣）×（﹣27）； ②﹣6×+4×﹣5×．
【解答】解：①原式＝
＝﹣6+9+2
＝5．
②原式＝×（﹣6+4﹣5）
＝（﹣7）
＝﹣3．
【典例2】
简便计算
（1）（﹣48）×0.125+48×+（﹣48）× （2）（）×（﹣36）
【解答】解：（1）原式＝（﹣48）×（0.125﹣+）
＝（﹣48）×
＝﹣60；
（2）原式＝×（﹣36）﹣×（﹣36）+×（﹣36）
＝﹣20+27﹣2
＝5．
【典例3】
计算
（1） （2）．
【解答】解：（1）[1﹣（+﹣）×24]×（﹣），
＝[1﹣（×24+×24﹣×24）]×（﹣），
＝[﹣（9+4﹣18）]×（﹣），
＝（+5）×（﹣），
＝×（﹣）+5×（﹣），
＝﹣﹣1，
＝﹣；
（2）﹣5×（﹣）+11×（﹣）﹣3×（﹣），
＝﹣5×（﹣）+11×（﹣）﹣6×（﹣），
＝（﹣5+11﹣6）×（﹣），
＝0．
题型05 有理数的加减法表示数轴上的点间的距离以及点的移动
【典例1】
在数轴上，到表示﹣1的点的距离等于6的点表示的数是（ ）
A．5B．﹣7C．5或﹣7D．8
【解答】解：设在数轴上与﹣1的距离等于6的点为A，表示的有理数为x，
因为点A与点﹣1的距离为6，即|x﹣（﹣1）|＝6，
所以x＝5或x＝﹣7．
故选：C．
【典例2】
M点在数轴上表示﹣4，N点离M的距离是3，那么N点表示的数为（ ）
A．﹣1B．﹣7C．﹣1或﹣7D．﹣1或1
【解答】解：﹣4+3＝﹣1，
﹣4﹣3＝﹣7，
故C正确．
故选：C．
【典例3】
点A在数轴上距原点3个单位长度，若将点A向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度，此时点A所表示的数是 ．
【解答】解：∵点A在数轴上距原点3个单位长度，
∴点A表示的数为3或﹣3；
当点A表示的数是﹣3时，移动后的点A所表示的数为：﹣3+4﹣1＝0；
当点A表示的数是3时，移动后的点A所表示的数为：3+4﹣1＝6；
综上所述，移动后点A所表示的数是：0或6．
故答案为：0或6．
【典例4】
如果在数轴上点A表示﹣3，从点A出发，沿数轴移动4个单位长度到达B点，则点B表示的数是 ．
【解答】解：∵点A表示﹣3，
∴从点A出发，沿数轴向右移动4个单位长度到达B点，则点B表示的数是﹣3+4＝1；
∴从点A出发，沿数轴向左移动4个单位长度到达B点，则点B表示的数是﹣3﹣4＝﹣7；
故答案为：1或﹣7．
题型06 有理数的运算与数轴
【典例1】
已知|m|＝4，|n|＝6，且m+n＝|m+n|，则m﹣n的值是（ ）
A．﹣10B．﹣2C．﹣2或﹣10D．2
【解答】解：∵m+n＝|m+n|，|m|＝4，|n|＝6，
∴m＝4，n＝6或m＝﹣4，n＝6，
∴m﹣n＝4﹣6＝﹣2或m﹣n＝﹣4﹣6＝﹣10．
故选：C．
【典例2】
若|a﹣2|+|b+3|＝0，则a﹣b的值为 ．
【解答】解：由题意得，a﹣2＝0，b+3＝0，
解得，a＝2，b＝﹣3，
则a﹣b＝5，
故答案为：5．
【典例3】
若|a|＝5，|b|＝1，且a﹣b＜0，则a+b的值等于（ ）
A．4或6B．4或﹣6C．﹣6或6D．﹣6或﹣4
【解答】解：∵|a|＝5，|b|＝1，且a﹣b＜0，
∴a＝﹣5，b＝1，此时a+b＝﹣4；
a＝﹣5，b＝﹣1，此时a+b＝﹣6，
故选：D．
【典例4】
有理数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c﹣b|的结果是（ ）
A．2b﹣2cB．2c﹣2bC．2bD．﹣2c
【解答】解：由图可知：
c＜b＜0＜a，﹣c＞a，﹣b＜a，
∴a+b＞0，a+c＜0，c﹣b＜0
∴|b+a|+|a+c|+|c﹣b|＝a+b﹣a﹣c+b﹣c＝2b﹣2c．
故选：A．
【典例5】
已知：x＜0＜z，xy＞0，且|y|＞|z|＞|x|，那么|x+z|+|y+z|﹣|x﹣y|的值（ ）
A．是正数B．是负数
C．是零D．不能确定符号
【解答】解：由题意可知，x、y、z在数轴上的位置如图所示：
所以|x+z|+|y+z|﹣|x﹣y|＝x+z﹣（y+z）﹣（x﹣y）＝0
故选：C．
1．﹣2023的倒数是（ ）
A．2023B．C．﹣2023D．
【解答】解：∵﹣2023×（﹣）＝1，
∴﹣2023的倒数是﹣，
故选：B．
2．下面算法正确的是（ ）
A．（﹣5）+9＝﹣（9﹣5）B．7﹣（﹣10）＝7﹣10
C．（﹣5）×0＝﹣5D．（﹣8）÷（﹣4）＝8÷4
【解答】解：（﹣5）+9＝﹣5+9＝﹣（5﹣9），故选项A错误，不符合题意；
7﹣（﹣10）＝7+10，故选项B错误，不符合题意；
（﹣5）×0＝0≠﹣5，故选项C错误，不符合题意；
（﹣8）÷（﹣4）＝8÷4，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
3．定义一种新的运算：如果，则有x▲y＝x+xy+|﹣y|，那么2▲（﹣4）的值是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣5D．4
【解答】解：根据题中的新定义得：
原式＝2+2×（﹣4）+|﹣（﹣4）|
＝2﹣8+4
＝﹣2．
故选：B．
4．下列算式结果为负数的是（ ）
A．﹣1+2B．2﹣3C．﹣1×（﹣2）D．0÷（﹣1）
【解答】解：﹣1+2＝1＞0，故选项A不符合题意；
2﹣3＝﹣1＜0，故选项B符合题意；
﹣1×（﹣2）＝2＞0，故选项C不符合题意；
0÷（﹣1）＝0，故选项D不符合题意；
故选：B．
5．已知a、b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的共有（ ）
①＜0，②ab＞0，③a﹣b＜0，④﹣a＜﹣b．
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【解答】解：由数轴可得b＜0＜a，
那么＜0，ab＜0，
则①正确，②错误；
∵b＜a，
∴a﹣b＞0，﹣a＜﹣b，
则③错误，④正确；
综上，正确的个数为2个，
故选：B．
6．点A，B在数轴上的位置如图所示，若点A，B表示的数分别为a，b，且满足a+b＞0，则下列选项中原点位置正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、由数轴可知，a＜0，b＜0，所以a+b＜0，故本选项不符合题意；
B、由数轴可知，a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，所以a+b＞0，故本选项符合题意；
C、由数轴可知，a＜0，b＞0，且|a|＝|b|，所以a+b＝0，故本选项不符合题意；
D、由数轴可知，a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，所以a+b＜0，故本选项不符合题意；
故选：B．
7．已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元．小红在该快递公司寄一件8千克的物品，需要付费（ ）
A．19元B．20元C．21元D．23元
【解答】解：由题意得：
小红在该快递公司寄一件8千克的物品，需要付费为：13+（8﹣5）×2
＝13+3×2
＝13+6
＝19（元），
故选：A．
8．已知a、b、c的大致位置如图所示：化简|a+c|+|b﹣c|﹣|a﹣b|的结果是（ ）
A．2a+2c﹣2bB．0C．2c﹣2bD．2c
【解答】解：由数轴可得：b＜a＜0，c＞0，|a|＜c，
∴a+c＞0，b﹣c＜0，a﹣b＞0，
故原式＝a+c﹣（b﹣c）﹣（a﹣b）
＝a+c﹣b+c﹣a+b
＝2c．
故选：D．
9．绝对值小于3的所有整数的和是 ．
【解答】解：根据绝对值的意义得
绝对值小于3的所有整数为0，±1，±2．
所以0+1﹣1+2﹣2＝0．
故答案为：0．
10．若m、n互为相反数，p、q互为倒数，则−2023m+−2023n的值是 ．
【解答】解：∵m、n互为相反数，p、q互为倒数，
∴m+n＝0，pq＝1，
∴−2023m+−2023n
＝﹣2023（m+n）+
＝0+3
＝3．
故答案为：3．
11．在6，﹣5，﹣4，3四个数中任取两数相乘，积记为A，任取两数相除，商记为B，则A﹣B的最大值为 ．
【解答】解：A的最大值为：（﹣5）×（﹣4）＝20，
B的最小值为：（﹣5）÷3＝，
∴A﹣B的最大值为：＝＝．
故答案为：
12．已知有理数a，b，c满足|a+b+c|＝a+b﹣c，且c≠0，则|a+b﹣c+2|﹣|c﹣10|＝ ．
【解答】解：∵|a+b+c|＝a+b﹣c，
∴a+b﹣c≥0，a+b＝0，c＜0，
则|a+b﹣c+2|﹣|c﹣10|＝a+b﹣c+2﹣[﹣（c﹣10）]＝a+b﹣c+2﹣（10﹣c）＝0﹣c+2﹣10+c＝﹣8，
故答案为：﹣8．
13．计算：
（1）8+（）﹣5﹣（﹣0.25）； （2）﹣36×（）；
（3）﹣2+2÷×2； （4）﹣3.5××÷．
【解答】解：（1）原式＝8﹣0.25﹣5+0.25
＝（8﹣5）+（﹣0.25+0.25）
＝3+0
＝3；
（2）原式＝﹣36×（﹣）﹣36×﹣36×（﹣）﹣36×（﹣）
＝24﹣30+21+32
＝﹣6+21+32
＝15+32
＝47；
（3）原式＝﹣2﹣2×2×2
＝﹣2﹣8
＝﹣10；
（4）原式＝﹣×（﹣）××2
＝1．
14．粮库6天内粮食进、出库的吨数记录如下表（“+”表示进库，“﹣”表示出库）：
（1）在这6天中，进库或出库的粮食数量最多的是 吨；
（2）经过这6天，粮库里的粮食是增多还是减少了？请通过计算说明；
（3）经过这6天，仓库管理员结算时发现库里还存有480吨粮食，那么6天前库里存粮多少吨？
【解答】解：（1）∵|﹣36|＞|+34|＞|+25|＞|22|＞|﹣12|＞|+8|，
∴在这6天中，进库或出库的粮食数量最多的是36吨；
故答案为：36；
（2）25+（+8）+（−12）+（+34）+（−36）+22＝+41（吨），
答：库里的粮食是增多了41吨；
（3）480﹣41＝439（吨），
答：6天前库里有粮439吨．
51．若a，b是有理数，定义一种运算“▲”：a▲b＝ab+2a﹣3b+2．
（1）计算3▲（﹣4）的值；
（2）计算（2▲3）▲（﹣6）的值；
（3）定义的新运算“▲”对交换律是否成立？请写出你的探究过程．
【解答】解：（1）由题意得：3▲（﹣4）＝3×（﹣4）+2×3﹣3×（﹣4）+2＝8；
（2）由题意得（2▲3）＝2×3+2×2﹣3×3+2＝3，
3▲（﹣6）＝3×（﹣6）+2×3﹣3×（﹣6）+2＝8，
∴（2▲3）▲（﹣6）＝8；
（3）不成立，理由如下：
∵a▲b＝ab+2a﹣3b+2，b▲a＝ba+2b﹣3a+2，
∴a▲b≠b▲a（a≠b），即定义的新运算“▲”对交换律不成立．
课程标准
学习目标
①有理数的加法运算法则以及运算定律
②有理数的减法运算法则
③有理数的乘法运算法则与运算定律
④倒数与有理数的除法运算法则
掌握有理数的加减法运算法则，能够进行加减运算。
掌握有理数的乘除运算法则，能够进行乘除运算。
掌握运算定律，能够进行有理数的加减乘除法混合运算。
星期
一
二
三
四
五
六
日
柚子销售超过或不足计划量情况（单位：千克）
+3
﹣5
﹣2
+11
﹣7
+13
+5
时间
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
进、出库数量（吨）
+25
+8
﹣12
+34
﹣36
22
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