黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学、东北师范大学附属中学、辽宁省实验中学2024届高三第二次联合模拟考试及答案

这是一份黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学、东北师范大学附属中学、辽宁省实验中学2024届高三第二次联合模拟考试及答案，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知是虚数单位，a，，，则复数的模为（ ）
A．5B．C．2D．4
2．在公差不为0的等差数列中，，，是公比为2的等比数列，则（ ）
A．11B．13C．15D．17
3．1.按分层抽样的方法,从个相同的红球和个相同的黑球中抽出个球排成一排,则不同的排列方法为（ ）
A．B．C．D．
4．已知，为两个不重合平面，l，m为两条不同直线，则的充分条件是（ ）
A．，B．，C．，D．，，
5．已知，，在上的投影向量为，则向量与夹角余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，以“矩”量之，若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
7．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．双曲线C：的右焦点为F，双曲线C上有两点A，B关于直线l：对称，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知正方体的棱长为1，下列命题正确的是（ ）
A．平面
B．四面体的体积是正方体的体积的三分之一
C．与正方体所有棱都相切的球的体积为
D．与平面所成的角等于
10．函数的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．的图象的一个对称中心为
D．设函数，则在上的最小值为
11．定义在上的偶函数满足，当时，.设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的图象在处的切线方程为
C．
D．的图象与的图象所有交点的横坐标之和为10
三、填空题
12．已知，则 ．
13．洛卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名.洛卡斯数列就是以他的名字命名，洛卡斯数列为：1，3，4，7，11，18，29，47，76，…，即，，且.设数列各项依次除以4所得余数形成的数列为，则 .
14．已知抛物线，经过焦点斜率为的直线交抛物线于两点，线段的垂直平分线交轴于点，则的值为 .
四、解答题
15．某兴趣小组，对高三刚结束的测试的物理成绩进行随机调查，在所有选择物理科的考生中随机抽取100名各类考生的物理成绩，整理数据如下表（单位：人）
(1)估计该校高三学习物理男生人数与女人数的比值；
(2)求A班物理平均成绩的估计值（同一组中的数据用该组区间中点值为代表，结果四舍五入到整数）；
(3)把成绩在称为及格，成绩在为不及格，根据所有数据完成下面列联表，试根据小概率值的独立性检验，分析该校考生的物理成绩与性别是否有关？
附：
16．如图，在直角梯形ABCD中，，，，于E，沿DE将折起，使得点A到点P位置，，N是棱BC上的动点（与点B，C不重合）.
(1)判断在棱PB上是否存在一点M，使平面平面，若存在，求；若不存在，说明理由；
(2)当点F，N分别是PB，BC的中点时，求平面和平面的夹角的余弦值.
17．已知等比数列的前n项和为，且，其中.
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由.
18．已知a为常数，函数.
(1)当时，求的图象在处切线方程；
(2)讨论函数的零点个数；
(3)若函数有两个极值点，（），求证.
19．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上顶点，离心率为，直线与圆相切.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过作直线与椭圆交于两点，
（i）若，求面积的取值范围；
（ii）若斜率存在，是否存在椭圆上一点及轴上一点，使四边形为菱形？若存在，求，若不存在，请说明理由.
A班男生
2
8
15
8
B班男生
3
10
20
4
A班女生
3
4
2
1
B班女生
10
6
4
0
性别
成绩
合计
及格
不及格
男生
女生
合计
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
参考答案：
1．B
【分析】根据复数的乘法和复数相等可得的值，从而可求的模.
【详解】由题设有，而，故，
故的模为，
故选：B.
2．C
【分析】利用基本量法可求的值.
【详解】设等差数列的公差为，则，
因为，，是公比为2的等比数列，
所以，由前者得到，代入后者可得，
故，
故选：C.
3．C
【分析】首先根据分层抽样求出红球和黑球的个数，再根据组合公式和分步乘法公式即可.
【详解】按分层抽样的方法，从个相同的红球和个相同的黑球中抽出个球，
其中有红球，黑球，
由于红球、黑球是完全相同的，则有种抽取方法，
进而将个黑球安排在个位置中的个，有种方法，
由分步计数原理，可得共有种不同方法，
故选：C.
4．B
【分析】对于ACD，根据空间中线面关系可得或，故ACD均不是充分条件，结合面面平行的定义可得B正确.
【详解】对于A，若，，则或，故A中条件不是充分条件，故A错误；
对于B，若，，由面面平行的定义可得，
故B中条件是的充分条件，故B正确；
对于C，若，，则或，C中条件不是充分条件，故C错误；
对于D，，，，则或，D中条件不是充分条件，
故D错误；
故选：B.
5．A
【分析】根据投影向量公式可求向量与夹角余弦值.
【详解】在上的投影向量为，故，
而，故，故，
故即，
故选：A.
6．A
【分析】利用余弦定理结合基本不等式可求周长的最大值.
【详解】因为四边形木板的一个内角满足，如图，
设，由题设可得圆的直径为，
故，因，为三角形内角，故，
故，
故，
故，
故，当且仅当时等号成立，
同理，当且仅当等号成立，
故四边形周长的最大值为，
故选：A.
7．B
【分析】利用直线与半圆的位置关系可得实数的取值范围.
【详解】方程有两个不相等的实数根等价于有两个实数根，
设，，
故的图象与的图象有两个不同的交点，
又可化为，
故的图象为如图所示的半圆，
半圆的圆心为，半径为，故圆心到直线的距离，故，
而直线需在轴的上方或与轴重合，故，
故，
故选：B.
8．B
【分析】设，，的中点为， 联立直线方程和双曲线方程后结合对称可得的坐标，而，故可求.
【详解】，设的中点为，连接
因为为线段的垂直平分线，故可设，，
由可得（*），
故，故，
故的中点为，
因的中点在直线上，故，
故，此时，且，
故，
故选：B.
9．AB
【分析】利用线面垂直判断A,由间接法求体积判断B,确定球的半径判断C,运用向量法判断D.
【详解】对A，由正方体性质可得平面，平面，
所以，易知， 平面，
故平面，又平面，故，
同理可证 平面，又平面，故，
又平面，故平面，A正确；
对B, 四面体的体积为正方体的体积减去4个三棱锥的体积，即，
故四面体的体积是正方体的体积的三分之一，故B正确；
对C, 与正方体所有棱都相切的球的直径长度为面对角线的长度，
故球的体积为，故C错误；
对D,以为原点建立如图所示的坐标系，，
由A可知，为平面的法向量，，
设与平面所成的角为，故D错误.
故选：AB.
10．ABD
【分析】根据求出的解析式，利用三角函数的性质即可求解.
【详解】由图象可知，，
所以，即，
又因为，所以，故A正确；
所以的解析式为，
，，
所以，解得，故B正确；
所以，故点不是的图象的一个对称中心，故C错误；
,
因为，所以，
当，即时，取的最小值为，故D正确.
故选：ABD.
11．ACD
【分析】对于A，根据奇偶性和对称性可得图象关于对称；对于B，根据周期性和对称性可求函数在给定范围范围上的解析式，故可求切线方程；对于C，根据周期性可求目标代数式的值；对于D，数形结合后可求交点的横坐标的和.
【详解】对于A，因为为偶函数，故，
故，所以，故的图象关于直线对称，
故A正确.
对于B，由A中分析可得是周期函数且周期为，
故当时，，故，
故当时，，故，
故切线方程为：，故B错误.
对于C，由是周期函数且周期为可得：
，
故C正确.
对于D，因为，故的图象关于对称，
而，且时，此时在上为增函数，
故图象如图所示：
由图可得的图象与的图象共有10个交点，所有交点的横坐标之和为10.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：分段函数的性质讨论，一般需利用变换的思想探究该函数的周期性、对称性，如果已知确定范围上的解析式，那么可利用周期性和对称性求出其他范围上的解析式；对于不同函数的交点情况的讨论，可结合它们的图象来分析.
12．.
【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系可求得式子的值．
【详解】∵，∴ .
故答案为：.
13．
【分析】根据递推关系可得的周期性，故可求.
【详解】的各项除以的余数分别为，
故可得的周期为，且前项分别为，
而，
故答案为：.
14．
【分析】联立直线方程和抛物线方程后求出中垂线方程和，再求出后可求的值.
【详解】抛物线的焦点的坐标为， 故.
设，的中点为，
则由可得，，
又，
所以，
又，所以，
故的中垂线的方程为：，
令，则，故，所以.
故答案为：.
15．(1)
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）根据表中数据求出男生和女生人数即可求解；
（2）根据频数分布列表，利用每组的组中值乘以对应的频率之和即可求解；
（3）根据表中数据可补充列联表，利用卡方的计算公式求出，结合表中的数据即可得出结论.
【详解】（1）由表中数据可知，男生共有，
女生共有，
由此估计该校高三学习物理男生人数与女人数的比值约为.
（2）A班共有：人
班物理平均成绩的估计值为
（3）由表中数据可知，列联表如下：
零假设为：该校考生的物理成绩与考生性别无关，
根据表格中数据计算得到
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为该校考生的物理成绩与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01．
16．(1)存在，
(2)
【分析】（1）根据题意，先证明平面，再证明平面，再利用面面垂直的性质定理作，得平面，再计算求解即可；
（2）以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用夹角公式，得到结论．
【详解】（1）存在，；
理由如下：由，，，平面，
所以平面，又平面，
故，又，平面，故平面，
又平面,故平面平面，又平面平面，
平面，作，则平面，又平面，
故平面平面，由题意，不妨设，
则中，由等面积得，所以，
则，所以.
（2）以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
由（1），， , ，
，,
设平面的法向量为，
由，取，
易知平面PDE的法向量为，
设平面和平面的夹角为,故.
17．(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据递推关系可得，从而可得公比，故可求首项从而得到通项公式；
（2）先求出的通项，再利用反证法结合等比中项的性质可得矛盾，从而得到数列中不存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列.
【详解】（1）因为，故，故，
而为等比数列，故其公比为，
又，故，故，
故.
（2）由题设可得，
若数列中存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列，
则，因为等差数列，
故即，故，
故即，这样不同矛盾，
故数列中不存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列.
18．(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，从而得到切线的斜率，故可得切线方程；
（2），，则函数的零点个数等价于零点的个数，利用导数讨论的单调性并结合零点存在定理可判断零点的个数.
（3）求出的导数，利用零点存在定理可得，从而可证.
【详解】（1）当时，，故，
而，故，
故的图象在处切线方程为即.
（2）的定义域为，
的零点等价于的解即的解，
令，，故，
当时，，故在上为增函数，
而，，
故在上有且只有一个实数解，即有且只有一个零点，
当时，当时，；当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，
故，
若即，此时，故无零点，故无零点.
若即，此时，
故有且只有一个零点，故有且只有一个零点.
若即，此时.
而，故在有且只有一个零点；
又，
设，则，故在上为减函数，
故，
因为，故，而，
故在有且只有一个零点；
故此时有且只有两个不同的零点即有且只有两个不同的零点.
综上，当时，无零点；
当或时，有且只有一个零点；
当时，有且只有两个不同的零点.
（3）的定义域为，而，
由题设可得有两个变号零点，
设，故在上有两个变号零点，
而，
若，则在上为增函数，在上至多一个零点，舍；
若，
当时，；当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，
故，
所以即，而，且，故.
又，而，
故，
因为，故，故，
要证：，即证，
即证：在上恒成立.
设，则，
故在上为减函数，故即成立.
综上，.
【点睛】关键点点睛：函数零点个数的判断，需利用导数讨论其单调性，再结合零点存在定理判断个数，后者需注意特殊点的选取，一方面要满足特殊点与极值点的大小，而且函数值要容易计算，必要时利用导数判断符号.
19．(1)
(2)（i）;（ii）不存在，理由见解析
【分析】（1）根据相切可得关系，再结合离心率可求基本量，故可得椭圆方程；
（2）（i）设l方程为，联立直线方程和椭圆方程，结合韦达定理及坐标关系可得的关系，从而得到的取值范围，再由弦长公式及距离公式可得面积，最后利用函数的单调性可求面积的取值范围;（ii）若存在，则设方程为，联立直线方程和椭圆方程后结合韦达定理可求，从而可得的坐标，代入椭圆方程可判断不存在.
【详解】（1）由已知，
而直线即，
该直线与圆与相切，则，解得，
故椭圆的标准方程为.
（2）（i）由已知，直线的斜率存在且不为
设l方程为：，
由得，
设，则.
故，
而到直线距离，
所以.
由，知，所以，
所以，所以，
因为在上为增函数，故，
所以，故，
设，则，故，
因为在上为增函数，，故.
（ii）由题设可设方程为，
由，
因为在椭圆内部，故恒成立，
设，的中点为，则为的垂直平分线，
而，
故，故，
故的直线方程为：，
令，则，故，，
而在椭圆上，故，
整理得，该方程无解，所以不存在满足条件的点.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
性别
成绩
合计
及格
不及格
男生
65
5
70
女生
17
13
30
合计
82
18
100