四川省绵阳市绵阳育才学校2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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完卷时间：100分钟 满分：120分
（本试卷分试题卷、答题卷两部分．试题卷分A，B卷，共25个小题．）
A卷（共100分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1. 要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x＞2B. x≥2C. x＜2D. x=2
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴2x﹣4≥0，解得：x≥2，则实数x的取值范围是：x≥2．
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．
2. 下列根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：A．=3，不最简二次根式，故此选项错误；
B．，不是最简二次根式，故此选项错误；
C．是最简二次根式，故此选项正确；
D．，不是最简二次根式，故此选项错误．
故选C．
3. 下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）．
A. 2，2，B. 8，15，17C. 1，，2D. 6，8，10
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A．∵，，，
∴不能成直角三角形，故本选项符合题意；
B．∵，
∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意．
C．∵，
∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵，
∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的加减运算和乘除运算法则可直接进行排除选项．
【详解】解：A、，错误；
B、，错误；
C、，正确；
D、，错误；
故选C．
【点睛】本题主要考查二次根式的加减乘除运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
5. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）
A. 8B. 10C. 13D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查以勾股定理为背景的图形面积的计算，理解图示，掌握勾股定理计算图形面积的方法是解题的关键．设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意，运用勾股定理可得，，正方形的面积是正方形的面积和，正方形的面积是正方形的面积和，正方形的面积是正方形的面积和，由此即可求解．
【详解】解：如图所述，设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，
∴根据题意可得，，，
∴，
∵是正方形的面积，
∴正方形的面积为8，即正方形的面积是正方形的面积和，
同理，正方形的面积为，
∴正方形的面积为，
故选：C．
6. 若，则的结果是（ ）
A. 1B. 0C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件得到，把代入得到，把，代入即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，，
则，
∴，
把代入得到，
，
∴，
故选：C
【点睛】此题考查了二次根式和代数式的求值，根据二次根式有意义的条件得到是解题的关键．
7. 已知，且，化简二次根式的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简与性质，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键，
根据二次根式被开方数是非负数，以及，可得，再化简即可，
【详解】解：有意义，且，
，
故选：A
8. 在如图的网格中，小正方形的边长均为1，三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D. 点到直线的距离是2
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积公式，根据勾股定理求得进而根据勾股定理的逆定理，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，故A,B选项正确；
∴，故C选项错误；
设点到直线的距离是，则，
∴，故D选项正确
故选：C．
9. 有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的终点，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是（ ）尺
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设这根芦苇的长度是x尺，根据勾股定理，列出方程，即可求解．
【详解】解：设这根芦苇的长度是x尺，根据题意得：
，
解得：，
即这根芦苇的长度是10尺．
故选：C
10. 如图，四边形ABCD是由四个全等的直角三角形拼成.若四边形ABCD的面积为13，中间空白处的四边形EFGH的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a和b，则（ ）
A. 12B. 13C. 24D. 25
【答案】D
【解析】
【分析】根据a+1=b和勾股定理建立方程，再解出a即可．
【详解】解：由图可得：b=a+1，
由勾股定理得：，
即，
解得，
∴b=3
，
故选D．
【点睛】本题考查勾股定理和一元二次方程在几何题中的应用，掌握这些知识点是关键．
11. 下图是一张直角三角形的纸片，两直角边，，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为( )

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，根据折叠的性质可得，，在中、在中和在中利用勾股定理即可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：在中，根据勾股定理得：
，即，
沿折叠，使点A与点B重合，
，
，，，
，，
在中，根据勾股定理得：
，即，
解得：，
在中，根据勾股定理得：
，
解得：，
故选C．
12. 如图，在正方形ABCD的外侧作等边，对角线AC与BD相交于点O，连接AE交BD于点F，若，则AB的长度为（ ）
A. 2B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】先根据正方形和等边三角形的性质证明△ADE是等腰三角形，求出∠DAE＝∠DEA，再求出∠OAF＝30°，在直角三角形OAF中即可得出结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，DC＝DE，∠CDE＝∠DEC＝60°，∠DAC＝45°，AC⊥BD，
∴AD＝DE，∠ADE＝90°＋60°＝150°，∠AOD＝90°，
∴∠DAE＝∠DEA＝（180°−150°）＝15°，∠OAF＝45°−15°＝30°，
∴AF＝2OF＝2，
∴OA＝ ＝＝，
∴AB＝OA＝，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质和等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质以及等腰三角形的判定方法；根据正方形和等边三角形的性质弄清各个角之间的关系是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
13. 比较大小：_____
【答案】
【解析】
【分析】根据无理数的大小比较方法解答.
【详解】解：；
故答案为
【点睛】此题重点考查学生对无理数大小比较的认识，将根号外的系数转入根号内是解题的关键.
14. 如图，数轴上点A表示的数是，，，以点O为圆心，OB为半径画弧，与数轴的负半轴相交，则交点P所表示的数是______．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用勾股定理得出OB的长，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：在Rt△AOB中，OB＝＝，
故弧与数轴的交点P表示的数为：−．
故答案为：−．
【点睛】此题主要考查了实数与数轴，正确得出OB的长是解题关键．
15. 如图，在中，，，，则的长度是______．
【答案】##
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理，用到的知识点是三角形的面积公式，勾股定理，30°所对直角边等于斜边的一半，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形．过点C作，根据角的性质得出的长，根据勾股定理得出的长，再求出，从而求出的值，进而得出的长．
【详解】解：过点C作，垂足为D，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵．
故答案为：．
16. 已知，则x2 - 4x + 1的值为 _________ ．
【答案】2
【解析】
【分析】先根据分母有理化对x的值进行化简，然后利用完全平方公式对代数式变形，再代入数据求解即可．
【详解】解：
把代入上式中，
原式=
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，二次根式的运算，解题的关键在于能够利用完全平方公式对代数式进行变形求解．
17. 如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为_______m（容器厚度忽略不计）．

【答案】1.3．
【解析】
【详解】因为壁虎与蚊子在相对的位置，则壁虎在圆柱展开图矩形两边中点的连线上，如图所示

要求壁虎捉蚊子的最短距离，实际上是求在EF上找一点P，使PA+PB最短，过A作EF的对称点，连接，则与EF的交点就是所求的点P．
过B作于点M，
在中，，，
∴．
∵，∴壁虎捉蚊子的最短距离为1.3m．
三、解答题（本大题5个小题，共44分）
18. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算：
（1）先计算小括号内的二次根式乘法，再化简二次根式并合并同类二次根式，最后计算二次根式除法即可；
（2）先计算二次根式乘除法，再计算二次根式加减法即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
19. 已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了数轴的定义、二次根式的运算、绝对值运算．观察数轴可得，从而得到，再根据二次根式的运算、绝对值运算计算即可．
【详解】解：观察数轴得：，
∴，
∴
20. 已知，求：
（1）x和y的值；
（2）的算术平方根．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根的非负性，以及算术平方根的意义，熟练掌握算术平方根的意义是解答本题的关键．
（1）根据偶次方和算术平方根的意义求解即可；
（2）根据算术平方根的意义和二次根式的性质求解即可．
【小问1详解】
∵，
，
∴；
【小问2详解】
∵
∴，
∴的算术平方根是．
21. 如图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉，经测量，，，，，，，求四边形的面积．
【答案】四边形的面积为18
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，由勾股定理得，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形，且，然后由三角形面积公式即可解决问题．
【详解】解：由题意得：，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
是直角三角形，且，
．
答：四边形的面积为18．
22. 如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）当秒时，求的长．
（2）求出发时间为几秒时，是等腰三角形．
（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边上运动时，若是以为腰的等腰三角形，求点Q的运动时间．
【答案】（1）
（2）出发时间为秒时，是等腰三角形
（3）当为6秒或6.6秒时，为等腰三角形．
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、三角形面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用．
（1）根据点、的运动速度求出，再求出和，用勾股定理求得即可；
（2）由题意得出，即，解方程即可；
（3）当点在边上运动时，能使成为等腰三角形的运动时间有三种情况：
①当时（图，则，易求得；
②当时（图，过点作于点，则求出，，即可得出．
【小问1详解】
，
，
，
；
【小问2详解】
根据题意得：，
即，
解得：；
即出发时间为秒时，是等腰三角形；
【小问3详解】
分两种情况：
当时，如图2所示：
则，
秒．
当时，如图3所示：
过点作于点，
则
，
，
，
秒．
由上可知，当为6秒或6.6秒时，为等腰三角形．
B卷（共20分）
23. 已知是正整数，则自然数m的所有可能值的个数有______个．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件可得，再由是正整数，m为自然数，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
∴，
∵是正整数，m为自然数，
∴的所有可能值为8，15，20，23，共4个．
故答案为：4
24. 如图，在中，，，BE平分交CD于F，于H，则下列结论错误的选项的是（ ）
A. B.
C. 为定值D. 若为等边三角形，则
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理可判断A；作，则四边形是矩形，可得，根据证明得，进而可判断C；由为等边三角形得，求出，然后利用30度角的性质可判断D；无法判断B的正确与否．
【详解】解：A、∵，，
∴，
∴，故A正确，不符合题意；
B、无法证明，故B错误，符合题意；
C、作，则四边形是矩形，
∴，
∴，
∵平分，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，故C正确，不符合题意；
D、∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故D正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，角平分线的定义，含的直角三角形的性质，难度中等，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．
25. 据图回答下列各题．
【问题：】如图1，在中，，点是边上一点（不与，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段，之间满足的数量关系式为 ．
【探索：】如图2，在与中，，，将绕点旋转，使点落在边上，请探索线段，，之间满足的数量关系，并证明你的结论．
【应用：】如图3，在四边形中，，若，，求的长．
【答案】【问题】结论：，证明见解析部分
【探索】结论：，证明见解析部分
【应用】6
【解析】
【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质解答；
（2）连接，根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理计算即可；
（3）过点作，使，连接，，证明，得到，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：（1）结论：，
理由如下：
，
，即，
在和中，
，
，
，
故答案为：；
（2）结论：，
理由如下：
连接，如图所示：
中，，，则，
由（1）得，，
，，
，
，
在中，，又，
；
（3）过点作，使，连接，，如图所示：
即在中，，，则，
，
∴，
在与中，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．