江苏省南京市浦口区浦口区桥林中学2024年九年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题
1. 下列图形中不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．
【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
2. 下列代数式中中，单项式（ ）
A 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】根据单项式的概念即可求解．
【详解】解：代数式中中，单项式共4个．
故选：D
【点睛】本题主要考查单项式的概念，掌握数字和字母或字母和字母的积，叫做单项式，是解题的关键．
3. 随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件件，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，根据人数=投递快递总数量÷人均投递数量，结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，
根据快递公司的快递员人数不变列出方程，得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
4. 一花户，有26m长的篱笆，要围成一边靠住房墙（墙长12m）的面积为的长方形花园，且垂直于住房墙的一边留一个1m的门，设垂直于住房墙的其中一边长为x，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】与墙垂直的一边长为x m，则与墙平行的一边长为m，根据花圃面积为即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设与墙垂直的一边长为x m，则与墙平行的一边的长为m，
根据题意得：．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据花圃的面积列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
5. 如下图，等于（ ）
A 90°B. 120°C. 180°D. 360°
【答案】C
【解析】
【分析】延长BE交AC于点G，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得，，再根据三角形内角和为180°即可求出．
【详解】延长BE，交AC于点G，如图，
∵，，
∴
故选 C
【点睛】本题考查了三角形的角，熟练掌握三角形的外角的性质与内角和定理是解题的关键．
6. 如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）
A. B. C. 2D. 2
【答案】D
【解析】
【详解】【分析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．
【详解】过A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD=1，AD=BD=，
∴△ABC的面积为BC•AD==，
S扇形BAC==，
∴莱洛三角形的面积S=3×﹣2×=2π﹣2，
故选D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．
二、填空题
7. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反进行求解即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，解决本题的关键是掌握关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
8. 如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若，则的长为___________．

【答案】3
【解析】
【分析】利用全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：由全等三角形的性质得：，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查全等三角形性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键．
9. 如图，，，E，F分别为线段和射线上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发沿射线运动，二者速度之比为3∶7，当点E运动到点A时，两点同时停止运动．在射线AC上取一点G，使与全等，则的长为_____．
【答案】18或70##70或18
【解析】
【分析】设，则，使与全等，由可知，分两种情况：当时，当时，列方程即可求解．
【详解】解：设，则，因为，使与全等，可分两种情况：
情况一：当时，
∵，
∴，
解得：，
∴；
情况二：当时，
∵，
∴，
解得：，
∴，
综上所述，或70．
故答案为：18或70．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想是解答此题的关键．
10. 如图，三等分解仪由两根有槽的棒、组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动．若．则的度数是__________．

【答案】##度
【解析】
【分析】根据等边对等角的性质，得到，，再根据三角形外角的定义，得出，进而求得，即可得到的度数．
【详解】解：，
，，
，
，
，
，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的定义，熟练掌握等腰三角形等边对等角的性质是解题关键．
11. 当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个既不留空隙，又不相互重叠的平面图形，我们称之为镶嵌．用一种或几种正多边形镶嵌平面有多种方案，如：6个正三角形，记作；3个正三角形和两个正方形，记作；请你写出一种同时使用正三角形和正六边形的镶嵌方案 _____．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【详解】正三角形的一个内角度数为60°，正六边形的一个内角度数为120°，那么4个正三角形，一个正六边形能组成镶嵌，记做，
故答案为：（答案不唯一）．
12. 如图，等边中，是边上的中线，且，E，P分别是，上的动点，则的最小值等于 ___ ．
【答案】17
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质和轴对称等知识，作于E，交于P，根据等边三角形的性质得到，求得点B，C关于为对称，得到，根据垂线段最短得出，即可得到结论．
【详解】解：于E，交于P，
∵是等边三角形，是边上的中线，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴点B，C关于为对称，
∴，
根据垂线段最短得出：，即此时的值最小，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
即的最小值为17，
故答案为：17．
13. 如图，中，．将绕点B逆时针旋转得到．若，，则___ ．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键．
由旋转的性质可得，，，可证是等边三角形，可得，由勾股定理可求解．
【详解】解：∵将绕点B逆时针旋转得到，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：5．
14. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去…若点，，则点的坐标是__________．

【答案】
【解析】
【分析】首先根据已知条件三角形的三边长度，然后通过旋转发现，…,根据这个规律可得出点的坐标．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，…,
（为偶数）
∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查旋转的性质和直角三角形的性质，通过给出条件找出题目规律便可求出结果．
15. 如图，已知，，，，，若点P是上的一个动点，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】如图所示作辅助线，先证明，然后得，当与共线时，为最小值，再由勾股定理求即可．
【详解】解：延长至E，使，连接，过P点作于D，如图所示，
垂直平分线段，
，
，
，
，
当与共线时，为最小值，
此时，，
，
，
故的最小值为；
故答案为：．
【点睛】此题考查了垂直平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握这些性质和运用点到直线的距离垂线段最短是解决此题的关键．
16. 阅读材料：在直角三角形中，斜边和两条直角边满足定理：两条直角边的平方和，等于斜边的平方，因此如果已知两条边的长，根据定理就能求出第三边的长，例如：在中，已知，，，由定理得，代入数据计算求得．
请结合上述材料和已学几何知识解答以下问题：
已知：如图，，，，，，点是的中点，那么的长为____________．
【答案】
【解析】
【分析】延长交于点，如图所示，只要证得，根据全等三角形的性质可得，，然后在中，利用勾股定理求得，最后可得．
【详解】解：延长交于点，如图所示，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又∵，，
∴中，，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，根据题意作出适当的辅助线是解题的关键．
三、简答题
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先去括号，再合并同类项，最后把字母的值代入求解即可．
【详解】解：
当时，
原式
【点睛】此题考查了整式的加减中的化简求值，熟练掌握整式的加减法是解题的关键．
18. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【详解】解：
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先进行幂的运算，再合并同类项即可．
【详解】解：
＝
＝．
【点睛】本题考查了幂的运算，解题关键是熟记幂的运算法则，准确进行计算．
20. 如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为，拱高为．
（1）求拱桥的半径；
（2）现有一艘宽、船舱顶部为长方形并高出水面的货船要经过这里，问此货船能顺利通过拱桥吗？
【答案】（1）拱桥的半径是
（2）此货船不能顺利通过这座拱形桥
【解析】
【分析】（1）连接，在中，设半径为，利用勾股定理可以列出方程，解方程即可求出半径；
（2）连接，交于点，交于点D，求出图中的长度，然后与作比较即可．
【小问1详解】
解：如图：连接，
设圆的半径为，则，
则，，，
又，
，
在中，根据勾股定理得：
，
解得：，
即：拱桥的半径是；
小问2详解】
解：如图：连接，交于点，交于点D，
则，，
，
当时，，则
，
解得(负值舍去)，
，
，
此货船不能顺利通过这座拱形桥．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，关键是作出适当的图形，灵活运用垂径定理解答．
21. 如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子（图中所有的点、线都在同一平面内）求证：；
【答案】见解析
【解析】
【分析】由和是等腰直角三角形可证明，再由是的一个外角得，根据相似三角形的判定定理可得结论．
【详解】∵和是等腰直角三角形，
∴
∴
∵是的一个外角，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，证明是解答本题的关键．
22. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为．其对称轴与线段交于点，与轴交于点．连接，，已知．
（1）求的值；
（2）求的正切值；
（3）若点在线段上，且，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用，求出点坐标，再将点代入中，即可求的值；
（2）连接，利用勾股定理判断出，再求；
（3）过点作交于点，利用等积法，求出，再由，求出，设，根据，解出的值即可求点的坐标．
【小问1详解】
解：令，则，
，
，
，
，
，
，
将点代入中，
，解得；
【小问2详解】
解：，
，
令，则，解得或，
，
连接，如图所示：
，，，
，，，
，
，
；
【小问3详解】
解：过点作于点，如图所示：
，，，
，，，
，
，解得，
，，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，解得，
，
设，
，解得或，
当点在点下方时，是钝角，则不合题意，舍去，
．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的三角函数值，勾股定理是解题的关键．
23. 如图，抛物线经过点A（，0），B（4，0），与y轴交于点C，连接BC，AC，对称轴l与BC交于点D，连接AD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在一点P，使得？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）E是对称轴l上一点，F是抛物线上一点，若以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点F的坐标．
【答案】（1）
（2）和
（3）和
【解析】
【分析】（1）将A、B两点的坐标代入抛物线方程，构建方程组即可求解；
（2）第一步根据已知条件，求出P点满足条件时，，再得出，题目寻找满足条件的P点的问题实则转化为：在△ABD中，固定线段BD，拖拽A点，使A点以抛物线为轨迹，能否再构造出面积与△ABD相等的新△PBD的问题．问题转化后，再逐个象限的来讨论．若P点在第一象限，所能构造的三角形△PBD的最大面积为，所以第一象限不存在满足条件的P点；若P点在第二象限或第三象限，所构造的△PBD的面积要么大于，要么小于，均不满足条件，若P点在第四象限，所能构造的三角形△PBD的面积最小为0，最大为无穷大，故肯定能找到一个点满足，再作图求出P点坐标，再加上A点坐标，即问题得解；
（3）根据题意构造的平行四边形可能是平行四边形ACFE也可能是平行四边形ACEF，分两种情况讨论．当平行四边形可能是平行四边形ACFE时，可知，，设抛物线上F点坐标为，根据已知的E点横坐标，再利用平行四边形两条对角线AF、CE的交点也分别是两条对角线的中点的知识，根据中点坐标公式即可求解此时得F点坐标；同理当构造的平行四边形可能是平行四边形ACEF时，采用中点坐标公式亦可求出F点坐标，综上所述，存在满足条件的F点有两个．
【小问1详解】
∵抛物线过点轴、两点，
∴将A、B两点的坐标代入抛物线方程，可构建方程组如下：
，
解得：，
则抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
如图，对称轴l交x轴于M点，抛物线顶点为N，
根据（1）中所得抛物线解析式为：，
∵化为顶点式为：，并有C点坐标为，顶点N的坐标为，
∴对称轴l的解析式为，
∴M点的坐标为，
通过B、C两点的坐标易得直线BC的解析式为：，
则联立：，可得D点坐标为，
由图可知，
∵，
∴，
又∵，
∴，
则有，
因此可知当P点与A点重合是满足要求，但显然P不只点A一个点，
以△ABD为参照物，则分象限来讨论P点的位置：
当P点在第三象限时，构造其面积易证明有，
∴第三象限不存在满足条件P点；
当P点在第二象限时，构造的其面积易证明有，
∴第二象限不存在满足条件的P点；
当P点在第一象限时，作直线BD的平行线l2，且与抛物线相切，切点为S，过S作SG⊥l，交l于G点，
已知：BC的解析式为：，可设直线l2设的解析式为：
∵直线l2与抛物线相切，
∴有唯一解，
上述方程变形得：，可知当d=4时，方程有唯一解，且x=2，
则直线l2设的解析式为：，
即切点S坐标为，
当P点与S点重合时，构造的其面积值最大且为：
，
即：，
∴第一象限不存在满足条件的P点；
当P点在第四象限时，如图，设P点坐标为且、，过P点PQ垂直对称轴l，垂足为Q点，链接PD、PB，
则有：，
∴
∴，
又∵、，
∴简化有：，
若P点满足要求则有：，即，
联立：，解得，
综上：P点坐标为：和；
【小问3详解】
分两种情况讨论：
第一种情况：构造的平行四边形可能是平行四边形ACFE，
如图所示，四边形ACFE是平行四边形，设抛物线上F点坐标为，链接CF、EF、AE，
∵四边形ACFE是平行四边形，
∴，，
通过（1）抛物线方程易得C点坐标：，
根据A、C的坐标易求得直线AC的解析式为：，
∵直线AC和直线EF的斜率相等，
∴设EF的解析式为：，
∵E点在对称轴l上，
∴E点坐标为：，
∵根据平行四边形两条对角线AF、CE的交点也分别是两条对角线的中点，
∴根据中点坐标公式，
有：，解得，
则，
此时F点坐标为；
第二种情况：构造的平行四边形可能是平行四边形ACEF，
∵四边形ACEF是平行四边形，
∴，，
同理，设抛物线上F点坐标为，链接CE、EF、AF，
通过（1）抛物线方程易得C点坐标为：，
根据A、C的坐标易求得直线AC的解析式为：，
∵直线AC和直线EF的斜率相等，
∴设EF的解析式为：，
∵E点在对称轴l上，
∴E点坐标为：，
∵根据平行四边形两条对角线AE、CF的交点也分别是两条对角线的中点，
∴根据中点坐标公式，
有：，解得，
则，
此时F点坐标为；
将综上两种情况：F点坐标为、．
【点睛】本题是一道二次函数综合题，着重考查了坐标系中抛物线方程、一次函数等知识点．熟练综合运用二次函数、一次函数的性质是解答本题的关键．