江苏省连云港市连云区东港中学2023-2024年七年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 如图所示的图案分别是奔驰、奥迪、大众、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．根据平移不改变图形的形状和大小，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是B．
【详解】解：A、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意；
B、图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，故符合题意；
C、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意；
D、图形平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意．
故选：B．
2. 科学家测得新冠病毒的直径为cm，该数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：；
故选：D．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 与不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. 与不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，掌握以上运算法则是解题的关键．
4. 如图，，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平角求出，再根据平行线的性质求出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选A．
【点睛】本题运用了平行线性质和平角的性质，比较简单．
5. 若，，则a与b的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 以上都不对
【答案】B
【解析】
【分析】首先将得出，，进而求出、的大小关系．
【详解】解：，，
，，
，
．
故选：B
【点睛】此题主要考查了幂的乘方，正确将原式变形为次数相同的两数是解题关键．
6. 在中，画出边上的高，画法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了画三角形的高，从三角形的一个顶点，向对边作垂线，顶点到垂足之间的线段，叫做三角形的高线，据此求解即可．
【详解】解：根据三角形高线的定义，边上的高是过点B向作垂线垂足为E，纵观各图形，选项A、B、D都不符合边上的高线的定义，选项C符合边上的高线的定义，
故选C．
7. 如图，在七边形中，、的延长线交于点O，若、、、的外角和等于，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据多边形的外角和是，由、、、的外角和等于，可求得的外角，即可根据邻补角的定义求得．
【详解】解：∵、、、的外角和等于，五边形的外角和为，
∴的外角为 ，
∴＝，
故选：A．
【点睛】本题主要考查多边形的外角和，利用内角和外角的关系求得、、、的外角和，进而求得的外角度数是解题的关键．
8. 如图，将纸片沿折叠使点A落在点处，且平分平分，若，则的大小为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得，那么．如图，连接．根据三角形外角的性质，得，那么．欲求，需求，由三角形内角和定理得．由平分平分，得，那么，由，得，从而解决此题．
【详解】解：如图，连接．
平分平分
由题意得：．
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、角平分线的定义、图形折叠的性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和定理、角平分线的定义、图形折叠的性质，三角形外角的性质是解决本题的关键．
二、填空题（每题3分，共24分）
9. 八边形的内角和为________度．
【答案】1080
【解析】
【详解】解：八边形的内角和=，
故答案为：1080．
10. 一个承重架的结构如图所示，如果∠1＝155°，那么∠2＝____________°．
【答案】65
【解析】
【详解】解：根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答．
∵∠1=155°，∠2+90°=∠1，
∴∠2=155°-90°=65°．
故答案为：
11. 已知一个三角形的两边长分别是2cm和5cm，且第三边长是偶数，则此三角形的周长是______cm．
【答案】13或11##11或13
【解析】
【分析】本题从边的方面考查三角形形成的条件，利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而就可以求出第三边的长，从而求得三角形的周长．
【详解】解：设第三边为acm，根据三角形的三边关系可得：5-2＜a＜5+2．
即：3＜a＜7，
由于第三边的长为偶数，
则a可以为4cm或6cm．
∴三角形的周长是 2+5+6=13cm或2+5+4=11cm．
故答案为：13或11．
【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
12. 如图，∥，,，则的度数等于_______．
【答案】40°
【解析】
【分析】首先根据平行线性质得到∠EFG的度数，然后利用直角三角形两锐角互余求得∠E的度数即可．
【详解】解：∵∠A=50°，AB∥CD，
∴∠EFG=50°，
∵EG⊥AB，
∴∠E=90°-∠EFG=90°-50°=40°，
故答案为：40°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是首先根据平行线的性质求得∠EFG的度数，难度不大．
13. 若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是_______．
【答案】9
【解析】
【分析】此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数．首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．
【详解】∵正多边形的一个内角是140°，
∴它的一个外角是：180°-140°=40°，
∵多边形的外角和为360°，
∴这个正多边形的边数是：360°÷40°=9．
故答案为：9．
14. 三角形的三边长为2，a，5，如果这个三角形中有两条边相等，那么它的周长是____.
【答案】12
【解析】
【分析】分两种情况，当a=2时，不能构成三角形；当a=5时，5+5+2=12求出周长．
【详解】解：分两种情况，
当a=2时，由2+2<5，故不能构成三角形；
当a=5时，5+2>5，能构成三角形，故三角形周长=5+5+2=12，
故答案为：12．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟记三角形三边关系及等腰三角形性质是解题的关键．
15. 一副三角板如图所示摆放，则∠与∠的数量关系为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据四边形内角和等于得到，再根据对顶角相等解答即可．
【详解】解：在四边形中，，
，，
，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是四边形内角和、对顶角的性质，熟记四边形内角和等于360°是解题的关键．
16. 在计算(、均为常数)的值，在把，的值代入计算时，粗心的小明把的值看错了，其结果等于，细心的小红把正确的，的值代入计算，结果恰好也是，为了探个究竟，小红又把的值随机地换成了，结果竟然还是，根据以上情况，探究其中的奥妙，计算________．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知，原式的值与y的取值无关，化简后令相关项的系数为0，即可解得答案．
【详解】解：
，
根据已知，原式的值与的取值无关，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查整式的化简求值，解题的关键是读懂题意，列出关于m，n的方程．
三、解答题（共96分）
17. 画图并填空：
如图，12×10的方格纸，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在方格纸的格点上，将按照某方向经过一次平移后得到，图中标出了点C的对应点．
（1）请画出；
（2）连接，，则这两条线段的关系是 ；
（3）利用方格纸，在中画出边上的中线以及边上的高；
（4）线段在平移过程中扫过区域的面积为 ．
【答案】（1）见解析 （2）平行且相等
（3）见解析 （4）20
【解析】
【分析】（1）利用点C和的位置确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出A、B的对应点，即可；
（2）根据平移的性质进行判断；
（3）利用网格特点和三角形的中线、高的定义作图；
（4）根据正方形的面积减去两个直角三角形的面积即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图，为所作；
【小问2详解】
与的关系是平行且相等；
故答案为：平行且相等
【小问3详解】
如图，、为所作；
【小问4详解】
线段在平移过程中扫过区域的面积．
故答案为：20
【点睛】本题考查了作图﹣平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形，还考查了平移的性质、正方形的面积和直角三角形的面积等知识．
18. 完成下面的证明过程．
已知：如图，点E、F分别AB、CD上，AD分别交EC、BF于点H、G，∠1＝∠2，∠B＝∠C．求证∠A＝∠D．
证明：∵∠1＝∠2（已知），
∠2＝∠AGB（ ），
∴∠1＝ ．
∴EC∥BF（ ）．
∴∠B＝∠AEC（ ）．
又∵∠B＝∠C（已知），
∴∠AEC＝ ．
∴ （ ）．
∴∠A＝∠D（ ）．
【答案】对顶角相等；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】
【分析】求出∠1=∠AGB，根据平行线的判定得出EC∥BF，根据平行线的性质得出∠B=∠AEC，求出∠AEC=∠C，根据平行线的判定得出AB∥CD即可证明．
【详解】证明：∵∠1＝∠2(已知)，
∠2＝∠AGB( 对顶角相等 )，
∴∠1＝ ∠AGB ．
∴EC∥BF( 同位角相等，两直线平行 )．
∴∠B＝∠AEC( 两直线平行，同位角相等 )．
又∵∠B＝∠C(已知)，
∴∠AEC＝ ∠C ．
∴ AB∥CD ( 内错角相等，两直线平行 )．
∴∠A＝∠D( 两直线平行，内错角相等 )．
【点睛】考查平行线的判定与性质，掌握平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
19. 如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、BC上，且DE∥AC，∠1=∠2．
（1）求证：AF∥BC；
（2）若AC平分∠BAF，∠B=50°，求∠1的度数．
【答案】（1）见解析 （2）65°
【解析】
【分析】（1）只要证明∠C=∠2即可解决问题．
（2）证明∠BAC=∠2=∠C=∠1，即可解决问题．
【小问1详解】
证明：∵DE∥AC，
∴∠1=∠C，
∵∠1=∠2，
∴∠C=∠2，
∴AF∥BC．
【小问2详解】
解：∵CA平分∠BAF，
∴∠BAC=∠2=∠C=∠1，
∵∠B=50°，
∴∠BAC=∠C=65°，
∴∠1=65°．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20. 如图，AD是的外角∠CAE的平分线，∠B=30°，∠DAE=55°，
试求：(1)∠D的度数；
(2 )∠ACD的度数.
【答案】∠D为25°，∠ACD为100°．
【解析】
【分析】（1）根据三角形外角的性质求出∠D的度数；
（2）由AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，可得∠CAD=∠DAE=55°，再根据三角形内角和定理求出∠ACD的度数．
【详解】解：（1）由三角形外角的性质得：；
（2）∵AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，
∴∠CAD=∠DAE=55°，
∴．
【点睛】本题考查的是三角形外角的性质及角平分线的定义，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
21. 如图，在中，点D，E分别在上，点G，F在CB上，连接．，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）求出，根据平行线的判定定理得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定定理得出即可；
（2）根据平行线的性质得出，，根据求出，再求出答案即可．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能熟练掌握平行线的性质和判定定理是解此题的关键．
22. 如果，那么我们规定，例如：因为，所以
（1）根据上述规定，填空：
， ， ；
（2）记．求证：．
【答案】（1）3，0，
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据规定求解即可；
（2）根据规定，得到，进而得到，即可得证．
【小问1详解】
解∵
∴，，，
故答案为：3，0，；
【小问2详解】
解：由题意，得：，
∵，
∴．
【点睛】本题考查零指数幂，负整数指数幂，同底数幂乘法．理解并掌握题干中的规定，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
23. 先阅读材料，再解答问题：
例：已知x＝123456789×123456786，y＝123456788×123456787，试比较x、y的大小．
解：设123456788＝a，则x＝(a＋1)(a－2)＝，y ＝a(a－1)＝，
∵x－y＝＝－2，
∴x＜y．
问题：已知x＝20182018×20182022－20182019×20182021，y＝20182019×20182023－20182020×20182022，试比较x、y的大小．
【答案】
【解析】
【分析】设，分别求出与的值，比较即可．
【详解】解：设，
，，
则．
【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则，并能用利用进行化简计算是解本题的关键．
24. 【知识生成】我们知道，用两种不同的方法计算同一个几何图形的面积，可以得到一些代数恒等式.
例如：如图可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
（1）根据如图，写出一个代数恒等式：
；
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c=12，，
则 ；
（3）小明同学用如图中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为(2a+b)(a+3b)的长方形，则x＋y＋z = ；

【知识迁移】（4）类似地，用两种不同的方法计算几何体的体积同样可以得到一些代数恒等式．如图表示的是一个边长为x的正方体挖去一个边长为2的小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据如图中两个图形的变化关系，写出一个代数恒等式．
【答案】（1）；（2） 90；（3） 12；（4）．
【解析】
【分析】（1）依据正方形的面积；正方形的面积，可得等式；
（2）依据，进行计算即可；
（3）依据所拼图形的面积为：，而，即可得到x，y，z的值．
（4）根据原几何体体积=新几何体的体积，列式可得结论．
【详解】（1）由图2得：正方形的面积；正方形的面积，
∴，
故答案为；
（2）∵，
∵，
∴，
∴，
故答案为90；
（3）由题意得：，
∴，
∴，
∴，
故答案为12；
（4）∵原几何体的体积，新几何体的体积，
∴．
故答案为．
【点睛】考查的是整式的混合运算，利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积或面积，然后根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键．
25. 【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点．
（1）①如图1，中，，则的三条高所在的直线交于点 ；
②如图2，中，，已知两条高，，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出的第三条高．（不写面法，保留作图痕迹）．
【综合应用】
（2）如图3，在中，，平分，过点作于点．
①若，则 ；
②请写出与，之间的数量关系 ；
【拓展延伸】
（3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则他们的面积比等于对应底边的比．如图，是上一点，则有．如图，中，M是上一点＝，N是的中点，若三角形的面积是m，请直接写出四边形的面积 ．（用含的代数式表示）
【答案】（1）①；②见解析；（2）①；②；（3）
【解析】
【分析】（1）①由直角三角形三条高的定义即可得出结论；
②分别延长，，两者交于，连接交的延长线于，即为所求；
（2）①由三角形内角和定理和角平分线的定义可以得出，再由直角三角形的性质得，即可求解；
②由三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可；
（3）连接，由中线的性质得，同理：，设，，再求出，，利用面积关系求解即可.
【详解】解：（1）①直角三角形三条高的交点为直角顶点，，
的三条高所在直线交于点，
故答案为：；
②如图，分别延长，，两者交于，连接交的延长线于，即为所求；
（2）①，，
，
平分，
，
，
，
，
，
故答案为：；
②与，之间的数量关系为：
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）连接，如图所示：
是的中点，
，
，
同理：，
设，
的面积是，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
即：，
解得： ，
，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了三角形的高，三角形的中线，三角形内角和，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
26. 【感悟数学方法】
已知：，．
（1）计算：；
（2）若的值与字母的取值无关，求的值．
【解决实际问题】请利用上述问题中的数学方法解决下面问题：
新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩．已知甲型号口罩每箱进价为800元，乙型号口罩每箱进价为600元．该医药公司根据疫情，决定购进两种口罩共20箱，有多种购进方案，现销售一箱甲型口罩，利润率为45%，乙型口罩的售价为每箱1000元．而且为了及时控制疫情，公司决定每售出一箱乙型口罩，返还顾客现金元，甲型口罩售价不变，要使不同方案所购进的口罩全部售出后经销商最终获利相同，求的值．
【答案】感悟数学方法：（1）；（2）；解决实际问题：．
【解析】
【分析】感悟数学方法：（1）将A、B的值代入计算整式的加减即可得；
（2）根据“值与字母的取值无关”建立方程，再解方程即可得；
解决实际问题：设经销商购进甲型口罩箱，从而可得购进乙型口罩箱，再根据题意列出利润的表达式，然后参照（2）的方法求解即可得．
【详解】感悟数学方法：（1），，
，
，
；
（2），
的值与字母的取值无关，
，
解得；
解决实际问题：设经销商购进甲型口罩箱，则购进乙型口罩箱，
则经销商的利润为，
，
，
要使不同方案所购进的口罩全部售出后经销商最终获利相同，
则，
解得．
【点睛】本题考查了整式乘法与加减法的应用、以及无关型问题、一元一次方程的应用，正确列出利润的表达式是解题关键．