2024江西省八所重点中学高三下学期4月联考数学试卷

这是一份2024江西省八所重点中学高三下学期4月联考数学试卷，共9页。试卷主要包含了已知集合，集合，则，已知，，，则，我国著名科幻作家刘慈欣的小说，已知函数；满足等内容，欢迎下载使用。

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡-并交回．
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，集合，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．已知是正项等比数列的前项和，且，，则（ ）
A．212B．168C．121D．163
4．复数在复平面内对应的点为，为坐标原点，将向量绕点逆时针旋转后得到向量，点对应复数为，则（ ）
A．B．C．D．
5．函数有且只有一个零点，则的取值可以是（ ）
A．2B．1C．3D．
6．已知正四棱锥，现有五种颜色可供选择，要求给每个顶点涂色，每个顶点只涂一种颜色，且同一条棱上的两个顶点不同色，则不同的涂色方法有（ ）
A．240B．420C．336D．120
7．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．我国著名科幻作家刘慈欣的小说（三体II·黑暗森林）中的“水滴”是三体文明使用新型材料—强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似，某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气—液两相界面的切线与液—固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液—固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为，，则（ ）
A．B．
C．D．和的大小关系无法确定
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题会出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．
9．已知随机变量X、Y，且的分布列如下：
若，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数；满足：，恒成立，且在上有且仅有2个零点，则（ ）
A．周期为
B．函数在区间上单调递增
C．函数的一条对称轴为
D．函数的对称中心为
11．在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱，的中点，过点的平面与平面平行，点为线段上的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若点为平面内任意一点，则的最小值为
C．底面半径为且高为的圆柱可以在该正方体内任意转动
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题6分共16分．把答案填在答题卡中的横线上．
12．展开式中项系数为___________．
13．在三角形中、，角刚平分能交于点，若，则三角形面积的最大值为___________．
14．已知函数，存在实数使得成立，若正整数的最大值为8，则正实数的取值范围是___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，
15．（13分）数列满足，，，．
（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）求正整数，使得．
16．（15分）三棱柱中，，，侧面为矩形，，三棱锥的体积为．
（1）求侧棱的长；
（2）侧棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．
17．（15分）在平面直角坐标系中，，直线，动点在直线上，过点作直线的垂线，与线段的中垂线交于点．
（1）求点的轨迹的方程
（2）经过曲线上一点作一条倾斜角为的直线，与曲线交于两个不同的点Q，R，求的取值范围．
18．（17分）一次摸奖活动，选手在连续摸奖时，首次中奖得1分，并规定：若连续中奖，则第一次中奖得1分，下一次中奖的得分是上一次得分的两倍：若某次未中奖，则该次得0分，且下一次中奖得1分．已知某同学连续摸奖次，总得分为，每次中奖的概率为，且每次摸奖相互独立．
（1）当时，求的概率；
（2）当时，求的概率分布列和数学期望；
（3）当时，判断的数学期望与10的大小，并说明理由．
19．（17分）已知函数，恒成立．
（1）求实数的值；
（2）若关于的方程在上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；
（3）数列满足：，，若数列中有无穷个不同的项，求整数的值．
参考答案
12．13．314．
15．【详解】：（1）、由已知条件可知，由于，
故，，
故数列是以1为公差的等差数列，
即．
（2）、
由，得．
16．【详解】：（1）过A在平面内作，垂足为，
侧面为矩形，，又，
平面，平面，平面平面，
平面，平面，
三棱锥的体积为，，
，，
，，；
（2）存在满足题意，．
理由如下：如图，以分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设，，则，
，，．
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
解得，存在满足题意，．
17．【详解】（1）由图可得，所以点的轨迹是以为焦点的抛物线，
故点的轨迹的方程为；
（2）设，则直线的方程为，代入曲线的方程得，．
化简可得：①，
由于与交于两个不同的点，故关于的方程①的判别式为正，计算得，
，
因此有，②
设Q，R的模坐标分别为，，
由①知，，，
因此，结合的倾斜角为可知，
，③
由②可知，，故，
从而由③得：．
注1：利用的圆心到的距离小于的半径，列出不等式，
同样可以求得②中的范围．
注2：更简便的计算的方式是利用圆幂定理，
事实上，的圆心为，半径为，
故．
18．【详解】（1）摸奖5次得分为3分，有如下两种情形：
情形一，恰好两次中奖，且两次相邻；
情形二，恰好三次中奖，且任意两次都不相邻．
情形一发生的概率为．
情形二发生概率为，
所以；
（2）的可能取值为0，1，2，3，7，其中
，，
，，
所以的概率分布列为
所以．
（3）．理由如下：
记该同学摸奖30次中奖次数为，则．
若每次中奖都得1分，则得分的期望为．
由题中比赛规则可知连续中奖时，得分翻倍，
故实际总得分的期望必大于每次都得1分的数学期望．
所以．
19．【详解】（1），因为恒成立，且，
所以是极大值点，即．解得．
验证当时符合题意．
（2）由（1）知，所以原方程变形为．
令，于是，原方程在上有两个不相等的实数根，
等价于直线与曲线在上有两个交点．
因为，所以当时，，
当时，，所以，．
因为，，所以，，
而，所以，即，
所以的取值范围为．
（3）因为恒成立，即恒成立．
所以，当且仅当时取等号．
若，则，
所以数列从第二项起单调递增，故数列有无穷个不同的项，满足题意．
因此只需且即可．
且等价于且
令，，
易知在上递增，，
所以在上递减，在上递增，
又，，，，，
综上，或．
X
1
2
3
4
5
P
m
n
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
A
C
C
B
B
A
A
AC
BCD
ACD
X
0
1
2
3
7
P