2024河南省名校联盟高三下学期3月教学质量检测试题数学含解析

这是一份2024河南省名校联盟高三下学期3月教学质量检测试题数学含解析，共14页。试卷主要包含了给出下列四个命题，下列说法正确的是，65x+3等内容，欢迎下载使用。

(考试时间：120分钟 试卷满分:150分)
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.已知集合 A=x|x−2x+30},则 CRA=
A.{x|−3≤x≤2} B.{x|−2 C.{x|x<−2,或x>3} D.{x|x<−3,或x>2}
2.设复数z满足 2−z1+z=i,则 z⋅z=
A.102 B.10 c. 52 D.5
3.已知向量a，b满足 |a|=1,|b|=2,a⋅b=22, 则|a+2b|=
A.9−2 B.9+2 C.9+22 D.1+22
4.设 fx=x3+lg2x+x2+1,则对任意实数a,b,a+b≤0是f(a) +f(b)≤0的
A.充分必要条件 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知点 M在曲线 y²=4x上，过M作圆 C:x−3²+y²=1的切线，切点分别为A，B，则四边形MACB的面积的最小值为
A.2 2 B. 7 C.3 D.9
6.过三棱柱任意两个顶点的直线中，其中异面直线有( )对
A.15 B.24 C.36 D.54
7.若 sinα+βsinα−β=14,则cs2α-cs2β=
A. 14 B.−14 C. 12 D.−12
8.给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两个平面互相平行；③若直线l₁，l₂与同一平面所成的角相等，则l₁，l₂互相平行；④若直线l₁，l₂是异面直线，则与l₁，l₂都相交的两条直线是异面直线.其中真命题的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. )
9.下列说法正确的是
A.在经验回归方程 y=−0.65x+3.6中，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量y平均减少3.6个单位
B.在经验回归方程 y=−0.65x+3.6中,相对于样本点(1,2.8)的残差为-0.15
C.在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越宽，其模型的拟合效果越差
D.若两个变量的决定系数R² 越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好
10.已知等差数列{an}的首项为1，公差为d(d∈N*)，若61 是该数列中的一项，则公差d可能的值是
A.4 B.5 C.6 D.7
11.函数f(x) =sinωx(ω>0)在区间| −π2π2上为单调函数，且图象关于直线 x=2π3对称，则
A.将函数f(x)的图象向左平移⁴π/3个单位长度，所得图象关于原点对称
B.函数f(x)在[2π,⁸π/₃]上单调递增
C.若函数f(x)在区间( a14π9上没有最小值，则实数a的取值范围是( −2π914π9
D.若函数f(x)在区间( a14π9上有且仅有2个零点，则实数a的取值范围是( −4π30
12.函数f(x)是定义域为R的非常值函数,且f(2x-1)的图象关于点(1,0)对称,函数y=f(x-1)关于直线x=3 对称，则下列说法正确的是
A. f(x)为奇函数 B. f(x+4)=f(x)
C. f(4+x)=f(−x) D. f(1−x) = −f(x)
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)
13.已知抛物线 C:x²=4y的焦点为F，过P(4，4)作C的准线的垂线，垂足为M，FM 的中点为N，则直线PN的斜率为 .
14. 直三棱柱 ABC−A₁B₁C₁的各顶点都在同一球面上，若 AB=1,AC=AA₁=2,∠BAC=120°,则此球的表面积等于 .
15.对任意闭区间I,用M, 表示函数 y = csx 在I上的最大值,若正实数 a 满足 M0a=2M[。,2a],则a的值为 .
16.已知双曲线 :x2a2−y2b2=1a0,b>0)的右焦点为 F，过 F 作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A，B 两点，且 OA⋅AF=0,BF=3AF,则该双曲线的离心率为 .
四、解答题(本大题共6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分10分)
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, BA⋅BC=−32,csB=−14,b=4.求:
(1)a和c的值;
(2) sin(A-C)的值.
18.(本小题满分12分)
已知数列{an}满足 a₁=3,aₙ₊₁=3aₙ−2n+1.
(1)求证: aₙ−n为等比数列；
(2)数列 aₙ−n的前n项和为Sn，求数列 an+1−n−1SnSn+1的前n项和 Tn.
19.(本小题满分12分)
在四棱锥P-ABCD中,平面 PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,O为AD中点, PA=PD=5,AD=AB=2CD=2.
(1)求证:平面 POB⊥平面 PAC;
(2)求平面 PAB 与平面 PBC 的夹角的余弦值.
20.(本小题满分12分)
某市质监部门根据质量管理考核指标对本地的500 家食品生产企业进行考核，通过随机抽样抽取其中的50家，统计其考核成绩(单位：分)，并制成如下频率分布直方图.
(1)求这50家食品生产企业考核成绩的平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)及中位数a(精确到0.01);
(2)该市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会，并从这 50 家食品生产企业中随机抽取5 家考核成绩不低于88分的企业发言，记抽到的企业中考核成绩在[96，100]的企业数为 Y，求 Y的分布列与数学期望；
(3)若该市食品生产企业的考核成绩X服从正态分布， Nμσ²,其中μ近似为50 家食品生产企业考核成绩的平均数x，σ²近似为样本方差s²，经计算得 s²=27.68,，利用该正态分布，估计该市500 家食品生产企业质量管理考核成绩高于95.32分的有多少家?(结果保留整数).
附参考数据与公式： 27.68≈5.26,X∼Nμσ2,则 Pμ−σ≤X≤μ+σ≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.
21.(本小题满分12分)
设函数 fx=xsinx+csx−12ax2.
(1)当a=0时,求曲线f(x)在x=π处的切线方程;
(2)当 a>13时，求证：f(x)有且仅有两个零点.
22.(本小题满分12分)
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1ab>0)的右焦点为 F(1，0)，且经过点 P−1−32.
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)已知直线l的方程x=4，过点 F的直线(不与x轴重合)与椭圆C相交于A，B 两点，过点A 作 AD⊥l,垂足为 D.
①求证：直线BD 过定点 E，并求出定点E 的坐标；
②点 O为坐标原点，求△OBD 面积的最大值.
高三数学参考答案
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共 40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. )
1. A
【解析】或x<-3}, 则 CRA=x|−3≤x≤2, 故选 A.
2. C
【解析】因为 2−z1+z=i,所以 z=2−i1+i=12−32i,z=12+32i, 即 z⋅z=52, 故选 C.
3. C
【解析】因为 |a|=1,|b|=2,a⋅b=22, 所以 |a+2b|2=a2+4a⋅b+4b2=9+22, |a+2b|=9+22,故选 C.
4. A
【解析】因为 fx=x3+lg2x+x2+1为奇函数，且单调递增. 故选 A.
5. B
【解析】M 到圆心C(3,0)的距离| MC|=x−32+y2=x−32+4x=x−12+8,则四边形MACB的面积为 S=2×12⋅|MA|⋅1=|MA|=|MC|2−1≥7, 故选 B.
6. C
【解析】只需找出三棱锥的个数，每个三棱锥中有三对异面直线，以三棱柱的6个顶点为顶点的三棱锥有 12个，所以异面直线有36对，选 C.
7. D
【解析】因为 sinα+βsinα−β=14,所以 sin2αcs2β−cs2αsin2β=14, 1−cs2αcs2β−cs2α1−cs2β=14, 即 cs2β−cs2α=14, 1+cs2β2−1+cs2α2=14,cs2α−cs2β=−12, 所以选 D.
8. A
【解析】垂直于同一直线的两条直线可以相交或异面，所以①为假命题； 垂直于同一平面的两个平面可以相交，所以②为假命题； 若直线l₁，l₂与同一平面所成的角相等，则 l₁,l₂可相交、平行或异面，所以③为假命题； 若直线l₁，l₂是异面直线，则与( l₁,l₂都相交的两条直线可相交，所以④为假命题； 所以选 A.
二、选择题(本题共4小题，每小题5 分，共 20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. )
9. BCD
【解析】对于A，根据经验回归方程，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量y平均减少0.65 个单位，故 A 错误；对于 B，当解释变量x=1时，响应变量 y=2.95,则样本点(1,2.8)的残差为-0.15，故B 正确；对于C，在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越宽，说明拟合精度越低，即拟合效果越差，故C正确； 对于D，由决定系数R²的意义可知，R²越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故 D正确. 选BCD.
10. ABC
【解析】因为61=1+(n-1)d , 所以 n−1d=60,d=60n−1, 因为n和d都为正整数，所以n=16时, d=4,故选项A正确;当d=5时, n=13,故选项B正确; 当d=6时,n=11, 故 C 正确; 当d=7时, n=677,故选项D错误; 故选 ABC.
11. AB
【解析】由题意 −π2≤−π2ω,π2ω≤π2且 2π3⋅ω=kπ+π2,k∈Z,可得 0<ω≤1,ω=3k2+34,k∈Z故当k=0时, ω=34,∴fx=sin34x.对A，函数f(x)的图象向左平移 4π3个单位长度可得 y=sin34x+4π3=sinπ+34x=−sin34x, 故函数图象关于原点对称，故 A 正确； 对 B，当 x∈2π8π3时, 34x∈3π22π, 所以函数 fx=sin34x单调递增, 故 B 正确; 对 C, 当 x∈a14π9时, 34x∈3a47π6,函数f(x)在区间 a14π9上没有最小值，则需 −π2≤3a4<7π6,即 −2π3≤a<14π9,故 C 错误; 对 D, 由 C, 函数 f(x)在区间 a14π9上有且仅有2个零点，则 −π≤3a4<0, 即 −4π3≤a<0, 故 D 错误.故选 AB.
12. BC
【解析】由函数y=f(x-1)关于直线x=3对称,可得函数f(x)关于直线x=2对称, 故选项C正 确; 由 f(2x-1) 的 图 象 关 于 点 (1,0) 对 称 , 可 得 f(2x-1)+f(2(2-x)-1)=0 , 即f(2x-1)+f(3-2x)=0, 以2x代换x,则f(x-1)+f(3-x)=0,所以函数 f(x)关于点(1,0)对称,可得f(x)+f(2-x)=0,即f(2-x)=-f(x),结合 f(x+2)=f(2-x)可得f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),故选项B 正确.所以f(x)是周期函数，且周期为4，其图象不仅关于直线x=2对称还关于点(1，0)对称，所以不关于点(0，0)和 120对称, 所以f(x)不是奇函数, f(x)+f(1-x)≠0, 故选项A, D 错误; 故选 BC.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13. 2
【解析】由题意F(0,1), P在抛物线上,由抛物线定义可得PF=PM,故PN⊥FM.易得M(4,-1), 设直线PN的斜率为k, 则 1−−10−4×k=−1,k=2.
14.403π
【解析】在△ABC中，由余弦定理得 BC2=12+22−2×1×2×−12=7,|BC|=7.设△ABC的外接圆半径为r，由正弦定理得 2r=|BC|sin∠BAC=273,r=73,设三棱柱的外接球半径为R，则 R2=r2+|AA1|22=103,所以此球的表面积等于 403π.
15.π/3或. 56π
【解析】当 a∈0π2时, 2a∈0π,M0a=1,Ma2a=csa, 由 M0a=2Ma2a, 得2csa=1, 此时 a=π3; 当 a∈π2π时, 2a∈π2π,M0a=1,Ma2a=cs2a, 由 M0a=2Ma2a,得2cs2a=1,此时 a=56π;当 a∈π3π2时, 2a∈2π3π,M0a=1, Ma2a=1,由 M0a=2Ma2a,得csa=2,无解,舍去;当 a∈3π2+∞时,2a∈[3π,+∞), M0a=1,Ma2a=1,不合题意. 综上，a的值为π/3或 56π.
16. 3
【解析】双曲线的右焦点为F(c，0)，渐近线方程为 bx±ay=0,OA⋅AF=0,则有OA⊥AF,F 到渐近线的距离 AF=bca2+b2=bcc=b,|OF|=c,|AF|=b,∴|OA|=a,|AB|=2|AF|=2b,则 tan∠AOB=2ba,tan∠FOA=ba,tan2∠FOA=2.ba1−ba2由∠AOB+2∠FOA=π,有tan∠AOB+tan2∠FOB=0, 即 2ba+2.ba1−ba2=0,解得 ba2=2,则有 c2a2=a2+b2a2=3,所以离心率 e=ca=3.
四、解答题(本大题共6小题，共 70分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17. (10分)
解: (1)由 BA⋅BC=−32 得 cacsB=−32. (2分)
又 csB=−14,
∴ac=6. (3分)
由余弦定理及b=4得 a²+c²=13.
由 a2+c2=13ac=6得 a=2c=3, 或 a=3c=2. (5分)
2∵csB=−14,
∴sinB=154. (6分)
当a=2,c=3时, 由正弦定理, 得 sinA=absinB=158,sinC=cbsinB=31516,
(7分)
∴csA=78,csC=1116,
∴sinA−C=sinAcsC−csAsinC=−51564. (8分)
当a=3,c=2时, 由正弦定理, 得 sinA=absinB=31516,sinC=cbsinB=158,
∴csA=1116,csC=78, (9分)
∴sinA−C=sinAcsC−csAsinC=51564.
∴sinA−C=±51564. (10分)
18. (12分)
1∵aₙ₊₁=3aₙ−2n+1,
∴aₙ₊₁−n+1=3aₙ−n. (2分)
又 a₁=3,
∴a₁−1=2, (3分)
∴数列 aₙ−n是以2为首项，3为公比的等比数列. (4分)
(2) 由(1)知, aₙ−n=2⋅3ⁿ⁻¹,aₙ₊₁−n−1=2⋅3ⁿ, (6分)
Sn=2×1−3n1−3=3n−1, (8分)
Sₙ₊₁=3ⁿ⁺¹−1,
an+1−n−1SnSn+1=2×3n3n−13n+1−1=3n+1−1−3n−13n−13n+1−1=13n−1−13n+1−1, (10分)
∴数列 an+1−n−1SnSn+1的前n项和
Tn=13−1−132−1+132−1−133−1+⋯+13n−1−13n+1−1=12−13n+1−1. (12分)
19. (12分)
(1) 证明: 由条件可知, Rt△ADC≅Rt△BAO,
∴∠DAC=∠ABO,
∴∠DAC+∠AOB=∠ABO+∠AOB=90°,
∴AC⊥BO. (2分)
∵PA=PD,且O为AD中点, ∴PO⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD,平面 PAD平面 ABCD=AD, PO⊂平面 PAD, PO⊥AD,
∴PO⊥平面ABCD. (4分)
又∵AC⊂平面ABCD, ∴AC⊥PO.
又∵BO∩PO=O, ∴AC⊥平面POB.
∵AC⊂平面PAC,
∴平面 POB⊥平面 PAC. (6分)
(2)解：以O为空间坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(0, 0, 2), A(1, 0, 0), C(-1, 1, 0), B(1,2,0),
A=10−2,PB=12−2,CB=210 。(8分)
设 n1=xyz为平面PAB的法向量，
由得 x−2z=0x+2y−2z=0, 取 n1=201. (9分)
同理可设，平面 PBC的法向量 n2=x'y'z',
由 n2PB=0nn2CB=0得 x1+2y'−2z'=02x+y'=0, 取 n2=−243. (10分)
∴平面 PAB与平面PBC的夹角的余弦值为 |n1⋅n2||n1||n2|=1145=145145.(12分)
20. (12分)
(1) 这 50家食品生产企业考核成绩的平均数为：
x=74×0.04+78×0.12+82×0.28+86×0.36+90×0.10+94×0.06+98×0.04=84.80 (分),
(2分)
由频率分布直方图得a∈[84, 88]内,
∴0.04+0.12+0.28+0.09×a−84=0.5,
解得中位数a≈84.67 (分) . (4分)
(2) 这50家食品生产企业中考核成绩不低于88分的企业有
50×(0.1+0.06+0.04)=10家,
其中考核成绩在[96, 100]内的企业有50×0.04=2家, (5分)
∴Y 的可能取值为0, 1, 2,
PY=0=C85C105=29,
PY=1=C21C84C105=59,
PY=2=C22C83C105=29, (6分)
∴Y的分布列为：
EY=0×29+1×59+2×29=1. (8分)
(3) 由题意得X~N(84.80,5.26²), (9分)
∴μ+2σ≈84.80+2×5.26=95.32,
∴PXμ+2σ)≈12−0.95452≈0.02275, (10分)
∴500×0.02275=11.375≈11 (家) , (11分)
∴估计该市 500家食品生产企业质量管理考核成绩高于 95.32分的有11家. (12分)
21. (12分)
(1) 当a=0时, f(x)=xsinx+csx,
∴f'x=sinx+xcsx−sinx=xcsx,f'π=−π (2分)
又f(π)=-1,
∴曲线f(x)在x=π处的切线方程为y+1=-π(x-π),
即 y=−πx+π²−1. (4分)
(2) f(x)的定义域为(-∞,+∞).
∴f(x)为偶函数, (5分)
∴f−x=−xsin−x+cs−x−12a−x2=xsinx+csx−12ax2=fx
∵f(0)=1>0,
∴f(x)有且仅有两个零点等价于f(x)在(0，+∞)有且只有一个零点.
∵f'(x)=x(csx-a),
当a≥1时, csx-a≤0, f'(x)≤0恒成立,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递减, (7分)
∵fπ=πsinπ+csπ−12aπ2=−1−12aπ2<0,f0=1>0,
∴f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点. (8分)
当 13可知存在唯 −θ∈0π2,使得csθ=a,
当x∈(0,θ)或x∈(2kπ+2π-θ,2kπ+2π+θ)时, k∈N,f'(x)>0, 函数f(x)单调递增；
当x∈(2kπ+θ,2kπ+2π-θ)时, k∈N, f'(x)<0, 函数f(x)单调递减.
由 tanθ=1a2−1,13当k∈N, 2kπ+2π+θ-tanθ>2(π-√₂),
∴f2kπ+2π+θ=−12a2kπ+2π+θ−tanθ2−1+12a<−162kπ+2π+θ−tanθ2−1+32
=−2kπ+2π+θ−tanθ2−106<0,
∴f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点. (11分)
综上，当 a>13时, f(x)有且仅有两个零点. (12分)
22. (12分)
(1) 由题意可得椭圆的左焦点为 F'(-1,0),
由椭圆定义得 2a=|PF'|+|PF|=1+12+94+1−12+94=4, (2分)
∴a=2,b²=a²−1=3
∴椭圆C的方程为 x24+y23=1. (4分)
(2) 由对称性，若直线BD过定点E，则该定点E必在x轴上，
①设直线AB的方程为x=my+1,
由 x=my+1x24+y23=1, 得 3m²+4y²+6my−9=0. (1) (6分)
设A(x₁,y₁), B(x₂,y₂), D(4,y₁),
∴y1+y2=−6m3m2+4,y1y2=−93m2+4, 且 2my₁y₂=3y₁+y₂. (8分)
∵kBD=y2−y1x2−4,
∴直线BD的方程为 y−y1=y2−y1x2−4x−4,
令y=0, 得 x=4−y1x2−4y2−y1=4−y1my2−3y2−y1=4−my1y2−3y1y2−y1, (2)
将 2my₁y₂=3y₁+y₂代入(2), 则
x=4−32y1+y2−3y1y2−y1=4−32=52,
故直线BD过定点 520,即定点E为 520. (9分)
②在(1) 中, Δ=36m²+363m²+4=144m²+1,
∴|y1−y2|=y1+y22−4y1y2=36m23m2+42+363m2+4=12m2+13m2+4.
又直线 BD过定点 E520,
∴S△OBD=S△OED+S△OEB=12⋅|OE|⋅|y1−y2|=54.12m2+13m2+4=15m2+13m2+4. (10分)
令 t=m2+1≥1,则
S△OBD=15t3t2+1=153t+1t在t∈[1,+∞)上单调递减,
故当t=1, m=0时, S△OBDmax=154. (12分)Y
0
1
2
P
2-9
5─9
NIO