2024年北京西城高三一模数学试题和答案

这是一份2024年北京西城高三一模数学试题和答案，共10页。试卷主要包含了6 t0等内容，欢迎下载使用。

本试卷共 6 页， 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
U B 
（ 1 ） 已知全集U  R ，集合 A  { x | x  3} ， B  { x | 2 ≤ x ≤ 2} ，则 A
( 2,3)
（A） ( 2 , 3)（B） (  ,  2)
[ 2,3)
（C）[ 2 , 3)（D） (  ,  2]
下列函数中，既是偶函数又在区间( 0 ,  ) 上单调递增的是
（A） y  x2  x（B） y  cs x
y  2x
y  lg2 | x |
在 ( x 
2 )6 的展开式中，常数项为
x2
（A） 60（B）15
（C）  60（D） 15
已知抛物线C 与抛物线 y2  4x 关于直线 y  x 对称，则C 的准线方程是
x  1
（C） y  1
x   2
（D） y   2
设 a  t  1 ， b  t  1 ， c  t ( 2  t ) ，其中1  t  0 ，则
tt
b  a  c（B） c  a  b
b  c  a（D） c  b  a
已知向量a , b , c 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1 ，则c  ( a  b ) 
（A） 1
（C） 7
（B）1
7
 x2  x ,
x
已知函数 f (x)  
 2  x  0,
若 f (x) 存在最小值，则c 的最大值为
（A） 1
16
（C） 1
4
 
,0 ≤ x  c.
（B） 1
8
（D） 1
2
0000
在等比数列{an } 中， an 0  0 ．则“ an  an  1 ”是“ an  1  an  3 ”的
充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
关于函数 f (x)  sin x  cs 2x ，给出下列三个命题：
① f (x) 是周期函数；
② 曲线 y  f (x) 关于直线 x  π 对称；
2
③ f (x) 在区间[ 0 , 2π ) 上恰有3 个零点．
其中真命题的个数为
（A） 0（B）1
（C） 2（D） 3
德国心理学家艾•宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”．“遗忘曲线”中记忆率 y 随时间 t （小时）变化的趋势可由函数 y  1  0.6 t0.27 近似描述，则记忆率为50 % 时经过的时间约为
（参考数据： lg 2  0.30 ， lg 3  0.48 ）
2 小时（B） 0.8 小时
（C） 0.5 小时（D） 0.2 小时
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）若复数 z 满足(1  2 i)  z  3  i ，则| z |  ．
（12）已知 ,  (0, π) ．使tan (   )  tan(   ) 成立的一组 ,  的值为  ，
  ．
y2
双曲线 M : x2  1的渐近线方程为；若 M 与圆 O : x2  y2  r 2 (r  0) 交
3
于 A, B, C, D 四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则 r  ．
在数列{an } 中， a  2 , a   3 ．数列{bn } 满足b  a a (n  N* ) ．若{bn } 是公差
12nn1n
为 1 的等差数列，则{bn } 的通项公式为bn  ， an 的最小值为．
如图，正方形 ABCD 和矩形 ABEF 所在的平面互相垂直．点 P 在正方形 ABCD 及其 内部运动，点Q 在矩形 ABEF 及其内部运动．设 AB  2 , AF  1 ，给出下列四个结论：
① 存在点 P, Q ，使 PQ  3 ；
② 存在点 P, Q ，使CQ // EP ；
③ 到直线 AD 和 EF 的距离相等的点 P 有无数个；
④ 若 PA  PE ，则四面体 PAQE
1
体积的最大值为 ．
3
其中所有正确结论的序号是．
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 14 分）
如图，在三棱柱 ABC  A1B1C1 中，侧面 A1 ACC1 为正方形， AB  AC ， AB  AC  2 ，
D 为 BC 的中点．
求证： A1C // 平面 AB1D ；
若 A1C  AB ，求二面角 D  AB1  A1 的余弦值．
（17）（本小题 13 分）
在△ABC 中， a tan B  2b sin A ．
求 B 的大小；
若a  8 ，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在，求△ABC 的面积．条件①： BC 边上中线的长为 21 ；
条件②： cs A  2 ；
3
条件③： b  7 ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
（18）（本小题 13 分）
10 米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一，资格赛比赛规则如下：每位选手采用立姿射击60 发子弹，总环数排名前8 的选手进入决赛．三位选手甲、乙、丙的资格赛成绩如下：
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的射击成绩相互独立．
若丙进入决赛，试判断甲是否进入决赛，说明理由；
若甲、乙各射击 2 次，估计这 4 次射击中出现 2 个“ 9 环”和 2 个“10 环”的概率；
甲、乙、丙各射击10 次，用 Xi (i  1, 2, 3) 分别表示甲、乙、丙的10 次射击中大于a
环的次数，其中a {6 , 7 ,8, 9}．写出一个 a 的值，使 D( X 3 )  D( X 2 )  D( X1 ) ．
（结论不要求证明）
（19）（本小题 15 分）
环数
6 环
7 环
8 环
9 环
10 环
甲的射击频数
1
1
10
24
24
乙的射击频数
3
2
10
30
15
丙的射击频数
2
4
10
18
26
已知椭圆G :
x2y21
 1 ( a  b  0 ) 的一个顶点为 A ( 2 , 0) ，离心率为 ．
a2b22
求椭圆G 的方程；
设O 为原点．直线l 与椭圆G 交于C, D 两点（ C, D 不是椭圆的顶点）， l 与直线 x  2
交于点 E ．直线 AC, AD 分别与直线OE 交于点 M , N ．求证： | OM |  | ON | ．
（20）（本小题 15 分）
已知函数 f (x)  x  ln(ax)  1 xex ．
a
当 a  1 时，求曲线 y  f (x) 在点(1,
当 a  1 时，讨论 f (x) 的单调性；
f (1)) 处切线的斜率；
若集合{ x | f (x) ≥ 1} 有且只有一个元素，求 a 的值．
（21）（本小题 15 分）
对正整数 m ≥ 3, n ≥ 6 ，设数列 A : a1, a2 ,, an ， ai {0,1} (i  1, 2,, n) ． B 是m 行 n 列
的数阵， bij 表示 B 中第i 行第 j 列的数， bij {0,1} (i  1, 2,, m ; j  1, 2,, n ) ，且 B 同时满足下列三个条件：
① 每行恰有三个 1 ；② 每列至少有一个 1 ；③ 任意两行不相同．
 anbin
记集合{ i | a1bi1  a2bi 2 
（Ⅰ）若 A :1,1,1, 0, 0, 0 ， B 
 0 或3, i  1, 2,, m } 中元素的个数为 K ．
 1
1
1
0
0
 1
0
1
1
0
 0
0
0
1
1
0 

0  ，求 K 的值；

1 
若对任意 p, q {1, 2,, n} ( p  q ) ， B 中都恰有r 行满足第 p 列和第q 列的数均为 1 ．
B 能否满足 m  3r ？说明理由；
证明： K ≥
1 (n2  4n) ．
24
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
参考答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
（ 1 ）B
（ 2 ）D
（ 3 ）A
（ 4 ）C
（ 5 ）C
（ 6 ）A
（ 7 ）A
（ 8 ）B
（ 9 ）D
（10）C
2
​
π
3
π （答案不唯一）
3
3
y   3x
（15）①③④
三、解答题（共 6 小题，共 85 分）
（14） n  6
13
（16）（共 14 分）
AB1  E
解：（Ⅰ）连接 A1B ，设 A1B
，连接 DE ．………1 分
因为在三棱柱 ABC  A1B1C1 中，四边形 A1 ABB1 是平行四边形，
所以 E 为 A1B 的中点．………2 分
因为 D 为 BC 的中点，
所以 DE // A1C ．………3 分
又因为 A1C  平面 AB1D ， DE  平面 AB1D ，
所以 A1C // 平面 AB1D ．………5 分
（Ⅱ）因为 AB  A1C ， AB  AC ，
所以 AB  平面 A1 ACC1 ．………6 分所以 AB  AA1 ．
又 AA1  AC ，所以 AB , AC , AA1 两两相互垂直．如图建立空间直角坐标系 A  x yz ．………7 分则 A(0, 0, 0) ， B1 (2, 0, 2) ， D(1,1, 0) ， C(0,2, 0) ．
所以 AB1  (2, 0, 2) ， AD  (1,1, 0) ．
1
m  AB  0,
2x  2z  0,
设平面 AB1 D 的法向量为 m  (x, y, z) ，则m即x  y  0.
 AD  0,
令 x  1 ，则 y  1 ， z 1 ．于是 m  (1,1,1) ．………10 分因为 AC  平面 A1 ABB1 ，
所以 AC  (0, 2, 0) 是平面 A1 ABB1 的一个法向量．………11 分
m  AC
所以 csm, AC  | m || AC | 
3 ．………13 分
3
由题设，二面角 D  AB1  A1 的平面角为钝角，
所以二面角 D  AB  A 的余弦值为 3 ．………14 分
113
（17）（共 13 分）
解：（Ⅰ）由 a tan B  2b sin A ，得 a sin B  2b sin Acs B ．………1 分在△ABC 中，由正弦定理得sin Asin B  2 sin Asin B cs B ． ………3 分因为sin A  0, sin B  0 ，
所以cs B  1 ．………4 分
2
又0   B  π ，………5 分
所以 B  π ．………6 分
3
21
（Ⅱ）选条件①： BC 边上中线的长为 21 ．………7 分设 BC 边中点为 M ，连接 AM ，则 AM ， BM  4 ．
在△ABM 中，由余弦定理得 AM 2  AB2  BM 2  2 AB  BM  cs B ，………9 分
即21  AB2  16  8AB  cs π ．
3
整理得 AB2  4 AB  5  0 ．
解得 AB  5 或 AB  1（舍）．………11 分
所以△ABC 的面积为 S△ABC
 1 AB  BC  sin B  10 2
3
．………13 分
选条件③： b  7 ．………7 分
在△ABC 中，由余弦定理得b2  a2  c2  2ac cs B ，………9 分
即72  82  c2 16c  cs π ．
3
整理得c2  8c  15  0 ．
解得c  3 或c  5 ．………11 分
当c  3 时， △ABC 的面积为 S△ABC
 1 ac sin B  6 3 ．
2
当c  5 时， △ABC 的面积为 S△ABC
 1 ac sin B  10 2
3
．………13 分
（18）（共 13 分）
解：（Ⅰ）甲进入决赛，理由如下：
丙射击成绩的总环数为2  6  4  7  10  8  18  9  26 10  542 ，
甲射击成绩的总环数为1 6  1 7  10  8  24  9  24 10  549 ．
因为549  542 ，所以甲进入决赛．………3 分
根据题中数据，“甲命中9 环”的概率可估计为 24  2 ；
605
“甲命中10 环” 的概率可估计为 24  2 ；
605
“乙命中9 环” 的概率可估计为 30  1 ；
602
“乙命中10 环” 的概率可估计为 15  1 ．………5 分
604
所以这4 次射击中出现2 个“ 9 环”和2 个“10 环”的概率可估计为：
2 21 2
2 21 21
2 21
1113
( )  ( )
54
 ( ) 5
 ( ) 2
 C2 ( 5)
 C2 (
 ) ．………10 分
24100
a  7 和8 ．（写出一个即可）………13 分
（19）（共 15 分）
 a  2,
a
2

解：（Ⅰ）由题设，  c  1 ,

………3 分
 a2  b2  c2.
解得 a2  4, b2  3 ．
2
2

所以椭圆G 的方程为 xy1 ．………5 分
43
由题设，直线l 的斜率存在，设其方程为 y  kx  m ．
则 E(2, 2k  m) ,直线OE 的方程为 y  (k  m)x ．………6 分
2
 y  kx  m,
由
得(4k 2  3)x2  8kmx  4m2 12  0 ．………7 分

3x
2  4 y2
 12,
由 Δ  48(4k 2  m2  3)  0 ，得 m2  4k 2  3 ．
设C(x , y ) ， D(x , y ) ，则 x  x   8km ， x x 
1 122124k 2  31 2
4m2 12
4k 2  3
．………8 分
直线 AC 的方程为 y 
联立直线 AC 和OE 得
y1 x1  2
y1
(x  2) ．………9 分
(x  2)  (k  m)x ．
x1  22
解得 x 
2 y1
4 y1
 4(kx1  m) ．………11 分
Mmmx  4kmx
 4k
(k  2 )(x1  2)  y111
同理可得 x
 4(kx2  m) ．
N
mx2  4k
所以 x
 x  4  (kx1  m)(mx2  4k)  (kx2  m)(mx1  4k) ．………12 分
MN(mx  4k)(mx  4k)
12
因为 (kx1  m)(mx2  4k )  (kx2  m)(mx1  4k )
 2kmx x  (4k 2  m2 )(x  x )  8km
1 212
 2km(4m2 12)  8km(4k 2  m2 )  8km(4k 2  3) 4k 2  34k 2  34k 2  3
 0，
所以 xM  xN  0 ，即点 M 和点 N 关于原点O 对称．
所以| OM |  | ON | ．………15 分
（20）（共 15 分）
解：（Ⅰ）当a  1 时， f (x)  x  ln x  xex ，
所以 f (x)  1  1  (1  x)ex ．………2 分
x
所以 f (1)  2e  2 ．
所以曲线 y  f ( x) 在点(1, f (1)) 处切线的斜率为2e  2 ．………4 分
（Ⅱ）当 a  1 时， f (x)  x  ln(x)  xex ， f (x) 的定义域为( , 0) ．
f (x)  1  1  (1  x) ex  (1  x)( 1  ex ) ．………6 分
xx
因为 1  ex  0 ，
x
所以 x  (  ,  1) 时， f (x)  0 ； x ( 1, 0) 时， f (x)  0 ．
所以 f (x) 的单调递增区间为(  ,  1) ；单调递减区间为(  1, 0) ． ………9 分
1ex
f (x)  (1  x)( x  a ) ．
当 a  0 时， f (x) 的定义域为( 0 ,  ) ．
所以 f (x)  0 ， f (x) 在( 0 ,  ) 上单调递增．
因为 f ( 1 )  0 ，所以 a  0 不合题意．………11 分
a
当 a  0 时， f (x) 的定义域为( , 0 ) ．
因为 x  (  ,  1) 时， f (x)  0 ； x ( 1, 0) 时， f (x)  0 ．
所以 f (x) 的单调递增区间为(  ,  1) ；单调递减区间为(  1, 0 ) ．
所以 f (x)
max
 f (1)  1  ln(a)  1
ae
．………13 分
设 g(x)  1  ln(x)  1 ，则 g(x)  1  1
 ex  1 ，
exxex2
ex2
因为 x (  ,  1 ) 时， g(x)  0 ； x (  1 , 0 ) 时， g(x)  0 ，
ee
所以 g(x) 的单调递减区间为(  ,  1 ) ；单调递增区间为(  1 , 0 ) ．
ee
所以 g(x)
min
 g( 1)  1 ．
e
所以集合{ x | f (x) ≥ 1} 有且只有一个元素时 a  1 ．………15 分
e
（21）（共 15 分）
解：（Ⅰ）记ti  a1bi1  a2bi 2  anbin ．
因为t1  3, t2  2, t3  0 ，………3 分
所以 K  2 ．………4 分
（Ⅱ）（ⅰ） B 不满足 m  3r ，理由如下：假设 B 满足 m  3r ．
n
因为 B 的每行恰有三个1 ，故 B 中满足bi p  biq  1 的(i, p, q) 的个数共有3m 个．另一方面，从 B 中任选两列共有C2 种可能，且对任意两列，都恰有 r 行使得
这两列的数均为 1，故 B 中满足b  b  1 的(i, p, q) 的个数共有 rC2 个．
n
所以3m  r C2 ．
i pi qn
n
当 m  3r 时，得C2  9 ，此方程无解．
所以 B 不满足 m  3r ．………9 分
r C2
（ⅱ）由（ⅰ）可得3m  r C2 ，即 m  n ．
n3
下面考虑满足bi p  biq  1 ，但 ap  aq 的(i, p, q) 的个数：
对 B 中满足ti  0 和3 的 m  K 行，每行恰有两组( p, q) 使bi p  biq  1 且 ap  aq ，
r C2
所以满足bi p  biq  1 ，但 a
p  aq
的(i, p, q) 的个数为2(m  K )  2(n  K ) ．
3
设数列 A 中有 x 项为1 ， n  x 项为0 ．
满足bi p  biq  1 ，但 ap  aq 的( p, q) 的个数为 x(n  x) ．
………11 分
所以满足bi p  biq  1 ，但 ap  aq 的(i, p, q) 的个数为 rx(n  x) ．………13 分
r C2
所以 rx(n  x)  2(n  K ) ．
3
r C2rx(n  x)r
所以 K  n 
326
(3x2  3nx  n2  n)
≥ r (
3n2
 3n2 
n
2  n) 
r n2
(
 n) ≥
1 (n2
 4n) ．………15 分
6426 424