2024年山东省济宁市高新区九年级一模考试数学模拟试题+

这是一份2024年山东省济宁市高新区九年级一模考试数学模拟试题+，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣的绝对值是（ ）
A．﹣3B．C．3D．﹣
2．（3分）下列计算错误的是（ ）
A．a3•a5＝a8B．（a2b）3＝a6b3
C．3+2＝5D．（a+b）2＝a2+b2
3．（3分）下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）长城的总长用科学记数法表示约为6.7×106米，则它的原数为（ ）
A．670000米B．6700000米
C．67000000米D．670000000米
5．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连接BD，∠DCA＝41°，则∠ABC的度数是（ ）
A．41°B．45°C．49°D．59°
6．（3分）如图是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了数字．若多面体的底面是面③，则多面体的上面是（ ）
A．面①B．面②C．面⑤D．面⑥
7．（3分）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣1B．m≤1C．m≥﹣1且m≠0D．m≤1且m≠0
8．（3分）如图，正六边形ABCDEF的外接圆⊙O的半径为2，过圆心O的两条直线l1、l2的夹角为60°，则图中的阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣B．π﹣C．π﹣D．π﹣
9．（3分）如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角α为30°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，无人机与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F（n）＝3n+1；②当n为偶数时，F（n）＝（其中k是使F（n）为奇数的正整数）…，两种运算交替重复进行，例如，取n＝24，则：
若n＝13，则第2018次“F”运算的结果是（ ）
A．1B．4C．2018D．42018
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）已知a+b＝4，a﹣b＝2，则a2﹣b2的值为 ．
12．（3分）如图，直线AB∥CD，GE⊥EF于点E．若∠BGE＝60°，则∠EFD的度数是 ．
13．（3分）一个函数过点（1，3），且y随x增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解析式 ．
14．（3分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为 ．
15．（3分）已知AC和BD是矩形ABCD的两条对角线，将△ADC沿直线AC翻折后，点D落在点E处，三角形AEC与矩形的重叠部分是三角形ACF，联结DE．如果AB＝6，BF＝2，那么∠BDE的正切值是 ．
三、解答题（本大题共55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤）
16．（6分）计算：．
17．（7分）读书是文化建设的基础，为了充分发挥读书启智润心的正能量，十四届政协委员林丽颍建议设立了“国家读书日”，让读书成为一种有品质的生活方式，成为新时代的新风尚．某社区设立了家庭成年人阅读问卷调查，社区管理人员随机抽查了30户家庭进行问卷调查，将调查结果分为4个等级：A、B、C、D．整理如下：
下面是家庭成年人阅读时间在1≤x＜2小时内的数据：1，1.2，1.3，1.5，1.2，1，1.5，1.4，1.7，1.2，1.2，1，1.8，1.6，1.5．
家庭成年人阅读时间统计表：
请结合以上信息回答下列问题：
（1）统计表中的a＝ ，b＝ ；
（2）B组数据的众数是 ，中位数是 ；
（3）扇形统计图中C组对应扇形的圆心角为 度，m＝ ；
（4）该社区宣传管理人员有1男2女，要从中随机选两名人员参加读书日宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．
18．（7分）2019年3月12日是第41个植树节，某单位积极开展植树活动，决定购买甲、乙两种树苗，用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗每棵比甲种树苗每棵少6元．
（1）求甲种树苗每棵多少元？
（2）若准备用3800元购买甲、乙两种树苗共100棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？
19．（7分）如图，⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，且AC平分∠DAB，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P．
（1）求证：BD∥CP；
（2）若 csP＝，BD＝24，求BP的长．
20．（8分）如图1，直线y＝ax+4经过点A（2，0），交反比例函数的图象于点B（﹣1，m），点P为第二象限内反比例函数图象上的一个动点．
（1）求反比例函数表达式；
（2）过点P作PC∥x轴交直线AB于点C，连接AP，BP，若△ACP的面积是△BPC面积的2倍，请求出点P坐标．
21．（10分）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，点D是AB边上的一个动点（不与点A、B重合），点F是边BC上的一点，且满足∠CDF＝∠A，过点C作CE⊥CD交DF的延长线于E．
（1）如图1，当CE∥AB时，求AD的长；
（2）如图2，联结BE，设AD＝x，BE＝y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（3）过点C作射线BE的垂线，垂足为H，射线CH与射线DE交于点Q，当△CQE是等腰三角形时，求AD的长．
22．（10分）如图，已知点C为二次函数y＝x2﹣4x+1的顶点，点P（0，n）为y轴正半轴上一点，过点P作y轴的垂线交函数图象于点A，B（点A在点B的左侧）．点M在射线PB上，且满足PM＝1+n．过点M作MN⊥AB交抛物线于点N，记点N的纵坐标为yN．
（1）求顶点C的坐标．
（2）①若n＝3，求MB的值．
②当0＜n≤4时，求yN的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）﹣的绝对值是（ ）
A．﹣3B．C．3D．﹣
【分析】正有理数的绝对值是它本身，负有理数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零，由此即可得到答案．
【解答】解：﹣的绝对值是，
故选：B．
【点评】本题考查绝对值的概念，关键是掌握绝对值的意义．
2．（3分）下列计算错误的是（ ）
A．a3•a5＝a8B．（a2b）3＝a6b3
C．3+2＝5D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】A．应用同底数幂乘法法则进行计算即可得出答案；
B．应用积的乘方法则进行计算即可得出答案；
C．应用二次根式加减法则进行计算即可得出答案；
D．应用完全平方公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：A．因为a3•a5＝a3+5＝a8，所以A选项计算正确，故A选项不符合题意；
B．因为（a2b）3＝a6b3，所以B选项计算正确，故B选项不符合题意；
C．因为3+2＝5，所以C选项计算正确，故C选项不符合题意；
D．因为（a+b）2＝a2+2ab+b2，所以D选项计算不正确，故D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次根式的加减，同底数幂乘法，积的乘方，完全平方公式，熟练掌握二次根式的加减，同底数幂乘法，积的乘方，完全平方公式进行求解是解决本题的关键．
3．（3分）下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．（3分）长城的总长用科学记数法表示约为6.7×106米，则它的原数为（ ）
A．670000米B．6700000米
C．67000000米D．670000000米
【分析】根据已知科学记数法的结果再判断原数，先确定原数的整数数位即可．
【解答】解：6.7×106米对应的原数为6700000米．
故选：B．
【点评】本题考查了科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连接BD，∠DCA＝41°，则∠ABC的度数是（ ）
A．41°B．45°C．49°D．59°
【分析】由直径所对的圆周角是直角可得∠DBC＝90°，由同弧所对的圆周角相等可得∠DBA＝∠DCA，进而可计算∠ABC．
【解答】解：∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC＝90°，
∵∠DBA＝∠DCA＝41°，
∴∠ABC＝90°﹣∠DBA＝49°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆周角相等，解决本题的关键是熟练掌握相关知识点，难度不大．
6．（3分）如图是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了数字．若多面体的底面是面③，则多面体的上面是（ ）
A．面①B．面②C．面⑤D．面⑥
【分析】由多面体的表面展开图，即可得到答案．
【解答】解：多面体的底面是面③，则多面体的上面是⑤．
故选：C．
【点评】本题考查几何体的表面展开图，关键是由长方体的表面展开图找到相对面．
7．（3分）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣1B．m≤1C．m≥﹣1且m≠0D．m≤1且m≠0
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式列得不等式并计算即可．
【解答】解：∵一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，
∴Δ＝22﹣4m≥0，且m≠0，
解得：m≤1且m≠0，
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，特别注意二次项系数不能为0．
8．（3分）如图，正六边形ABCDEF的外接圆⊙O的半径为2，过圆心O的两条直线l1、l2的夹角为60°，则图中的阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣B．π﹣C．π﹣D．π﹣
【分析】连接AD，OC，由⊙O是正六边形的外接圆可求得∠COD＝60°，△COD是等边三角形，根据扇形面积公式可求S扇形COD，根据三角形面积公式可求S△COD，利用三角形全等将两块阴影部分拼接，转化为弓形，根据S阴影＝S扇形COD﹣S△COD即可求解．
【解答】解：如图，连接AD，OC，
∵⊙O是正六边形的外接圆，
∴AD必过点O，∠COD＝＝60°，
又∵OC＝OD，
∴△COD是等边三角形，OC＝OD＝CD＝2，
∵直线l1、l2的夹角为60°，
∴∠COD﹣∠KOD＝∠KOH﹣∠KOD，
即∠COK＝∠DOH，
又∵∠DOH＝∠AOG，
∴∠COK＝∠AOG，
∵∠OCK＝∠OAG＝60°，OC＝OA，
∴△OCK≌△OAG（ASA），S扇形COM＝S扇形AON，
∴S扇形COM﹣S△OCK＝S扇形AON﹣S△OAG，
∴S阴影＝S扇形COD﹣S△COD，
∵S扇形COD＝＝π，
S△COD＝＝，
∴S阴影＝π﹣．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正多边形和圆，三角形面积和扇形面积计算，明确S阴影＝S扇形COD﹣S△COD是解决问题的关键．
9．（3分）如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角α为30°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，无人机与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（ ）
A．B．C．D．
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意可得：AD＝120m，然后分别在Rt△ABD和Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出BD和CD的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
由题意得：AD＝120m，
在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，
∴BD＝AD•tan30°＝120×＝40（m），
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，
∴CD＝AD•tan60°＝120（m），
∴BC＝BD+CD＝160（m），
∴这栋楼的高度为160m，
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
10．（3分）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F（n）＝3n+1；②当n为偶数时，F（n）＝（其中k是使F（n）为奇数的正整数）…，两种运算交替重复进行，例如，取n＝24，则：
若n＝13，则第2018次“F”运算的结果是（ ）
A．1B．4C．2018D．42018
【分析】计算出n＝13时第一、二、三、四、五、六次运算的结果，找出规律再进行解答即可．
【解答】解：若n＝13，
第1次结果为：3n+1＝40，
第2次结果是：＝5，
第3次结果为：3n+1＝16，
第4次结果为：＝1，
第5次结果为：4，
第6次结果为：1，
…
可以看出，从第四次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现，
且当次数为偶数时，结果是1；次数是奇数时，结果是4，
而2018次是偶数，因此最后结果是1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了数字的变化类，能根据所给条件得出n＝13时六次的运算结果，找出规律是解答此题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）已知a+b＝4，a﹣b＝2，则a2﹣b2的值为 8 ．
【分析】根据平方差公式将a2﹣b2转化为（a+b）（a﹣b），再代入计算即可．
【解答】解：∵a+b＝4，a﹣b＝2，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
＝4×2
＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
12．（3分）如图，直线AB∥CD，GE⊥EF于点E．若∠BGE＝60°，则∠EFD的度数是 30° ．
【分析】延长GE交CD于点H，先利用平行线的性质可得∠BGE＝∠EHF＝60°，再根据垂直定义可得∠GEF＝90°，然后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答．
【解答】解：延长GE交CD于点H，
∵AB∥CD，
∴∠BGE＝∠EHF＝60°，
∵GE⊥EF，
∴∠GEF＝90°，
∵∠GEF是△EFH的一个外角，
∴∠EFD＝∠GEF﹣∠EHF＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查了平行线的性质，垂线，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
13．（3分）一个函数过点（1，3），且y随x增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解析式 y＝x+2（答案不唯一） ．
【分析】设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k+b＝3，利用一次函数的性质可得出k＞0，取k＝1，b＝2即可得出结论．
【解答】解：设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0）．
∵一次函数y＝kx+b的图象经过点（1，3），
∴3＝k+b，
又∵函数值y随自变量x的增大而增大，
∴k＞0，
∴k＝1，b＝2符合题意，
∴符合上述条件的函数解析式可以为y＝x+2．
故答案为：y＝x+2（答案不唯一）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
14．（3分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为 ．
【分析】根据用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺：将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，可以列出相应的方程组，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
故答案为：．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组．
15．（3分）已知AC和BD是矩形ABCD的两条对角线，将△ADC沿直线AC翻折后，点D落在点E处，三角形AEC与矩形的重叠部分是三角形ACF，联结DE．如果AB＝6，BF＝2，那么∠BDE的正切值是 或 ．
【分析】AB＜AD时，根据矩形的性质得出OA＝OC＝OB＝OD，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD∥BC，则∠OAD＝∠ODA＝∠ACB，根据折叠的性质得出AC⊥DE，∠ADE＝∠AED，∠ACD＝∠ACE，∠ADC＝∠AEC＝90°，∠DAC＝∠EAC，设∠ODA＝α，则∠OAD＝∠ACB＝α，∠EAC＝α，根据直角三角形的性质及三角形外角性质推出∠BDE＝∠BAF＝90°﹣2α，则tan∠BDE＝tan∠BAF，根据正切的定义求解即可；
AB＞AD时，根据矩形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质及折叠的性质求出∠BDE＝30°，根据特角的三角函数值求解即可．
【解答】解：如图，AB＜AD时，AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD∥BC，
∴∠OAD＝∠ODA＝∠ACB，
根据折叠的性质得，AC⊥DE，∠ADE＝∠AED，∠ACD＝∠ACE，∠ADC＝∠AEC＝90°，∠DAC＝∠EAC，
设∠ODA＝α，则∠OAD＝∠ACB＝α，∠EAC＝α，
∴∠EFC＝∠EAC+∠ACB＝2α，∠AED＝90°﹣∠EAC＝90°﹣α，
∴∠BDE＝∠ABD﹣∠ODA＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α，
∵∠AFB＝∠EFC＝2α，
∴∠BAF＝90°﹣∠AFB＝90°﹣2α，
∴∠BDE＝∠BAF，
∴tan∠BDE＝tan∠BAF，
在Rt△ABF中，AB＝6，BF＝2，
∴tan∠BAF＝＝＝，
∴tan∠BDE＝，
即∠BDE的正切值是，
如图，AB＞AD时，
∵AB＝6，BF＝2，
∴AF＝AB﹣BF＝4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB∥CD，OC＝OD，
∴∠BAC＝∠ACD，
根据折叠的性质得，∠ACD＝∠ACE，AC⊥DE，
∴∠ACE＝∠BAC，∠ACD+∠CDE＝90°，
∴AF＝CF＝4，
∴∠BCF＝30°，
∴∠ACD＝30°，
∴∠CDE＝60°，
∵OC＝OD，
∴∠CDO＝∠ACD＝30°，
∴∠BDE＝30°，
∴∠BDE的正切值是，
故答案为：或．
【点评】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、解直角三角形，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤）
16．（6分）计算：．
【分析】先计算零指数幂，负整数指数幂和算术平方根，再计算加减法即可．
【解答】解：
＝1+2﹣1+4
＝6．
【点评】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是关键．
17．（7分）读书是文化建设的基础，为了充分发挥读书启智润心的正能量，十四届政协委员林丽颍建议设立了“国家读书日”，让读书成为一种有品质的生活方式，成为新时代的新风尚．某社区设立了家庭成年人阅读问卷调查，社区管理人员随机抽查了30户家庭进行问卷调查，将调查结果分为4个等级：A、B、C、D．整理如下：
下面是家庭成年人阅读时间在1≤x＜2小时内的数据：1，1.2，1.3，1.5，1.2，1，1.5，1.4，1.7，1.2，1.2，1，1.8，1.6，1.5．
家庭成年人阅读时间统计表：
请结合以上信息回答下列问题：
（1）统计表中的a＝ 9 ，b＝ 6 ；
（2）B组数据的众数是 1.2 ，中位数是 1.2 ；
（3）扇形统计图中C组对应扇形的圆心角为 72 度，m＝ 30 ；
（4）该社区宣传管理人员有1男2女，要从中随机选两名人员参加读书日宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．
【分析】（1）由家庭成年人阅读时间在1≤x＜2小时内的数据可得答案．
（2）根据众数和中位数的定义可得答案．
（3）用360°乘以C等级的人数所占的百分比，即可求出C组对应扇形的圆心角的度数；求出B等级的人数所占的百分比即可得出答案．
（4）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好选中“1男1女”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由家庭成年人阅读时间在1≤x＜2小时内的数据可知，a＝9，b＝6．
故答案为：9；6．
（2）∵1≤x＜1.5小时内的数据中，1.2出现的次数最多，
∴B组数据的众数是1.2．
将1≤x＜1.5小时内的数据按从小到大排列，排在第5个的是1.2，
∴B组数据的中位数是1.2．
故答案为：1.2；1.2．
（3）扇形统计图中C组对应扇形的圆心角为360°×＝72°．
m%＝×100%＝30%，
∴m＝30．
故答案为：72；30．
（4）设1名男生记为A，2名女生记为B，C，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中恰好选中“1男1女”的结果有：AB，AC，BA，CA，共4种，
∴恰好选中“1男1女”的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、频数（率）分布表、扇形统计图、众数、中位数，能够理解频数（率）分布表和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及众数和中位数的定义是解答本题的关键．
18．（7分）2019年3月12日是第41个植树节，某单位积极开展植树活动，决定购买甲、乙两种树苗，用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗每棵比甲种树苗每棵少6元．
（1）求甲种树苗每棵多少元？
（2）若准备用3800元购买甲、乙两种树苗共100棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？
【分析】（1）根据题意列出分式方程求解即可；
（2）根据题意列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）设甲种树苗每棵x元，根据题意得：
，
解得：x＝40，
经检验：x＝40是原方程的解，
答：甲种树苗每棵40元；
（2）设购买乙种树苗y棵，根据题意得：
40（100﹣y）+34y≤3800，
解得：y≥33，
∵y是正整数，
∴y最小取34，
答：至少要购买乙种树苗34棵．
【点评】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，难度不大．
19．（7分）如图，⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，且AC平分∠DAB，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P．
（1）求证：BD∥CP；
（2）若 csP＝，BD＝24，求BP的长．
【分析】（1）连接OC，如图，先利用圆周角定理得到＝，再根据垂径定理得到OC⊥BD，接着利用切线的性质得OC⊥PC，然后根据平行线的性质得到结论；
（2）先利用BD∥PC得到∠ABD＝∠P，所以cs∠ABD＝csP＝，再根据圆周角定理得∠ADB＝90°，则利用余弦的定义可求出AB＝30，所以OB＝OC＝15，接着在Rt△OCP中利用余弦的定义得到csP＝＝，于是设PC＝4x，PO＝5x，则OC＝3x＝15，求出x得到OP＝25，然后计算OP﹣OB即可．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴＝，
∴OC⊥BD，
∵CP为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴BD∥CP；
（2）解：∵BD∥PC，
∴∠ABD＝∠P，
∴cs∠ABD＝csP＝，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，∵cs∠ABD＝＝，
∴AB＝BD＝×24＝30，
∴OB＝OC＝15，
∵OC⊥PC，
∴∠OCP＝90°，
在Rt△OCP中，∵csP＝＝，
∴设PC＝4x，PO＝5x，
∴OC＝3x，
即3x＝15，
解得x＝5，
∴OP＝5x＝25，
∴BP＝OP﹣OB＝25﹣15＝10．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和解直角三角形．
20．（8分）如图1，直线y＝ax+4经过点A（2，0），交反比例函数的图象于点B（﹣1，m），点P为第二象限内反比例函数图象上的一个动点．
（1）求反比例函数表达式；
（2）过点P作PC∥x轴交直线AB于点C，连接AP，BP，若△ACP的面积是△BPC面积的2倍，请求出点P坐标．
【分析】（1）将点A（2，0）代入y＝ax+4求得a的值，得到直线的解析式，将B（﹣1，m）代入直线的解析式，算出m的值，得到B的坐标，将B的坐标代入反比例函数y＝（x＜0）中求解，即可解题；
（2）根据点P为第二象限内反比例函数图象上的一个动点，过点P作PC⊥x轴交直线AB于点C，分以下两种情况讨论，①当P点在AB下方时，②当P点在AB上方时，根据以上两种情况，结合“BP若△ACP的面积是△BPC面积的2倍”分析得到点C纵坐标，将点C纵坐标代入反比例函数解析式求解，即可解题．
【解答】解：（1）∵y＝ax+4过点A（2，0），
∴2a+4＝0，
∴a＝﹣2，
∴y＝﹣2x+4，
∵点B（﹣1，m）在y＝﹣2x+4上，
∴m＝2+4＝6，
∴B（﹣1，6），
∴k＝（﹣1）×6＝﹣6，
∴y＝﹣．
（2）①当P点在AB下方时，
∵S△ACP＝2S△BCP，
∴AC：BC＝2：1，
作CH⊥x轴，BR⊥x轴，
∴＝＝，
∴＝，
∵B（﹣1，6），
∴yC＝4，
把yC＝4代入y＝﹣中，
∴P（，4）；
②当P点在AB上方时，
∵S△ACP＝2S△BCP，
∴AB：BC＝1：1，
∴B为AC的中点，
∵A（2，0），B（﹣1，6），
∴C（﹣4，12），
把y＝12代入y＝中，
∴P（﹣，12）；
综上所述：点P坐标为（﹣，4）或（﹣，12）．
【点评】本题考查一次函数与反比例函数的交点、用待定系数法求函数解析式、坐标与图形、等腰三角形性质、全等三角形的性质和判定、熟练掌握相关性质定理并灵活运用是解题的关键．
21．（10分）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，点D是AB边上的一个动点（不与点A、B重合），点F是边BC上的一点，且满足∠CDF＝∠A，过点C作CE⊥CD交DF的延长线于E．
（1）如图1，当CE∥AB时，求AD的长；
（2）如图2，联结BE，设AD＝x，BE＝y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（3）过点C作射线BE的垂线，垂足为H，射线CH与射线DE交于点Q，当△CQE是等腰三角形时，求AD的长．
【分析】（1）由勾股定理可求BC的长，由锐角三角函数可求AD的长；
（2）通过证明△ACD∽△BCE，可得，即可求解；
（3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质和等腰三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）∵CE∥AB，CE⊥CD，
∴AB⊥CD，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，
∴BC＝＝＝4，
∵csA＝，
∴，
∴AD＝；
（2）∵∠CDF＝∠A，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴△ACB∽△DCE，
∴，
∴，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
∴，
∴＝，
∴y＝x，
∵点D是AB边上的一个动点（不与点A、B重合），
∴0＜x＜5；
（3）如图3，当点E在线段BH上时，则EC＝EQ，过点C作CN⊥AB于N，
∵△ACD∽△BCE，
∴＝＝，∠A＝∠CBE，
∴设CD＝3x，则CE＝4x＝EQ，
∴DE＝＝5x，
∵∠A+∠ABC＝90°，
∴∠CBE+∠ABC＝90°＝∠ABE，
又∵CH⊥BE，CN⊥AB，
∴四边形CNBH是矩形，
∴CH＝NB，CQ∥BD，
∵cs∠ABC＝，
∴＝，
∴BN＝＝CH，
∵CE＝EQ，EH⊥CQ，
∴CH＝HQ＝，
∵CQ∥BD，
∴△EHQ∽△EBD，
∴，
∴＝，
∴AD＝1；
如图4，当点E线段BH的延长线上时，则CQ＝EQ，
∵BC＝4，CH＝，
∴BH＝＝＝，
∵CQ＝EQ，
∴∠QCE＝∠QEC，
∵∠DCE＝90°，
∴∠QCD＝∠QDC，
∴CQ＝DQ，
∴QE＝CQ＝DQ，
∵CH∥AB，
∴＝1，
∴EH＝BH＝，
∴BE＝，
∵y＝x，
∴＝AD，
∴AD＝，
综上所述：AD＝或1．
【点评】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
22．（10分）如图，已知点C为二次函数y＝x2﹣4x+1的顶点，点P（0，n）为y轴正半轴上一点，过点P作y轴的垂线交函数图象于点A，B（点A在点B的左侧）．点M在射线PB上，且满足PM＝1+n．过点M作MN⊥AB交抛物线于点N，记点N的纵坐标为yN．
（1）求顶点C的坐标．
（2）①若n＝3，求MB的值．
②当0＜n≤4时，求yN的取值范围．
【分析】（1）把二次函数的解析式化成顶点式，即可求得顶点C的坐标；
（2）①解方程x2﹣4x+1＝3，求得B的坐标即可得出；
②由xN＝xM＝1+n，代入解析式得，求得当n＝1时，yN的最小值为﹣3．n＝4时，yN的最大值为6，根据二次函数的性质即可求得﹣3≤yN≤6．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
∴顶点C的坐标为（2，﹣3）．
（2）①当n＝3时，则PM＝1+3＝4，
令y＝3，则x2﹣4x+1＝3，
解得，，
∴B（2+，3），
∴．
②∵xN＝xM＝1+n，
∴．
∴当n＝1时，yN的最小值为﹣3．
当n＝4时，yN的最大值为6．
∴﹣3≤yN≤6．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
等级
阅读时间（小时）
频数
A
0≤x＜1
12
B
1≤x＜1.5
a
C
1.5≤x＜2
b
D
x≥2
3
合计
30
等级
阅读时间（小时）
频数
A
0≤x＜1
12
B
1≤x＜1.5
a
C
1.5≤x＜2
b
D
x≥2
3
合计
30