山东省禹城市2022-2023学年下学期期中考试七年级数学试题

这是一份山东省禹城市2022-2023学年下学期期中考试七年级数学试题，共20页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．﹣的相反数是（ ）
A．﹣B．C．D．﹣
2．在平面直角坐标系中，下列各点位于x轴负半轴上的是（ ）
A．（0，4）B．（3，0）C．（0，﹣2）D．（﹣1，0）
3．春节过后，某村计划挖一条水渠将不远处的河水引到农田（记作点O），以便对农田的小麦进行灌溉，现设计了四条路段OA，OB，OC，OD，如图所示，其中最短的一条路线是（ ）
A．OAB．OBC．OCD．OD
4．在平面直角坐标系中，点（﹣1，3）和点（4，3）之间的距离是（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．阅读下列材料，其①～④步中数学依据错误的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
6．下列各式中，正确的是（ ）
A．B．C．D．﹣
7．如图，AB∥CD，一副三角尺按如图所示放置，∠AEG＝20°，则∠HFD的度数为（ ）
A．40°B．35°C．30°D．25°
8．点P在数轴上的位置如图所示，若点P表示实数a，则下列数中，所对应的点在数轴上位于﹣1与0之间的是（ ）
A．﹣aB．a﹣1C．1﹣aD．a+1
9．如图，直线AB、CD被直线EF所截，则∠AME＝110°，∠MND＝60°，经过下列哪项操作可以使AB∥CD（ ）
A．使CD绕点N顺时针旋转10°
B．使CD绕点N逆时针旋转10°
C．使CD绕点N顺时针旋转50°
D．使CD绕点N逆时针旋转50°
10．四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是（﹣1，b），（1，b），（2，b），（3.5，b），平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（ ）
A．将B向左平移4.5个单位
B．将C向左平移4个单位
C．将D向左平移5.5个单位
D．将C向左平移3.5个单位
11．如图，在科学《光的反射》活动课中，小麦同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面AB的调节角（∠ABM）的调节范围为12°～69°，激光笔发出的光束DG射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线EF）的夹角∠EPG＝30°，则反射光束GH与天花板所形成的角（∠PHG）不可能取到的度数为（ ）
A．129°B．72°C．51°D．18°
12．已知m与n为两个连续的自然数，且满足，则m+n的值为（ ）
A．1B．3C．5D．7
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）
13．﹣1的绝对值是 ．
14．点P（1，2）关于x轴的对称点P1的坐标为 ．
15．如图是我们常用的画平行线的方法，三角板的平移构造了平行线的判定依据：“ ，两直线平行．”
16．法国数学家笛卡尔最早引入坐标系，开始用坐标描述图形中点的位置．如图，中国象棋棋盘的一部分，若其中的坐标为（1，﹣3），的坐标为（﹣1，﹣4），则的坐标为 ．
17．在数学拓展课《折叠的奥秘》中，老师提出一个问题：如图，有一条长方形纸带ABCD，点E在AD上，点F在BC上，把长方形纸带沿EF折叠，若∠B'FB＝80°，则∠AEF＝ °．
18．如图，四边形ABCD、CEFG均为正方形，其中正方形ABCD面积为8cm2．图中阴影部分面积为5cm2，正方形CEFG面积为 ．
三、解答题（本题共7小题，共78分.）
19．（10分）计算下列各式的值：
（1）；
（2）．
20．（10分）依据所给的条件，求x的值．
（1）（x﹣1）2＝；
（2）（x﹣1）3＝﹣64．
21．（10分）如图，点D在AB上，直线DG交AF于点E．请从①DG∥AC，②AF平分∠BAC，③∠DAE＝∠DEA中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并说明理由．
解：已知： ，求证： ．（只须填写序号）
证明：
22．（10分）平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（3，4），C（3，﹣1）．
（1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点；
（2）若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，写出A1、B1、C1的坐标．
23．（12分）如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A所表示的数为m．
（1）实数m的值是 ；
（2）求（m+2）2+|m+1|的值．
（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+4|与互为相反数，求2c+3d+8的平方根．
24．（12分）对于湘教版数学七年级下册第110页第15题：“如图（第15题图），OB、OD分别平分∠ABD和∠BDC，∠1+∠2＝90°，那么AB与CD有什么关系？试说明理由．”
小亮同学在做完了该题后，与学习小组的同学在“课后服务”进一步开展了探究活动：如图，AB∥CD，OB、OD分别平分∠ABD和∠BDC．
（1）如图1，那么OB与OD有什么关系？试说明理由．
（2）延长BO与CD相交于点E，过点E作EF⊥BE，EF与BD的延长线相交于点F，
①如图1，∠DFE＝28°，小亮发现可以求出∠DEF的大小，请你帮助小亮同学写出求∠DEF的大小的过程．
②如图2，连接OF，点M是EF上一点，∠MOF＝∠MFO，ON平分∠BOM交BD于点N，学习小组的小明同学发现∠FON的大小不变，请你直接写出∠FON的大小是 ．
25．（14分）在数学研究课上，研究小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：
【问题情境】
在平面直角坐标系中有不重合的两点M（x1，y1）和点N（x2，y2），若x1＝x2，则MN∥y轴，且线段MN的长度为|y1﹣y2|若y1＝y2，则MN∥x轴，且线段MN的长度为|x1﹣x2|；
【实践操作】
（1）若点M（﹣1，1）、N（2，1），则MN∥x轴，MN的长度为 ；若点M（1，0），且MN∥y轴，且MN＝2，则点N的坐标为 ．
【拓展应用】
（2）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣4，0），B（0，2），C（0，﹣3）．
①如图1，求△ABC的面积；
②如图2，点D在线段AB上，将点D向右平移4个单位长度至E点，若△ACE的面积等于14，求点D坐标．
2022-2023学年山东省德州市禹城市七年级（下）期中数学试卷
参考答案
一、选择题（每小题4分，共48分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．﹣的相反数是（ ）
A．﹣B．C．D．﹣
【分析】利用相反数的定义计算即可得到结果．
【解答】解：﹣的相反数是，
故选：C．
【点评】此题考查了实数的性质，熟练掌握相反数的定义是解本题的关键．
2．在平面直角坐标系中，下列各点位于x轴负半轴上的是（ ）
A．（0，4）B．（3，0）C．（0，﹣2）D．（﹣1，0）
【分析】根据x轴负半轴上的点的横坐标小于0，纵坐标等于0判断即可．
【解答】解：A．（0，4）位于y轴正半轴上，故本选项不符合题意；
B．（3，0）位于x轴正半轴上，故本选项不符合题意；
C．（0，﹣2）位于y轴负半轴上，故本选项不符合题意；
D．（﹣1，0）位于x轴负半轴上，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了点的坐标，掌握x轴上的点的坐标特征是解答本题的关键．
3．春节过后，某村计划挖一条水渠将不远处的河水引到农田（记作点O），以便对农田的小麦进行灌溉，现设计了四条路段OA，OB，OC，OD，如图所示，其中最短的一条路线是（ ）
A．OAB．OBC．OCD．OD
【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短，可得答案．
【解答】解：由垂线段最短，得
四条路段OA，OB，OC，OD，如图所示，其中最短的一条路线是OB，
故选：B．
【点评】本题考查了垂线段的性质，熟记性质是解题关键．
4．在平面直角坐标系中，点（﹣1，3）和点（4，3）之间的距离是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】直接利用坐标系得出两点距离即可．
【解答】解：如图所示：
点（﹣1，3）和点（4，3）之间的距离是：4﹣（﹣1）＝5．
故选：C．
【点评】此题主要考查了坐标与图形性质，正确利用坐标系是解题关键．
5．阅读下列材料，其①～④步中数学依据错误的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【分析】由垂直的定义得出∠1＝90°，由两直线平行，同位角相等得出∠2＝∠1＝90°，从而得出a⊥b．
【解答】证明：
①∵a⊥b（已知），∴∠1＝90°（垂直的定义）．
②又b∥c（已知），∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）．
③∴∠2＝∠1＝90°（等量代换）．
④∴a⊥b（垂直的定义）．
其中数学依据错误的是第②步，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握每一步的依据是解题的关键．
6．下列各式中，正确的是（ ）
A．B．C．D．﹣
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：A、＝3，故选项A不符合题意；
B、＝3，故选项B不符合题意；
C、＝3，故选项C不符合题意；
D、﹣＝﹣3，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是关键．
7．如图，AB∥CD，一副三角尺按如图所示放置，∠AEG＝20°，则∠HFD的度数为（ ）
A．40°B．35°C．30°D．25°
【分析】将∠AEG，∠GEF的度数，代入∠AEF＝∠AEG+∠GEF中，可求出∠AEF的度数，由AB∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出∠DFE的度数，再结合∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH，即可求出∠HFD的度数．
【解答】解：∵∠AEG＝20°，∠GEF＝45°，
∴∠AEF＝∠AEG+∠GEF＝20°+45°＝65°．
∵AB∥CD，
∴∠DFE＝∠AEF＝65°，
∴∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH＝65°﹣30°＝35°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
8．点P在数轴上的位置如图所示，若点P表示实数a，则下列数中，所对应的点在数轴上位于﹣1与0之间的是（ ）
A．﹣aB．a﹣1C．1﹣aD．a+1
【分析】根据a在数轴上的位置即可判断．
【解答】解：由数轴知：﹣2＜a＜﹣1．
∴﹣1＜a+1＜0．
故选：D．
【点评】本题考查数轴上的点与实数的对应关系．根据a的位置判断其范围是求解本题的关键．
9．如图，直线AB、CD被直线EF所截，则∠AME＝110°，∠MND＝60°，经过下列哪项操作可以使AB∥CD（ ）
A．使CD绕点N顺时针旋转10°
B．使CD绕点N逆时针旋转10°
C．使CD绕点N顺时针旋转50°
D．使CD绕点N逆时针旋转50°
【分析】由补角的定义可求得∠BME＝70°，再利用平行线的判定：同位角相等，两直线平行，对各项进行分析即可．
【解答】解：∵∠AME＝110°，
∴∠BME＝180°﹣∠AME＝70°，
∵∠MND＝60°，
∴要使AB∥CD，则使CD绕点N顺时针旋转10°，
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定条件：同位角相等，两直线平行．
10．四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是（﹣1，b），（1，b），（2，b），（3.5，b），平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（ ）
A．将B向左平移4.5个单位
B．将C向左平移4个单位
C．将D向左平移5.5个单位
D．将C向左平移3.5个单位
【分析】注意到A，B关于y轴对称，只需要C，D关于y轴对称即可，可以将点C（2，b）向左平移到（﹣3.5，b），平移5.5个单位，或可以将D（3.5，b）向左平移到（﹣2，b），平移5.5个单位．
【解答】解：∵A，B，C，D这四个点的纵坐标都是b，
∴这四个点在一条直线上，这条直线平行于x轴，
∵A（﹣1，b），B（1，b），
∴A，B关于y轴对称，只需要C，D关于y轴对称即可，
∵C（2，b），D（3.5，b），
∴可以将点C（2，b）向左平移到（﹣3.5，b），平移5.5个单位，
或可以将D（3.5，b）向左平移到（﹣2，b），平移5.5个单位，
故选：C．
【点评】本题考查了生活中的平移现象，关于y轴对称的点的坐标，注意关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标不变．
11．如图，在科学《光的反射》活动课中，小麦同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面AB的调节角（∠ABM）的调节范围为12°～69°，激光笔发出的光束DG射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线EF）的夹角∠EPG＝30°，则反射光束GH与天花板所形成的角（∠PHG）不可能取到的度数为（ ）
A．129°B．72°C．51°D．18°
【分析】当调节角为60°时，PG⊥AB，所以当调节角在12°～60°时，GH射到EP上，根据角的关系确定∠PHG的范围；当调节角在60°～69°时，GH射到PF上，根据角的关系确定∠PHG的范围，最后根据∠PHG的范围确定∠PHG不可能取到的度数．
【解答】解：因为镜面AB的调节角（∠ABM）的调节范围为12°～69°，当调节角为60°时，PG⊥AB，
所以当调节角在12°～60°时，GH射到EP上，且∠PGH＝2×（60°﹣∠ABM），
则∠PHG＝180°﹣30°﹣∠PHG，那么54°≤∠PHG＜150°；
当调节角在60°～69°时，GH射到PF上，∠PGH＝2×（∠ABM﹣60°），∠PHG＝180°﹣150°﹣∠PHG，
则此时12°≤∠PHG＜30°，当调节角为60°时，H与P重叠．
故选：C．
【点评】本题考查了光的反射定律的应用；理解和掌握光的反射定律是解决此题的关键．
12．已知m与n为两个连续的自然数，且满足，则m+n的值为（ ）
A．1B．3C．5D．7
【分析】根据无理数的估算可得：，，据此即可解答．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴m＝0，n＝1，
∴m+n＝0+1＝1，
故选：A．
【点评】本题考查了无理数的估算，绝对值，代数式求值问题，求得是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）
13．﹣1的绝对值是 1 ．
【分析】第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解：∵|﹣1|＝1，∴﹣1的绝对值是1．
【点评】此题考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际当中．
绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
14．点P（1，2）关于x轴的对称点P1的坐标为 （1，﹣2） ．
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”即可求解．
【解答】解：∵关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数
∴点P（1，2）关于x轴的对称点P1的坐标为（1，﹣2）．
故答案为：（1，﹣2）．
【点评】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．
15．如图是我们常用的画平行线的方法，三角板的平移构造了平行线的判定依据：“ 同位角相等 ，两直线平行．”
【分析】根据平行线的判定定理即可得到结论．
【解答】解：由平行线的画法知道，得到同位角相等，即同位角相等，两直线平行．
∴同位角相等，两直线平行．
故答案为：同位角相等．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，平行线的判定定理，熟练掌握平行线的定理是解题的关键．
16．法国数学家笛卡尔最早引入坐标系，开始用坐标描述图形中点的位置．如图，中国象棋棋盘的一部分，若其中的坐标为（1，﹣3），的坐标为（﹣1，﹣4），则的坐标为 （﹣2，﹣2） ．
【分析】直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：的坐标为（﹣2，﹣2）．
故答案为：（﹣2，﹣2）．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
17．在数学拓展课《折叠的奥秘》中，老师提出一个问题：如图，有一条长方形纸带ABCD，点E在AD上，点F在BC上，把长方形纸带沿EF折叠，若∠B'FB＝80°，则∠AEF＝ 40 °．
【分析】根据折叠的性质可知∠EFB'＝∠EFB，再由周角360°以及∠BFB'＝80°可求出∠EFB，再根据平行线的性质即可求∠AEF．
【解答】解：由题知∠EFB'＝∠EFB，AD∥BC，
∵∠EFB'+∠EFB+∠BFB'＝360°，∠BFB'＝80°，
∴∠EFB'＝∠EFB＝140°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF+∠EFB＝180°，
∴∠AEF＝180°﹣140°＝40°．
故答案为：40．
【点评】本题考查平行线的性质和翻折的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质和翻折的性质进行角的转化和计算．
18．如图，四边形ABCD、CEFG均为正方形，其中正方形ABCD面积为8cm2．图中阴影部分面积为5cm2，正方形CEFG面积为 18 ．
【分析】根据正方形的性质与三角形的面积公式得出：阴影部分面积＝（CE2﹣BC2），便可求得结果．
【解答】解：∵阴影部分面积＝DE×（BC+CG），
∴阴影部分面积＝×（CE﹣DC）（BC+CG）＝（CE2﹣BC2），
∵正方形ABCD面积为8cm2，图中阴影部分面积为5cm2，
∴5＝（S正方形CEFG﹣8），
∴S正方形CEFG＝18，
故答案为：18．
【点评】本题考查了正方形的性质，三角形的面积公式，正确表示阴影部分面积是解题的关键．
三、解答题（本题共7小题，共78分.）
19．（10分）计算下列各式的值：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接去括号，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；
（2）直接去绝对值，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝2﹣﹣
＝﹣；
（2）原式＝﹣+2
＝+．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
20．（10分）依据所给的条件，求x的值．
（1）（x﹣1）2＝；
（2）（x﹣1）3＝﹣64．
【分析】（1）利用平方根的定义解方程即可；
（2）利用立方根的定义解方程即可．
【解答】解：（1）由原方程得：x﹣1＝±，
解得：x＝或x＝；
（2）由原方程得：x﹣1＝﹣4，
解得：x＝﹣3．
【点评】本题考查利用平方根及立方根解方程，熟练掌握其定义是解题的关键．
21．（10分）如图，点D在AB上，直线DG交AF于点E．请从①DG∥AC，②AF平分∠BAC，③∠DAE＝∠DEA中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并说明理由．
解：已知： ①② ，求证： ③ ．（只须填写序号）
证明：
【分析】根据平行线的性质可得∠DEA＝∠EAC，再由角平分线的性质可得∠DAE＝∠EAC，再利用等量代换可得∠DAE＝∠DEA．
【解答】已知①②，求证：③，
证明：∵DG∥AC，
∴∠DEA＝∠EAC，
∵AF平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠EAC，
∴∠DAE＝∠DEA．
故答案为：①②；③．
【点评】此题主要考查了命题与定理，关键是掌握两直线平行，内错角相等．
22．（10分）平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（3，4），C（3，﹣1）．
（1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点；
（2）若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，写出A1、B1、C1的坐标．
【分析】（1）结合A，B，C三点的坐标可直接在坐标系中标出点，将三点顺次连接可画出△ABC；
（2）先找出A，B，C关于x轴的对称点A′，B′，C′，顺次连接各点得到△A′B′C′．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）如图所示．
【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是根据轴对称变换的定义和性质得出对应点．
23．（12分）如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A所表示的数为m．
（1）实数m的值是 ；
（2）求（m+2）2+|m+1|的值．
（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+4|与互为相反数，求2c+3d+8的平方根．
【分析】（1）根据两点间的距离公式，直接右边的数减去距离即得左边的数；
（2）代入m求值即可；
（3）根据非负数的性质，求得c，d的值，代入即可求解．
【解答】解：（1）（1），
故答案为：；
（2）（m+2）2+|m+1|
＝
＝
＝，
故答案为：．
（3）∵|2c+4|与互为相反数，
∴|2c+4|+＝0，
∵|2c+4|≥0，≥0，
∴|2c+4|＝0，＝0，
∴c＝﹣2，d＝4，
∴2c+3d+8＝2×（﹣2）+3×4+8＝16，
∴．
【点评】本题考查的是两点间的距离公式、非负数的性质，关键是要会理解两点间的距离，最后求的平方根有两个．
24．（12分）对于湘教版数学七年级下册第110页第15题：“如图（第15题图），OB、OD分别平分∠ABD和∠BDC，∠1+∠2＝90°，那么AB与CD有什么关系？试说明理由．”
小亮同学在做完了该题后，与学习小组的同学在“课后服务”进一步开展了探究活动：如图，AB∥CD，OB、OD分别平分∠ABD和∠BDC．
（1）如图1，那么OB与OD有什么关系？试说明理由．
（2）延长BO与CD相交于点E，过点E作EF⊥BE，EF与BD的延长线相交于点F，
①如图1，∠DFE＝28°，小亮发现可以求出∠DEF的大小，请你帮助小亮同学写出求∠DEF的大小的过程．
②如图2，连接OF，点M是EF上一点，∠MOF＝∠MFO，ON平分∠BOM交BD于点N，学习小组的小明同学发现∠FON的大小不变，请你直接写出∠FON的大小是 45° ．
【分析】（1）根据∠1+∠2＝90°可证得∠O＝90°，进而证得OB⊥OD；
（2）①先证明OD∥EF，然后根据平行线的性质证得∠DEF＝∠EDO，∠DFE＝∠BDO，根据角平分线的性质证得∠DEF＝∠DFE即可；
②先根据EF∥OD证得∠MFO＝∠FOD，再由已知∠MOF＝∠MFO证得∠MOF＝∠FOD，根据角平分线的性质得出∠MON＝∠BON，再根据∠FON＝∠MON﹣∠MOF＝∠BON﹣∠FOD即可求出∠FON＝45°．
【解答】解：（1）OB⊥OD，
理由如下：
∵∠1+∠2＝90°，∠1+∠2+∠O＝180°，
∴∠O＝90°，
∴OB⊥OD；
（2）①由（1）可知OB⊥OD，即BE⊥OD，
∵EF⊥BE，
∴EF∥OD，
∴∠DEF＝∠EDO，∠DFE＝∠BDO，
∵∠EDO＝∠BDO，
∴∠DEF＝∠DFE，
∵∠DFE＝28°，
∴∠DEF＝∠DFE＝28°；
②∠FON＝45°，
理由如下：
由①知EF∥OD，
∴∠MFO＝∠FOD，
∵∠MOF＝∠MFO，
∴∠MOF＝∠FOD，
∵ON平分∠BOM，
∴∠MON＝∠BON，
∴∠FON＝∠MON﹣∠MOF＝∠BON﹣∠FOD，
∵∠BON＝90°﹣∠DON，
∴∠FON＝90°﹣（∠DON+∠FOD）＝90°﹣∠FON，
∴∠FON＝45°．
故答案为：45°．
【点评】本题考查了平行线的性质与判定，解题的关键熟练掌握平行线的判定和性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
25．（14分）在数学研究课上，研究小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：
【问题情境】
在平面直角坐标系中有不重合的两点M（x1，y1）和点N（x2，y2），若x1＝x2，则MN∥y轴，且线段MN的长度为|y1﹣y2|若y1＝y2，则MN∥x轴，且线段MN的长度为|x1﹣x2|；
【实践操作】
（1）若点M（﹣1，1）、N（2，1），则MN∥x轴，MN的长度为 3 ；若点M（1，0），且MN∥y轴，且MN＝2，则点N的坐标为 （1，﹣1）或N（1，3） ．
【拓展应用】
（2）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣4，0），B（0，2），C（0，﹣3）．
①如图1，求△ABC的面积；
②如图2，点D在线段AB上，将点D向右平移4个单位长度至E点，若△ACE的面积等于14，求点D坐标．
【分析】（1）根据材料给的与坐标轴平行直线上两点的距离公式求解即可；
（2）①先计算BC，OA，再利用面积公式计算即可；
②设D（m，n），由等积法，得到m＝2n﹣4，再结合图形，利用S△AOC+S△AOE+S△COE＝S△ACE得到点D的坐标．
【解答】解：（1）∵M（﹣1，1），N（2，1），MN∥x，
∴MN＝2﹣（﹣1）＝3，
∵M（1，0），MN∥y轴，
∴|1﹣yN|＝2，
∴yN＝﹣1或yN＝3，N（1，﹣1）或N（1，3）；
故答案为：3；（1，﹣1）或N（1，3）；
（2）①∵A（﹣4，0），B（0，2），C（0，﹣3），
∴BC＝2﹣（﹣3）＝5，OA＝4，，
②连接OD，OE，
设D（m，n），
∵S△AOB＝S△AOD+S△DOB，
∴，
∴m＝2n﹣4，
∵点D向右平移4个单位长度得到E点，
∴E（2n，n），
∵S△AOC+S△AOE+S△COE＝S△ACE，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题是三角形综合题，考查了坐标与图形的性质，平移的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．如图，已知直线b∥c，a⊥b，求证：a⊥c．
证明：
①∵a⊥b（已知），∴∠1＝90°（垂直的定义）．
②又b∥c（已知），∴∠1＝∠2（同位角相等，两直线平行）．
③∴∠2＝∠1＝90°（等量代换）．
④∴a⊥b（垂直的定义）．
如图，已知直线b∥c，a⊥b，求证：a⊥c．
证明：
①∵a⊥b（已知），∴∠1＝90°（垂直的定义）．
②又b∥c（已知），∴∠1＝∠2（同位角相等，两直线平行）．
③∴∠2＝∠1＝90°（等量代换）．
④∴a⊥b（垂直的定义）．