重庆市巴蜀中学校2024届高三下学期高考适应性月考卷（八）数学试卷

这是一份重庆市巴蜀中学校2024届高三下学期高考适应性月考卷（八）数学试卷，共12页。试卷主要包含了双曲线等内容，欢迎下载使用。

1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．集合，，若，则实数（ ）
A．B．0C．D．1
2．已知，，则（ ）
A．3B．C．D．
3．在等差数列中，，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．某班有5名男同学，4名女同学报名参加辩论赛，现从中选取4名同学组成一个辩论队，要求辩论队不能全是男同学也不能全是女同学，则满足要求的辩论队数量是（ ）
A．120B．126C．210D．420
5．已知椭圆的左、右焦点分别是，、P是椭圆C上的动点，且为直角三角形，则满足条件的P点个数是（ ）
A．2B．4C．6D．8
6．已知，，，，则在，，，，，这6个数中最小的是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数的图象与x轴无公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．双曲线（，）的左、右焦点分别是，，P，Q（P在第一象限）是双曲线的一条渐近线与圆的两个交点，点M满足，，其中O是坐标原点，则双曲线的离心率（ ）
A．B．C．2D．3
二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．随机变量X，Y分别服从正态分布和二项分布，即，，则（ ）
A．B．C．D．
10．正方体的棱长为2，球和球的球心，都在线段上，球，球外切，且球，球都在正方体的内部（球可以与正方体的表面相切），记球和球的半径分别为，，则（ ）
A．B．当时，的最大值是
C．的最大值是D．球和球的表面积之和的最大值是
11．已知（，），定义方程表示的是平面直角坐标系中的“方圆系”曲线，记表示“方圆系”曲线所围成的面积，则（ ）
A．“方圆系”曲线是单位圆
B．
C．是单调递减的数列
D．“方圆系”曲线上任意一点到原点的最大距离为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知，则复数________．
13．已知函数的定义域是，，，当时，，则________．
14．已知锐角中角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，，则的取值范围是________．
四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
如图，三棱锥中，，平面．
（1）求证：平面平面；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
16．（本小题满分15分）
函数．
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）令，过点可以作三条直线与曲线相切，求实数m的取值范围．
17．（本小题满分15分）
甲、乙两名同学进行篮球投篮比赛，比赛规则如下：两人投篮的次数之和不超过5，投篮命中则自己得1分，该名同学继续投篮，若投篮未命中则对方得1分，换另外一名同学投篮，比赛结束时分数多的一方获胜，两人总投篮次数不足5但已经可以确定胜负时比赛就结束，两人总投篮次数达到5次时比赛也结束，已知甲、乙两名同学投篮命中的概率都是，甲同学先投篮
（1）求甲同学一共投篮三次，且三次投篮连续的情况下获胜的概率；
（2）求甲同学比赛获胜的概率．
18．（本小题满分17分）
已知抛物线（），O是坐标原点，过的直线与E相交于A，B两点，满足．
（1）求抛物线E的方程；
（2）若在抛物线E上，过的直线交抛物线E于M，N两点，直线，的斜率都存在，分别记为，，求的值．
19．（本小题满分17分）
集合，将集合A中的元素按由小到大的顺序排列成数列，即，，数列的前n项和为．
（1）求，，；
（2）判断672，2024是否是中的项；
（3）求，．
数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
【解析】
1．因为，故．①当时，，则，故不成立；②当时，解得，则，故不成立；③当时，即，则，，故成立，故，故选C．
2．因为，，故，故，故选B．
3．因为，令的公差为d，则，故选D．
4．间接法：总的辩论队数量是，全是男生的辩论队数量是：，全是女生的辩论队数量是，故满足的辩论队数量是：，故选A．
5．①当时，；②当时，；③当时，无解，故一共满足要求的P点个数是4，故选B．
6．因为，，，，则，故，又，，，，，故最小值是，故选C．
7．令，则，当时，与x轴有公共点，故时不成立；当时，，又，故与x轴有公共点，故时不成立；当时，，因为与x轴没有公共点，故时，恒成立，即恒成立，令，，时，，时，，故在上单调递增，在上单调递减，故，故，故选B．
8．因为，，又因为P，Q在渐近线上，故，，又，且，设，则，，故，则，故，又在中：，即，解得，则，解得，故选D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
【解析】
9．根据正态分布的定义得，故A正确；，，故，故B正确；，，故，故C正确；，故D错误，故选ABC．
10．根据正方体的性质得，故A正确；当时，球与正方体内切，当与正方体的三个面相切时半径最大，此时满足，解得，故B错误；对任意的球，球与正方体的三个面相切时半径最大，故当球，球都与正方体的三个面相切时取最大值，即，解得，故的最大值是，故选项C正确；由选项B和选项C知，取最大值，此时，则，当或取得最大值，故选项D错误，故选AC．
11．对应曲线是表示单位圆，故A正确；对应的曲线是，故，，且与不能同时取等号，故，故选项B正确；对应的曲线，令，，因为曲线，则，且，（）对应的曲线，令，，因为曲线，则，且，又，且等号不能同时取得，故，故是单调递增的，故选项C是错误的；对应的曲线是，假设曲线上任意一点，则，令，，则，故，故选项D正确，故选ABD．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
【解析】
12．因为，则，即，则，故答案是．
13．因为，即，又，即，故，故，则，故答案是2．
14．因为，且，故，由正弦定理得：，故．因为是锐角三角形，故，且，故，即，又，令锐角满足，故，，且，故在上单调递增，在上单调递减，故时，取得最大值．又时，，又当时，，故的取值范围是．
四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
（1）证明：因为平面，在平面内，
所以．（2分）
又，，
故平面．（4分）
又在平面内，
故平面平面．（6分）
（2）解：因为，，，
故．
又平面，，
以为x轴正方向，为y轴正方向，过作的平行线为z轴正方向，
建立空间直角坐标系，
则，，，（7分）
设平面的一个法向量为，则，，
因为，，
则令，则，，
则．（9分）
设平面的一个法向量为，则，，
又，，
则令，，，
故（11分）
故与夹角的余弦值，
故，故二面角的正弦值．（13分）
16．（本小题满分15分）
解：（1）因为，
则，（1分）
故当时，，
当时，，当时，，（3分）
则在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故的单调递增区间是，，单调递减区间是，（4分）
故在处取得极大值，在处取得极小值．（6分）
（2）设切点，
因为，则，（7分）
则切线的斜率，
化简得：．（8分）
因为过点可以作三条直线与曲线相切，
故有三个不同的实根，即有三个零点．（9分）
令，则，
由（1）知：则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，（10分）
又，．
①当时，时，，故至多一个零点，不满足；
②当时，时，，故至多一个零点，不满足；
③当，时，有唯一零点，在上单调递增，故在区间至多一个零点，故至多两个零点，不满足；
④当，时，有唯一零点，在上单调递增，故在区间上至多一个零点，故至多两个零点，不满足；
⑤当，，即时，
因为，，
故存在，，使得，，
故成立，
综上所述：实数m的取值范围是．（15分）
17．（本小题满分15分）
解：（1）用A表示甲投篮命中，表示甲投篮未命中，
用B表示乙投篮命中，表示乙投篮未命中，
记甲同学连续投篮了三次并赢得了比赛的事件为M，（2分）
则．（5分）
（2）①剩余两次投篮，甲、乙比分3：0获胜的概率是；（7分）
②剩余一次投篮，甲、乙比分3：1获胜的概率是：
（也可用）；（10分）
③不剩余投篮，前4次投篮甲、乙比分2：2获胜的概率是：
（也可用），
故甲获胜的概率是．（15分）
18．（本小题满分17分）
解：（1）当直线的斜率为0时不成立，
设的直线方程为：，，，（2分）
联立抛物线得：消去x得：，故．（4分）
又，，故，
又，则，
故，解得，（6分）
故抛物线E的方程是：．（7分）
（2）因为，在抛物线上，故，则．（8分）
当直线的斜率为0时不成立，
设的直线为，，，（9分）
联立抛物线得：消去x得：，
则，，（11分）
因为，，（14分）
则，
故的值为．（17分）
19．（本小题满分17分）
解：（1），
，
．（3分）
（2），
故，则672是数列的项；（5分）
．
令，则，故，
故2024不是中的项．（8分）
（3）当时在集合A中有个元素，
当时在集合A中有个元素，
……
当时在集合A中有个元素，
则集合A一共有个元素，（10分）
故有项，
当时在集合A中的个元素中最小的元素是，
最大元素是（），
故的元素在中最大项是（），最小项是；
令，则共有项，（12分）
则恰好是的元素在中的最大项，
则；（13分）
令，则一共有项，
记表示集合A中的元素之和，则，
因为集合A中的元素有个，
这些元素中含的个数是，含的个数都是，（15分）
故，则：
，
，
，
，
，
故．
故，．（17分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
D
A
B
C
B
D
题号
9
10
11
答案
ABC
AC
ABD
题号
12
13
14
答案
2