2024年甘肃省金昌市永昌六中九年级中考第一次仿真模拟考试 数学模拟预测题（原卷版+解析版）

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考生注意：本试卷共120分，考试时间120分钟．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1. 与2024互为相反数是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，根据只有符号不同的两个数是互为相反数解答即可．
【详解】解：2024互为相反数是．
故选B．
2. 据国家统计局数据，2023年中国国内生产总值约1260000亿元．将1260000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：将1260000用科学记数法表示为．
故选：D．
3. 如图，三角板的直角顶点在直尺的一边上．若，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图所示，根据，先算出的度数，根据邻补角再算出的度数，根据三角形内角和即可求解．
【详解】解：如图所示，
直尺中，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查平行线，邻补角，三角形内角和的综合，掌握平行线的性质，三角形的内角和定理是解题的关键．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项法则、幂的运算法则、完全平方公式和同底数幂的除法运算法则逐项判断即可解答．
【详解】解：A、和不是同类项，不能加减，故原计算错误，不符合题意；
B、，计算正确，符合题意；
C、，故原计算错误，不符合题意；
D、，故原计算错误，不符合题意；
故选：B．
5. 如图所示，该几何体的俯视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：从上边看是一些等宽的矩形，其中有两条宽是虚线，
故选：C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
6. 不等式组的解在数轴上表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先解每一个不等式，再根据结果判断数轴表示的正确方法．
【详解】解：由不等式①，得3x＞5-2，解得x＞1，
由不等式②，得-2x≥1-5，解得x≤2，
∴数轴表示的正确方法为C．
故选：C．
【点睛】考核知识点：解不等式组.
7. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响．该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问有多少人?该物品价几何?设有x人．物品价值y元，则列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意找到等量关系：人数×8−3＝物品价值；人数×7＋4＝物品价值，把等量关系用方程组表示出来即可．
【详解】解：设有人，物品价值元，由题意得：
，
故选：D．
【点睛】此题主要考查二元一次方程组解决实际应用题，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
8. 如图，在中，，，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由，得，进而即可求解．
【详解】解：∵在中，，，，，
∴，即：，
∴AE=4，
故选B．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，列出比例式，是解题的关键．
9. 如图，BC是⊙O的切线，点C为切点，连接BO并延长交⊙O线于点A，连接AC，OC，若∠A＝32°，则∠B的度数等于（ ）
A. 22°B. 26°C. 30°D. 64°
【答案】B
【解析】
【分析】先根据圆周角定理求出，再根据切线的性质得到，然后根据直角三角形的两锐角互余即可得．
详解】解：由圆周角定理得：，
是的切线，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的性质等知识点，熟练掌握圆周角定理和圆的切线的性质是解题关键．
10. 如图，在矩形ABCD中，，．点P从点A出发，以2cm/s的速度在矩形的边上沿运动，当点P与点D重合时停止运动．设运动的时间为（单位：s），的面积为S（单位：），则S随t变化的函数图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分点P在AB上运动, 0≤t≤4；点P在BC上运动, 4＜t≤7；点P在CD上运动, 7＜t≤11，分别计算即可
【详解】当点P在AB上运动时, S==6t，0≤t≤4；
当点P在BC上运动时, S==24，4＜t≤7；
点P在CD上运动, S=， 7＜t≤11，
故选D．
【点睛】本题考查了矩形中的动点面积函数图像问题，正确进行分类，清楚函数图像的性质是解题的关键．
二、填空题：本大题共8小题，每题3分，共24分．
11. 的平方根是_______．
【答案】±2
【解析】
【详解】解：∵
∴的平方根是±2．
故答案为±2．
12. 因式分解： ________________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了提取公因式法与公式法的综合运用，正确运用平方差公式是解题关键．首先提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
13. 若关于x一元二次方程有实数根，则k的取值范围是_______．
【答案】且
【解析】
【分析】先根据一元二次方程定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴且，
解得且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
14. 若二次函数的图象经过点，则________．
【答案】2025
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，将点代入可得，进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：依题意得：，
即：，
，
故答案为：2025．
15. 如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】##
【解析】
【分析】延长FA交⊙A于G，如图所示：根据六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，利用外角和求得∠GAB=，再求出正六边形内角∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°， 利用扇形面积公式代入数值计算即可．
【详解】解：延长FA交⊙A于G，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，
∴∠GAB=，
∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，
∴，
故答案为．
【点睛】本题主要考查扇形面积计算及正多边形的性质，熟练掌握扇形面积计算及正多边形的性质是解题的关键．
16. 如图是某风景区的一个圆拱形门，路面宽为，净高，则圆形拱门所在圆的半径为_____．
【答案】
【解析】
【分析】如图所示，连接，设⊙O的半径为r，则，利用垂径定理得到，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，设⊙O的半径为r，则，
∵，
∴，
由勾股定理，得：，即：，
解得，
∴圆拱形门所在圆的半径为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
17. 如图，在矩形中，点在边上，沿折叠矩形，使点落在边上的点处，若，，则的值为___.
【答案】##0.75
【解析】
【分析】此题考查了折叠的性质，矩形的性质以及三角函数的定义．解此题的关键是转化思想的应用．由四边形是矩形，可得：，，，由折叠的性质可得：，，由同角的余角相等，即可得，然后在中，即可求得答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
由题意得：，，
∴，，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴．
故答案为．
18. 已知，当分别取，，，……，时，所对应值的总和是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值、绝对值运算等知识点，掌握二次根式的化简方法是解题关键．先化简二次根式求出的表达式，再将的取值依次代入，然后求和即可得．
【详解】解：，
当时，，
当时，，
则所求的总和为：
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，共26分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】原式根据算术平方根的意义，负整数指数幂，特殊角三角函数值以及绝对值的代数意义进行化简各项后，再进行加减运算即可得到答案．
【详解】解：
【点睛】此题主要考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
20 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，再代入计算即可，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
，
将代入得，原式．
21. 如图，已知锐角三角形，．
（1）尺规作图：
①作的垂直平分线l；
②作的平分线，且交于点M．
（2）若l与交于点P，，求的度数．
【答案】（1）①作图见解析，②作图见解析，（2）
【解析】
【分析】（1）①根据尺规作图作BC的垂直平分线l即可；②根据尺规作图作∠B的平分线BM即可；
（2）根据垂直平分线和角平分线的性质即可求解．
【详解】解：（1）①如图直线l为所求作的图形；②射线为所求作图形．
（2）∵BC的垂直平分线为l，
∴PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB＝32°，
∵BM平分∠ABC，
∠ABP＝∠CBP＝32°，
∵∠A＝60°，
∴．
【点睛】本题考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握尺规作图的方法和线段垂直平分线、角平分线的性质．
22. 永昌钟鼓楼位于甘肃省金昌市永昌县城中心．它是永昌历史文化的象征，是永昌的标志性建筑．整个建筑结构严谨、雄伟壮观，是河西走廊重要的古建筑之一．金昌市某校学生开展测量鼓楼高度的“数学综合与实践”活动，测量实践报告如下表：
根据上表中的测量方案及其数据，计算鼓楼的高度（结果保留整数）．
【答案】鼓楼的高度约为24米
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，利用正切定义分别求得，，然后利用列方程求解即可．
【详解】解：由题意，，
在中，，则，
在中，，则，
∴，
解得（米），
答：鼓楼的高度约为24米．
23. 为大力弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神，我市某社区开展了“文明新风进社区”系列志愿服务活动，参加活动的每位志愿者必须从A．“垃圾分类入户宣传”、B．“消防安全知识宣传”、C．“走访慰问孤寡老人”、D．“社区环境整治活动”四个活动主题中随机选取一个主题中随机选取一个主题．
（1）志愿者小李选取A．“垃圾分类入户宣传”这个主题的概率是 ．
（2）志愿者小张和小李从A、B、C、D四个主题中分别随机选取一个主题，请用列表或画树状图的方法，求他们选取相同主题的概率．
【答案】（1）；
（2）作图见解析，
【解析】
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，小张和小李选择相同主题的结果有4种，由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：由题意知志愿者小李选取A．“垃圾分类入户宣传”这个主题的概率是
故答案为：．
【小问2详解】
解：画树状图如图：
由图可知，共有16种等可能的结果，小张和小李选择相同主题的结果有共4种，可知小张和小李选择相同主题的概率为
∴小张和小李选择相同主题的概率为．
【点睛】本题考查了树状图求概率．解题的关键在于正确的列出所有情况．
四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
24. 为了落实“双减”政策，学校组织各种社团活动，丰富孩子们的课余生活．为了解该校全体学生参加该学校五个社团的意愿，随机抽取了名学生进行问卷调查，每人只能从中选择一个社团，现将问卷调查结果绘制成不完整的统计图表．

请你根据以上信息结合统计图解答下列问题：
（1）填空：______；______；扇形统计图中扇形B的圆心角是 度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校有名学生，估计全校约有多少名学生愿意参加手工制作社团？
【答案】（1）12，10，108
（2）见解析 （3）960名
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图和条形统计图的关联、用样本估计总体，看懂统计图并获取有用信息是解答的关键．
（1）先由乒乓球社团人数乘以其所占的百分比求得调查人数，再由调查人数乘以架子鼓社团的百分比可求得m值；由扇形统计图中其他社团的百分比可求得p值，由乘以架子鼓社团所占的百分比可求解圆心角的度数；
（2）先求得播音主持社团的人数，再补全条形统计图即可；
（3）用该校总人数乘以样本中参加手工制作社团的百分比即可求解．
【小问1详解】
解：调查人数为（名），（名），
，则，
扇形B的圆心角是，
故答案为：12，10，108；
【小问2详解】
解：（名），
补全条形统计图如图：
【小问3详解】
解：（名），
答：估计全校约有960名学生愿意参加手工制作社团．
25. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）若点P是y轴正半轴上一点，连接PA，PB，的面积是的面积的5倍，求点P的坐标．
【答案】（1）反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为
（2）
【解析】
【分析】（1）把代入，求得，把代入，求得，得，把代入，求出的值即可；
（2）求出点的坐标，得出，根据列出关于的方程，求出的值即可
【小问1详解】
把代入，得，
∴
∴反比例函数的解析式为
把代入，得，
∴
把代入，得，
解得，
∴一次函数的解析式为
【小问2详解】
对于，令，则；，则
∴
∴
设，如图，
∵
∴
解得，
∴
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，以及数形结合思想的运用．
26. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线EF，交AB和AC的延长线于E、F．
（1）求证：FE⊥AB；
（2）当AE＝6，sin∠CFD＝时，求EB的长．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）先证明OD∥AB，得出∠ODF＝∠AEF，再由切线的性质得出∠ODF＝90°，证出∠AEF＝90°，即可得出结论；
（2）设OA＝OD＝OC＝r，先由三角函数求出AF，再证明△ODF∽△AEF，得出对应边成比例求出半径，得出AB，即可求出EB．
【详解】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B，
∴∠ODC＝∠B，
∴OD∥AB，
∴∠ODF＝∠AEF，
∵EF与⊙O相切，
∴OD⊥EF，
∴∠ODF＝90°，
∴∠AEF＝∠ODF＝90°，
∴EF⊥AB；
（2）解：设OA＝OD＝OC＝r，
由（1）知：OD∥AB，OD⊥EF，
在Rt△AEF中，sin∠CFD＝，AE＝6，
∴AF＝10，
∵OD∥AB，
∴△ODF∽△AEF，
∴
∴
解得r＝，
∴AB＝AC＝2r＝，
∴EB＝AB﹣AE＝﹣6＝．
【点睛】本题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形；熟练掌握切线的性质，并能进行有关推理计算是解决问题的关键．
27. 【问题情境】
小睿遇到这样一个问题：如图1，在中，点D在线段上，，，，，求的长．
【问题探究】
小睿发现，过点C作，交的延长线于点E，经过推理和计算能够使问题得到解决，如图2．
（1）①的度数为______；②求的长；
【问题拓展】
（2）如图3，在四边形中，，，，与交于点E，，，求的长．
【答案】（1）①；②6；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识点，正确画出辅助线、构造直角三角形求解是解题的关键．
（1）①根据“两直线平行，同旁内角互补”即可解答；②通过证明得出，然后代入数据进行计算，再可得出，即可解答；
（2）过点D作于点F，先证明，得出，再证明，根据在中解直角三角形即可解答．
【详解】解：（1）①∵，，
∴，
∵，
∴，则；
故答案为：；
②∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：过点D作于点F．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
在中，，
∴，，
∴．
28. 如图，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C，直线过B、C两点，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：；
（3）点是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求的最小值．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）先利用直线得到点B和点C的坐标，利用待定系数法求解；
（2）根据解析式求得点A的坐标，求出两个三角形的边长，根据两组对应边成比例夹角相等求证；
（3）设点D的坐标为，将线段DE的长用函数关系式表示为顶点式形式，利用函数的性质得到当时，线段DE的长度最大，得到点D的坐标，再利用轴对称及勾股定理求出答案即可．
【详解】（1）解：∵直线分别与轴和轴交于点B和点C，
∴点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），
把，分别代入，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）∵抛物线与x轴交于点A，
∴，
解得，，
∴点A的坐标为，
∴，，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
（3）设点D的坐标为
则点E的坐标为
∴
=
∵，
∴当时，线段DE的长度最大．
此时，点D的坐标为，
∵，
∴点C和点M关于对称轴对称，
连接CD交对称轴于点P，此时最小．
连接CM交直线DE于点F，则，点F的坐标为，
∴，
∵
∴的最小值．
．
【点睛】此题考查的是二次函数的综合知识，利用待定系数法求函数解析式，函数图象与坐标轴的交点问题，函数的最值问题，轴对称的性质，勾股定理，证明两个三角形相似，熟练掌握各知识点是解题的关键．
活动课题
测量鼓楼高度
活动目的
运用三角函数知识解决实际问题
活动工具
测角仪、皮尺等测量工具
方案示意图
测量步骤
（1）利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为；
（2）前进了14米到达A处（点A，B，O在同一水平线上，测角仪高度忽略不计），在A处测得P点的仰角为．
测量数据
，，米
参考数据
，，，，，．
社团名称
A（乒乓球）
B（架子鼓）
C（手工制作）
D（播音主持）
E（舞蹈）
人数/人
4
m
16
n
4