2024年山东省泰安市新泰市中考第一次模拟考试数学模拟预测题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.
3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分，每小题只有一个选项符合题目要求.
1. 下列各数中，最小的数是（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值的意义，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键．根据正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小比较即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
∴最小的数是．
故选A．
2. 据报道，2023年“十一”假期全国国内旅游出游合计826000000人次．数字826000000用科学记数法表示是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：826000000；
故选B．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查整式的乘法．根据合并同类项法则，多项式乘多项式法则及平方差公式，完全平方公式逐项判断．
【详解】解：，故A选项不符合题意；
，故B选项不符合题意；
，故C选项不符合题意；
，故D选项符合题意；
故选：D．
4. 不等式组的解集中，整数解有（ ）个．
A. 5B. 8C. 6D. 7
【答案】D
【解析】
【详解】分析：先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，找出不等式组的整数解即可．
详解：解不等式 得：x＞﹣2，
解不等式5﹣x≥0得：x≤5，
∴不等式组的解集是﹣2＜x≤5，整数解为－1，0，1，2，3，4，5，共7个．
故选D．
点睛：本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组的应用，解答此题的关键是求出不等式组的解集．
5. 如图，直线m∥n，∠1=70°，∠2=30°，则∠A等于（ ）

A. 30°B. 35°C. 40°D. 50°
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：已知m∥n，根据平行线的性质可得∠3＝∠1＝70°.又因∠3是△ABD的一个外角，可得∠3＝∠2＋∠A.即∠A＝∠3－∠2＝70°－30°＝40°.故答案选C.

考点：平行线的性质.
6. 小明调查了班级里20位同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成了如图的统计图．在这20位同学中，本学期购买课外书的花费的众数和中位数分别是（ ）
A. 50，50B. 50，30C. 80，50D. 30，50
【答案】A
【解析】
【详解】分析：根据扇形统计图分别求出购买课外书花费分别为100、80、50、30、20元的同学人数，再根据众数、中位数的定义即可求解．
详解：由扇形统计图可知，购买课外书花费为100元的同学有：20×10%=2（人），购买课外书花费为80元的同学有：20×25%=5（人），购买课外书花费为50元的同学有：20×40%=8（人），购买课外书花费为30元的同学有：20×20%=4（人），购买课外书花费为20元的同学有：20×5%=1（人），20个数据为100，100，80，80，80，80，80，50，50，50，50，50，50，50，50，30，30，30，30，20，在这20位同学中，本学期计划购买课外书的花费的众数为50元，中位数为（50+50）÷2=50（元）．
故选A．
点睛：本题考查了扇形统计图，平均数，中位数与众数，注意掌握通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．
7. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以A、C为圆心，大于AC长的一半为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别相交于点D、E，连接AE，当AB＝3，AC＝5时，△ABE周长为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】先利用勾股定理可得 BC=4 ，再根据线段垂直平分线的判定与性质可得 AE=CE ，然后根据三角形的周长公式即可得．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，
∴BC＝＝＝4．
∵由作图的步骤可知，DE是线段AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴△ABE周长＝AB+（AE+BE）＝AB+（CE+BE）＝AB+BC＝3+4＝7．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理、线段垂直平分线的判定与性质等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的判定与性质是解题关键．
8. 电力公司在农村电网改造升级工程中把某一输电线铁塔建在了一个坡度为1：0.75的山坡的平台上（如图），测得，米，米，米，则铁塔的高度约为（参考数据：，，）（ ）
A. 32.5米B. 27.5米C. 30.5米D. 58.5米
【答案】C
【解析】
【分析】延长AB交ED于G，过C作CF⊥DE于F，得到GF=BC=5，设DF=3k，CF=4k，解直角三角形即可得到答案．
【详解】解：如图，延长AB交ED于G，过C作CF⊥DE于F，
∴（米），
∵山坡的坡度为1：0.75，
∴设DF=3k，CF=4k，
∴由勾股定理得：（米），
∴（米），
∴米，米，
∴米，
∵，
∴米，
∴米．
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形应用一坡度坡角问题和勾股定理，难度适中，通过作辅助线，构造直角三角形，利用三角函数求解是解题的关键．
9. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(x＞0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是( )
A. B. 10C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：∵正方形OABC边长是6，∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6，∴M（6，），N（，6），∴BN=6﹣，BM=6﹣．∵△OMN的面积为10，∴6×6﹣×6×﹣×6×﹣×=10，∴k=24，∴M（6，4），N（4，6）．作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长=PM+PN的最小值．∵AM=AM′=4，∴BM′=10，BN=2，∴NM′= = =．故选C．
10. 如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：①时，根据，列出函数关系式，从而得到函数图象；②时，根据列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．
【详解】①当时，
∵正方形的边长为，
∴；
②当时，
，
所以，与之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合，
故选A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键．
11. “行人守法，安全过街”体现了对生命的尊重，也体现了公民的文明素质，更反映了城市的文明程度．在某路口的斑马线路段横穿双向车道，其中，米，在人行绿灯亮时，小刚共用时10秒通过，其中通过的速度是通过的1.3倍，求小刚通过的速度．设小刚通过的速度为米/秒，则根据题意列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由通过BC的速度是通过AB的1.3倍可得出小刚通过BC的速度为1.3x米/秒，利用时间=路程÷速度，结合小刚共用时10秒通过AC，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：∵AB=2BC=10米，
∴BC=5米．
∵小刚通过AB的速度为x米/秒，通过BC的速度是通过AB的1.3倍，
∴小刚通过BC的速度为1.3x米/秒．
又∵小刚共用时10秒通过AC，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分成方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
12. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点、，点、分别是正方形的边、上的动点，且，过原点作，垂足为，连接、，则面积的最大值为（ ）
A. B. 12C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先证明ON=CN，再证点H在以ON直径的圆上运动，则当点H在QM的延长线上时，点H到AB的距离最大，由相似三角形的性质可求MK，KQ的长，由三角形的面积公式可求解．
【详解】解：如图，连接AD，交EF于N，连接OC，取ON的中点M，连接MH，过点M作MQ⊥AB于Q，交AO于点K，作MP⊥OA与点P，
∵直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，
∴点A（4，0），点B（0，-3），
∴OB=3，OA=4，
∴，
∵四边形ACDO是正方形，
∴OD//AC，AO=AC=OD=4，OC=4，∠COA=45°，
∴∠EDN=∠NAF，∠DEN=∠AFN，
又∵DE=AF，
∴△DEN≌△AFN（ASA），
∴DN=AN，EN=NF，
∴点N是AD的中点，即点N是OC的中点，
∴ON=NC=2，
∵OH⊥EF，
∴∠OHN=90°，
∴点H在以ON直径的圆上运动，
∴当点H在QM的延长线上时，点H到AB的距离最大，
∵点M是ON的中点，
∴OM=MN=，
∵MP⊥OP，∠COA=45°，
∴OP=MP=1，
∴AP=3，
∵∠OAB+∠OBA=90°=∠OAB+∠AKQ，
∴∠AKQ=∠ABO=∠MKP，
又∵∠AOB=∠MPK=90°，
∴△MPK∽△AOB，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵∠AKQ=∠ABO，∠OAB=∠KAQ，
∴△AKQ∽△ABO，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点H到AB的最大距离为，
∴△HAB面积的最大值，
故选：D．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的应用等知识，求出MQ的长是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．直接填写答案．
13. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式9，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
【详解】原式=
故答案为：
14. 一个玻璃球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．已知每块地砖的大小、质地完全相同，则该玻璃球停留在白色区域的概率是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了几何概率，用白色区域面积整个图形的面积即可求解．
【详解】解：如图，设每个小正方形的边长为1，
整个图形的面积，
白色区域的面积，
玻璃球停留在白色区域的概率为，
故答案为：．
15. 已知是到之间的一个整数，的相反数是它本身，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算，相反数的概念，代数式求值，零指数幂，首先根据无理数的估算求出，根据相反数的概念求出，然后代入求解即可．
【详解】∵
∴
∵是到之间的一个整数，
∴
∵的相反数是它本身，
∴
∴．
故答案为：．
16. 如图，在线段AB上取一点C，分别以AC，BC为边长作菱形BCFG和菱形ACDE，使点D在边CF上，连接EG，H是EG的中点，且，则EG的长是________．
【答案】10
【解析】
【分析】连接CE、CG，先由菱形的性质得∠DCE＝∠ACD，∠FCG＝∠BCF，则∠DCE+∠FCG＝90°，即∠ECG＝90°，然后由直角三角形斜边上的中线性质求解即可．
【详解】解：连接CE、CG，如图所示：
∵四边形ACDE与四边形BCFG均是菱形，
∴∠DCE＝∠ACD，∠FCG＝∠BCF，
∵∠ACD+∠BCF＝180°，
∴∠DCE+∠FCG＝（∠ACD+∠BCF）＝×180°＝90°，
即∠ECG＝90°，
∵H是EG的中点，CH＝5，
∴EG＝2CH＝10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查的是菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线性质求解是解答此题的关键．
17. 如图，等腰的底边长为6，面积是30，腰的垂直平分线分别交，边于点E，F，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为______．
【答案】13
【解析】
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是的垂直平分线可知，故的长为的最小值，由此即可得出结论．
【详解】连接，，
是等腰三角形，点D为边的中点，
，
的底边长为6，面积是30，
，
，
是的垂直平分线，
，
的长为的最小值，
的周长最短．
故答案为：13．
18. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，过作x轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作x轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作x轴的垂线，垂足为…按此规律，则点的纵坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】联立直线与直线的表达式并解得，故，，依次求出：点的纵坐标为、的纵坐标为，即可求解，找出规律即可求得答案．
【详解】解：由解得，
，；
点，，
设直线的表达式为：，
将点坐标代入上式解得，
直线的表达式为：，
由解得，
，，
，，
设直线的表达式为：，
将点坐标代入上式解得，
直线的表达式为：，
同理可得的纵坐标为，
按此规律，则点的纵坐标为，
∴点的纵坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了两直线的交点，要求利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，一次函数与二元一次方程组之间的内在联系．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 先化简，再求值：，其中x满足x2－2x－2=0.
【答案】；
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由x2-2x-2=0得x2=2x+2=2（x+1），整体代入计算可得．
【详解】解：原式=
=
=，
∵x2-2x-2=0，
∴x2=2x+2=2（x+1），
∴原式=
．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
20. 如图所示，直线与反比例函数的图像交于点，，与坐标轴交于A、B两点．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）观察图像，当时，直接写出不等式的解集；
（3）将直线向下平移n个单位，若直线与反比例函数的图像有唯一交点，求n的值．
【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为
（2）当时，不等式的解集为或
（3）n的值为1
【解析】
【分析】（1）把代入，求出，得到反比例函数的解析式，把点代入反比例函数解析式，求出，即，再将P、Q两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）根据P、Q两点的坐标以及两个函数的图象，即可得出结论；
（3）先根据平移的规律得出直线向下平移n个单位后直线的解析式，再根据此时它与反比例函数的图象有唯一交点，得出判别式，进而求解即可．
【小问1详解】
把代入得：
∴反比例函数的解析式为
把点代入得：
解得
∴
把，分别代入得
解得：
∴一次函数的解析式为
【小问2详解】
根据图像可得当时，不等式
当时，不等式
故当时，不等式的解集为或
【小问3详解】
将直线向下平移n个单位后，直线的解析式为
∵直线与反比例函数有唯一交点，
∴方程有唯一解
整理得：
∴
解之得：，（舍去）．
∴n的值为1．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，一次函数与几何变换，利用数形结合与方程思想是解题的关键．
21. 随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了_______人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为_______；
（2）将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的“众数”是“_______”；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
【答案】（1）200、81°；（2）补图见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数，再用360°乘以“支付宝”人数所占比例即可得；
（2）用总人数乘以对应百分比可得微信、银行卡的人数，从而补全图形，再根据众数的定义求解可得；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）本次活动调查的总人数为（45+50+15）÷（1﹣15%﹣30%）=200人，
则表示“支付宝”支付扇形圆心角的度数为360°×=81°，
故答案为200、81°；
（2）微信人数为200×30%=60人，银行卡人数为200×15%=30人，
补全图形如下：
由条形图知，支付方式的“众数”是“微信”，
故答案为微信；
（3）将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，
画树状图如下：
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，
∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为=．
【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22. 为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有两种型号的挖掘机,已知3台型和5台型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台型和7台型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台型挖掘机一小时的施工费用为300元,每台型挖掘机一小时的施工费用为180元．
(1)分别求每台型, 型挖掘机一小时挖土多少立方米?
(2)若不同数量的型和型挖掘机共12台同时施工4小时,至少完成1080立方米的挖土量,且总费用不超过12960元．问施工时有哪几种调配方案,并指出哪种调配方案的施工费用最低,最低费用是多少元?
【答案】（1）每台型挖掘机一小时挖土30立方米,每台型挖据机一小时挖土15立方米；
（2）共有三种调配方案．方案一: 型挖据机7台,型挖掘机5台；方案二: 型挖掘机8台,型挖掘机4台；方案三: 型挖掘机9台,型挖掘机3台．当A型挖掘机7台, 型挖掘机5台的施工费用最低,最低费用为12000元．
【解析】
【详解】分析：（1）根据题意列出方程组即可；
（2）利用总费用不超过12960元求出方案数量，再利用一次函数增减性求出最低费用．
详解：(1)设每台型,型挖掘机一小时分别挖土立方米和立方米,根据题意,得
解得
所以,每台型挖掘机一小时挖土30立方米,每台型挖据机一小时挖土15立方米．
(2)设型挖掘机有台,总费用为元,则型挖据机有台．根据题意,得
，
因为，解得，
又因为,解得,所以．
所以,共有三种调配方案．
方案一:当时, ,即型挖据机7台,型挖掘机5台；
方案二:当时, ,即型挖掘机8台,型挖掘机4台；
方案三:当时, ,即型挖掘机9台,型挖掘机3台．
,由一次函数的性质可知,随的减小而减小,
当时，，
此时型挖掘机7台, 型挖掘机5台的施工费用最低,最低费用为12000元．
点睛：本题考查了二元一次方程组和一次函数增减性，解答时先根据题意确定自变量取值范围，再应用一次函数性质解答问题．
23. 如图1，在中，，D，E两点分别在上，且，将绕点A顺时针旋转，记旋转角为．
（1）问题发现 当时，线段的数量关系是 ；
（2）拓展探究 当时，（1）中的结论有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
（3）问题解决 设，旋转至A，B，E三点共线时，直接写出线段的长．
【答案】（1）
（2）不变，见解析 （3）4或2
【解析】
【分析】（1）利用平行线的性质，根据等角对等边证明AD＝AE即可解决问题；
（2）结论不变，只要证明即可；
（3）分两种情形画出图形求解即可；
【小问1详解】
解：如图1中，
∵
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
故答案为．
【小问2详解】
解：如图2中，结论不变．
理由：∵ ，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：如图3中，∵都是等腰直角三角形，
∴，，
当点E在BA的延长线上时，4．
如图4中，当点E在线段AB上时，2．
综上所述，BE的长为4或2．
【点睛】本题考查几何变换综合题、等腰三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
24. 如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线经过、、三点．
（1）求抛物线的函数解析式
（2）如图2，点D为抛物线的顶点，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．如果P点的坐标为，的面积为S，求S与x之间的函数关系式（不用写出自变量x的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把沿直线EF折叠，点P的对应点为点，求出的坐标．
【答案】（1）y=－x2－2x+3；（2）S=－x2－3x；（3）P′（，）
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）求出顶点坐标，根据待定系数法求出直线的解析式，则P（x，2x+6），然后根据三角形面积公式表示即可；
（3）根据（2）中关系式，可得当x=－时，S取最大值，则P（－，3），然后根据对称的性质进行解答即可．
【详解】（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（－3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点
∴
解得
∴解析式为y=－x2－2x+3；
（2）∵－x2－2x+3=－（x+1）2+4，
∴抛物线顶点坐标D为（－1，4）．
∵A（－3，0），D（－1，4），
∴设AD为解析式为y=kx+b，有，
解得，
∴AD解析式：y=2x+6，
∵P在AD上，
∴P（x，2x+6），
∴S△APE=PE×yP=（－x）（2x+6）=－x2－3x，
∴S=－x2－3x；
（3）如图1，设P′F与y轴交于点N，过 P′作P′M⊥y轴于点M，
∵S=－x2－3x=
∴当x=－时，S取最大值．
∴P（－，3）
∵△PEF沿EF翻折得△P′EF，且P（－，3），
∴∠PFE=∠P′FE，PF=P′F=3，PE=P′E=，
∵PF∥y轴，
∴∠PFE=∠FEN，
∵∠PFE=∠P′FE，
∴∠FEN=∠P′FE，
∴EN=FN
设EN=m，则FN=m，P′N=3－m，
在Rt△P′EN中，
∵
∴m=
∵S△P′EN=P′N·P′E=EN·P′M
∴P′M=．
在Rt△EMP′中，
∵EM=，
∴OM=EO－EM=，
∴P′（，）．
【点睛】本题考查了二次函数的综合－面积问题，待定系数法求二次函数解析式以及一次函数解析式，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的性质式解本题的关键．