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吉林省白城市通榆县育才学校2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）
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数学试题
本试卷包括六大道题，共26道小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1. 下列式子中是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
【详解】解：A． 不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
B． 属于最简二次根式，故本选项符合题意；
C． 不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
D． 不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
2. 如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理等知识，理解实数与数轴的关系是解题的关键．根据勾股定理可求出圆的半径，进而得到点A到表示1的点的距离，再根据点A的位置确定点A所表示的数．
【详解】解：根据勾股定理可得圆的半径为：，即点A到表示的点的距离为，
∵点A在表示1的点的左侧，
∴点A所表示数为：，
故选：B．
3. 满足下列条件的不是直角三角形的是（ ）
A. ，，B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握直角三角形的判定方法是解题的关键，主要有勾股定理的逆定理，有一个角为直角的三角形．根据勾股定理的逆定理可判定、，由三角形内角和可判定、，可得出答案．
【详解】解：、当，，时，
满足，
所以为直角三角形；
B、当：：：：时，
设，，，
满足，
所以为直角三角形；
C、当时，且，
所以，所以为直角三角形；
D、当：：：：时，可设，，，
由三角形内角和定理可得，解得，
所以，，，
所以为锐角三角形，
故选D．
4. 若x为实数，在“□x”的“□中添上一种运算符号（在“，，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的运算，分母有理化，依据题意对每个选项进行逐一判断是解题的关键．依据题意对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：当时，“□”中添上“−”，
则，其运算的结果为有理数，
∴A选项不符合题意；
当时，“□”中添上“−”，
则，其运算的结果为有理数，
∴B选项不符合题意；
当时，“□”中添上“+”，
则，其运算的结果为有理数，
∴C选项不符合题意，
当时，“□”中添上“+”，
则，其运算的结果为无理数，
当时，“□”中添上“−”，
则，其运算的结果为无理数，
当时，“□”中添上“×”，
则，其运算的结果为无理数，
当时，“□”中添上“÷”，
则，其运算的结果为无理数，
∴D选项符合题意；
故选：D．
5. 如图，这是嘉嘉的一次作业，若每道题25分，则该次作业嘉嘉的得分为（ ）
A. 25分B. 50分C. 75分D. 100分
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知二次根式的四则运算法则是解题的关键．
【详解】解：①，计算错误，不得分；
②，计算正确，得25分；
③，计算错误，不得分；
④，计算正确，得25分；
∴该次作业嘉嘉的得分为50分，
故选：B．
6. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“秋千静止的时候，踏板高地1尺，将它往前推送两步（两步=10尺）时，此时踏板升高到离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长?”如图，若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了考差了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、 的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．设秋千的绳索长为 尺，根据题意可得尺，利用勾股定理可得方程．
【详解】解：设秋千的绳索长为 尺，根据题意可列方程为：．
故选：C
二、填空题（每小题3分，共24分）
7. 计算：_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的加减运算，理解二次根式的性质，准确化简各数是解题关键．
直接根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：
故答案为：．
8. 比较大小：________．（用、或连接）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式 的大小比较，熟练掌握二次根式的大小比较的方法是解答的关键．将根号外的正因数平方后移到根号内，计算出被开方数，再比较被开方数的大小，即可得到答案．
【详解】解：，，且，
，即，
故答案为：．
9. 使式子有意义的x的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式，分式有意义的条件，关键是掌握二次根式的被开方数是非负数，分母不为0．根据二次根式，分式有意义的条件可得，且，再求解即可．
【详解】解：∵有意义，
∴，且，
解得：且，
故答案为：且．
10. 已知点A，B，C在数轴上的位置如图所示，点A表示的数是，点B是的中点，线段，则点C表示的数是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用数轴上的点表示实数，数轴上点之间的距离，二次根式的加减运算，熟练掌握基础知识点是解题的关键．先求出点B表示的数，再根据点是的中点进行求解即可．
【详解】解：∵点A表示的数是，，
∴点B表示的数是，
∵点是的中点，
∴，
∴点表示的数是，
故答案为：．
11. 在等腰三角形中，的面积为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形性质，勾股定理等知识．作于点D，先根据三角形面积公式求出，再根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，作于点D．
∵的面积为，，
∴，
∵，，
∴，
∴在中，．
故答案为：．
12. 下列运算中，①，②，③，④，⑤．其中正确的是__________．（填序号）
【答案】④
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简与计算，解题的关键是熟知二次根式的相关运算法则．
根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【详解】解：①，此选项错误；
②，此选项错误；
③与不是同类二次根式，不能合并，事实上，此选项错误；
④，此选项正确；
⑤，此选项错误；
因此，正确的选项有④，
故答案为：④．
13. 如图，在的网格中，每个格点小正方形的边长均为1，的三个顶点A，B，C都在网格点的位置上，则的边上的高为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．先根据勾股定理求出的长，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：由图可知，，
设的边上的高为，则．
故答案为：．
14. 将一副三角尺如图所示叠放在一起，若，则阴影部分的面积是____________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，先证明是等腰直角三角形，得到，再由含30度角的直角三角形的性质得到，再利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：设交于H，
由题意得，，
在中，，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
故答案为；．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的加减法，二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变；掌握二次根式的加减法法则是解题的关键；
根据二次根式的加减法法则进行解题即可；
【详解】解：原式
．
16 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先整理得，再把除法化为乘法，得，再化简运算，即可作答．
【详解】解：原式．
17. 如图，在中，点D在边上，连接，过点D作于点E，试说明．
【答案】见详解
【解析】
【分析】本题考查了勾股逆定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出是直角三角形，根据勾股定理列式得，然后算出，即可作答．
【详解】解：∵
∴．
在中，，
∴，
同理，
∴
∵
∴，
∴．
∴是直角三角形，
即
18. 如图所示的一块地，，，，求这块地的面积．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，先利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理证明，则．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19. 先化简再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，其关键步骤是分式的化简，熟悉混合运算的顺序是解题关键．先算括号，再根据分式计算法则化简，代入x，y值即可计算．
详解】解：原式
当，时，
原式．
20. 已知一个长方形相邻的两边长分别是，，且，．
（1）求此长方形的周长；
（2）若一个正方形的周长与上述长方形的周长相等，求此正方形的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次根式实际应用．掌握二次根式的运算法则，正确的计算，是解题的关键．
（1）根据长方形的周长公式列式计算即可．
（2）周长除以4求出正方形的边长，进一步求出正方形的面积即可．
【小问1详解】
解：由题意，得：长方形的周长为；
【小问2详解】
由题意，得：正方形的周长为，
∴正方形的边长为：，
∴正方形的面积为．
21. 如图，正方形网格的每个小正方形的边长为1，的三个顶点均在格点上．
（1）画出关于直线对称的；
（2）求点到直线的距离．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了作轴对称图形，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是作出对应点的位置．
（1）先作出点A、B、C关于的对称点、、，然后顺次连接即可；
（2）连接，过点C作于点D，求出，，在求出．
【小问1详解】
解：如图，即为所求作的三角形．
【小问2详解】
解：连接，过点C作于点D，如图所示：
∵，，
∴，
即点到直线的距离为．
22. 如图，一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点与点重合，求折痕的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题．勾股定理求出的长，折叠得到，，设，利用三线合一和勾股定理进行求解即可．掌握勾股定理和折叠的性质，是解题的关键．
【详解】解：在中，，
由折叠可知，，，，
设，则．
在中，，
．
解得，
，
在中，．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23. 如图1是学地某树木的实物图，该树木可抽象为如图2所示的图形，“奋进”小组开展了测量长度的实践活动．在不便于直接测量的情况下，“奋进”小组设计了如下方案：
根据以上测量结果，请你帮助该“奋进”小组求出的长度．
【答案】3.2米
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，先在，得，再在，根据勾股定理，得，结合线段的和差关系，即可作答．
【详解】解：依题意，
在，
在，
则的长度为3.2米．
24. 已知，且，把和拼成如图所示的形状，使点B，C，D在同一条直线上，若，．
（1）求的长；
（2）将沿折叠，点B落在点F处，延长与相交于点G，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形内角和定理：
（1）由全等三角形的性质得到，，则由勾股定理得到，再证明，则由勾股定理可得；
（2）由对折性质可知，，，
设，由勾股定理可得，则，解得，则的长为．
【小问1详解】
解：∵，
∴，．
在中，由勾股定理得．
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，
∴；
【小问2详解】
解：由对折性质可知，，，
设，
在和中，由勾股定理得：，，
∴，
∴，
解得，
∴的长为．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25. 【阅读理解】
爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：
∵，
．
∴，即．
∴．
∴．
请你根据小名的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：______；
（2）计算：______；
（3）若，求的值．
【答案】（1）
（2）9 （3）2
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值；
（1）仿照题的方法化简即可；
（2）把每项按照题中方法化简，再相加减即可；
（3）仿照题中方法求代数式值的方法求解即可．
【小问1详解】
解：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：
，
故答案为：9；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∴，即，
∴．
26. 在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形的顶点A，B分别在x轴和y轴上，已知，，点D坐标为，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿线段的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动的时间为t秒．
（1）如图①，当点P经过点C时，的长为______．
（2）如图②，把长方形沿着直线折叠，点B的对应点恰好落在边上，求点P的坐标．
（3）在点P的运动过程中，是否存在某个时刻使为等腰三角形?若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）或或
【解析】
【分析】（1）分别求得，的长度，然后利用勾股定理解答即可；
（2）根据翻折的性质，可知，由勾股定理可以求出的长，从而求出的长，在根据勾股定理求出的长即可．
（3）根据等腰三角形的腰的不同进行分类讨论：；；，结合等腰直角三角形的性质、垂直平分线的性质和勾股定理进行求解即可．
【小问1详解】
解：如图1，
，，
；
故答案为：10；
【小问2详解】
解：由折叠的性质可知，，，
在中，由勾股定理可得：，
，
设，则，
在中，由勾股定理可得：，
解得：，
∴；
【小问3详解】
解：存在，
，
，
①当时，
，
在上，
由勾股定理可得：，
，
②当时，在的垂直平分线，
在上，
，
③当时，在上，
由①可知，，
，
的坐标为：或或．
【点睛】本题主要考查了图形与坐标、勾股定理及等腰三角形的性质，合理运用勾股定理及等腰三角形的性质是本题解题的关键．
成绩：____________
①；
②；
③；
④．
课题
测量的长度
成员
组长：×××组员：×××，×××，×××
工具
竹竿，皮尺，计算器等
测量示意图
说明：垂直于地面，线段，表示同一根竹竿，第一次将竹竿的一个端点与点A重合，另一端点落在地面的点D处，第二次将竹竿的一个端点与点B重合，另一端点落在地面的点E处．
测量数据
测量项目
数值
竹竿的长度
5米
的长度
2.713米
的长度
4.899米
参考数值
，，
数学试题
本试卷包括六大道题，共26道小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1. 下列式子中是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
【详解】解：A． 不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
B． 属于最简二次根式，故本选项符合题意；
C． 不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
D． 不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
2. 如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理等知识，理解实数与数轴的关系是解题的关键．根据勾股定理可求出圆的半径，进而得到点A到表示1的点的距离，再根据点A的位置确定点A所表示的数．
【详解】解：根据勾股定理可得圆的半径为：，即点A到表示的点的距离为，
∵点A在表示1的点的左侧，
∴点A所表示数为：，
故选：B．
3. 满足下列条件的不是直角三角形的是（ ）
A. ，，B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握直角三角形的判定方法是解题的关键，主要有勾股定理的逆定理，有一个角为直角的三角形．根据勾股定理的逆定理可判定、，由三角形内角和可判定、，可得出答案．
【详解】解：、当，，时，
满足，
所以为直角三角形；
B、当：：：：时，
设，，，
满足，
所以为直角三角形；
C、当时，且，
所以，所以为直角三角形；
D、当：：：：时，可设，，，
由三角形内角和定理可得，解得，
所以，，，
所以为锐角三角形，
故选D．
4. 若x为实数，在“□x”的“□中添上一种运算符号（在“，，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的运算，分母有理化，依据题意对每个选项进行逐一判断是解题的关键．依据题意对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：当时，“□”中添上“−”，
则，其运算的结果为有理数，
∴A选项不符合题意；
当时，“□”中添上“−”，
则，其运算的结果为有理数，
∴B选项不符合题意；
当时，“□”中添上“+”，
则，其运算的结果为有理数，
∴C选项不符合题意，
当时，“□”中添上“+”，
则，其运算的结果为无理数，
当时，“□”中添上“−”，
则，其运算的结果为无理数，
当时，“□”中添上“×”，
则，其运算的结果为无理数，
当时，“□”中添上“÷”，
则，其运算的结果为无理数，
∴D选项符合题意；
故选：D．
5. 如图，这是嘉嘉的一次作业，若每道题25分，则该次作业嘉嘉的得分为（ ）
A. 25分B. 50分C. 75分D. 100分
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知二次根式的四则运算法则是解题的关键．
【详解】解：①，计算错误，不得分；
②，计算正确，得25分；
③，计算错误，不得分；
④，计算正确，得25分；
∴该次作业嘉嘉的得分为50分，
故选：B．
6. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“秋千静止的时候，踏板高地1尺，将它往前推送两步（两步=10尺）时，此时踏板升高到离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长?”如图，若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了考差了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、 的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．设秋千的绳索长为 尺，根据题意可得尺，利用勾股定理可得方程．
【详解】解：设秋千的绳索长为 尺，根据题意可列方程为：．
故选：C
二、填空题（每小题3分，共24分）
7. 计算：_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的加减运算，理解二次根式的性质，准确化简各数是解题关键．
直接根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：
故答案为：．
8. 比较大小：________．（用、或连接）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式 的大小比较，熟练掌握二次根式的大小比较的方法是解答的关键．将根号外的正因数平方后移到根号内，计算出被开方数，再比较被开方数的大小，即可得到答案．
【详解】解：，，且，
，即，
故答案为：．
9. 使式子有意义的x的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式，分式有意义的条件，关键是掌握二次根式的被开方数是非负数，分母不为0．根据二次根式，分式有意义的条件可得，且，再求解即可．
【详解】解：∵有意义，
∴，且，
解得：且，
故答案为：且．
10. 已知点A，B，C在数轴上的位置如图所示，点A表示的数是，点B是的中点，线段，则点C表示的数是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用数轴上的点表示实数，数轴上点之间的距离，二次根式的加减运算，熟练掌握基础知识点是解题的关键．先求出点B表示的数，再根据点是的中点进行求解即可．
【详解】解：∵点A表示的数是，，
∴点B表示的数是，
∵点是的中点，
∴，
∴点表示的数是，
故答案为：．
11. 在等腰三角形中，的面积为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形性质，勾股定理等知识．作于点D，先根据三角形面积公式求出，再根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，作于点D．
∵的面积为，，
∴，
∵，，
∴，
∴在中，．
故答案为：．
12. 下列运算中，①，②，③，④，⑤．其中正确的是__________．（填序号）
【答案】④
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简与计算，解题的关键是熟知二次根式的相关运算法则．
根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【详解】解：①，此选项错误；
②，此选项错误；
③与不是同类二次根式，不能合并，事实上，此选项错误；
④，此选项正确；
⑤，此选项错误；
因此，正确的选项有④，
故答案为：④．
13. 如图，在的网格中，每个格点小正方形的边长均为1，的三个顶点A，B，C都在网格点的位置上，则的边上的高为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．先根据勾股定理求出的长，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：由图可知，，
设的边上的高为，则．
故答案为：．
14. 将一副三角尺如图所示叠放在一起，若，则阴影部分的面积是____________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，先证明是等腰直角三角形，得到，再由含30度角的直角三角形的性质得到，再利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：设交于H，
由题意得，，
在中，，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
故答案为；．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的加减法，二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变；掌握二次根式的加减法法则是解题的关键；
根据二次根式的加减法法则进行解题即可；
【详解】解：原式
．
16 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先整理得，再把除法化为乘法，得，再化简运算，即可作答．
【详解】解：原式．
17. 如图，在中，点D在边上，连接，过点D作于点E，试说明．
【答案】见详解
【解析】
【分析】本题考查了勾股逆定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出是直角三角形，根据勾股定理列式得，然后算出，即可作答．
【详解】解：∵
∴．
在中，，
∴，
同理，
∴
∵
∴，
∴．
∴是直角三角形，
即
18. 如图所示的一块地，，，，求这块地的面积．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，先利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理证明，则．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19. 先化简再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，其关键步骤是分式的化简，熟悉混合运算的顺序是解题关键．先算括号，再根据分式计算法则化简，代入x，y值即可计算．
详解】解：原式
当，时，
原式．
20. 已知一个长方形相邻的两边长分别是，，且，．
（1）求此长方形的周长；
（2）若一个正方形的周长与上述长方形的周长相等，求此正方形的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次根式实际应用．掌握二次根式的运算法则，正确的计算，是解题的关键．
（1）根据长方形的周长公式列式计算即可．
（2）周长除以4求出正方形的边长，进一步求出正方形的面积即可．
【小问1详解】
解：由题意，得：长方形的周长为；
【小问2详解】
由题意，得：正方形的周长为，
∴正方形的边长为：，
∴正方形的面积为．
21. 如图，正方形网格的每个小正方形的边长为1，的三个顶点均在格点上．
（1）画出关于直线对称的；
（2）求点到直线的距离．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了作轴对称图形，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是作出对应点的位置．
（1）先作出点A、B、C关于的对称点、、，然后顺次连接即可；
（2）连接，过点C作于点D，求出，，在求出．
【小问1详解】
解：如图，即为所求作的三角形．
【小问2详解】
解：连接，过点C作于点D，如图所示：
∵，，
∴，
即点到直线的距离为．
22. 如图，一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点与点重合，求折痕的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题．勾股定理求出的长，折叠得到，，设，利用三线合一和勾股定理进行求解即可．掌握勾股定理和折叠的性质，是解题的关键．
【详解】解：在中，，
由折叠可知，，，，
设，则．
在中，，
．
解得，
，
在中，．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23. 如图1是学地某树木的实物图，该树木可抽象为如图2所示的图形，“奋进”小组开展了测量长度的实践活动．在不便于直接测量的情况下，“奋进”小组设计了如下方案：
根据以上测量结果，请你帮助该“奋进”小组求出的长度．
【答案】3.2米
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，先在，得，再在，根据勾股定理，得，结合线段的和差关系，即可作答．
【详解】解：依题意，
在，
在，
则的长度为3.2米．
24. 已知，且，把和拼成如图所示的形状，使点B，C，D在同一条直线上，若，．
（1）求的长；
（2）将沿折叠，点B落在点F处，延长与相交于点G，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形内角和定理：
（1）由全等三角形的性质得到，，则由勾股定理得到，再证明，则由勾股定理可得；
（2）由对折性质可知，，，
设，由勾股定理可得，则，解得，则的长为．
【小问1详解】
解：∵，
∴，．
在中，由勾股定理得．
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，
∴；
【小问2详解】
解：由对折性质可知，，，
设，
在和中，由勾股定理得：，，
∴，
∴，
解得，
∴的长为．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25. 【阅读理解】
爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：
∵，
．
∴，即．
∴．
∴．
请你根据小名的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：______；
（2）计算：______；
（3）若，求的值．
【答案】（1）
（2）9 （3）2
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值；
（1）仿照题的方法化简即可；
（2）把每项按照题中方法化简，再相加减即可；
（3）仿照题中方法求代数式值的方法求解即可．
【小问1详解】
解：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：
，
故答案为：9；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∴，即，
∴．
26. 在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形的顶点A，B分别在x轴和y轴上，已知，，点D坐标为，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿线段的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动的时间为t秒．
（1）如图①，当点P经过点C时，的长为______．
（2）如图②，把长方形沿着直线折叠，点B的对应点恰好落在边上，求点P的坐标．
（3）在点P的运动过程中，是否存在某个时刻使为等腰三角形?若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）或或
【解析】
【分析】（1）分别求得，的长度，然后利用勾股定理解答即可；
（2）根据翻折的性质，可知，由勾股定理可以求出的长，从而求出的长，在根据勾股定理求出的长即可．
（3）根据等腰三角形的腰的不同进行分类讨论：；；，结合等腰直角三角形的性质、垂直平分线的性质和勾股定理进行求解即可．
【小问1详解】
解：如图1，
，，
；
故答案为：10；
【小问2详解】
解：由折叠的性质可知，，，
在中，由勾股定理可得：，
，
设，则，
在中，由勾股定理可得：，
解得：，
∴；
【小问3详解】
解：存在，
，
，
①当时，
，
在上，
由勾股定理可得：，
，
②当时，在的垂直平分线，
在上，
，
③当时，在上，
由①可知，，
，
的坐标为：或或．
【点睛】本题主要考查了图形与坐标、勾股定理及等腰三角形的性质，合理运用勾股定理及等腰三角形的性质是本题解题的关键．
成绩：____________
①；
②；
③；
④．
课题
测量的长度
成员
组长：×××组员：×××，×××，×××
工具
竹竿，皮尺，计算器等
测量示意图
说明：垂直于地面，线段，表示同一根竹竿，第一次将竹竿的一个端点与点A重合，另一端点落在地面的点D处，第二次将竹竿的一个端点与点B重合，另一端点落在地面的点E处．
测量数据
测量项目
数值
竹竿的长度
5米
的长度
2.713米
的长度
4.899米
参考数值
，，
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