江苏省苏州市姑苏区景范中学校2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 在下列四个实数中，最小的数是（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】A
【解析】
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】解：根据实数大小比较的方法，可得-2＜0＜＜，
所以四个实数中，最小的数是-2．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2. 某种芯片每个探针单元的面积为，0.00000164用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】绝对值小于1的数利用科学记数法表示的一般形式为a×10-n，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.00000164=1.64×10-6，
故选：B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小数的方法，写成a×10-n的形式是关键．
3. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相除法则，幂的乘方法则，完全平方公式计算即可．
【详解】解：A．与不是同类项，不可以合并，故错误；
B．，故原计算错误；
C．，原计算正确；
D．，故原计算错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项法则，同底数幂相除法则，幂的乘方法则，完全平方公式等知识，掌握相关运算法则及公式，并能准确计算是解题的关键．
4. 我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，设竿长x尺，绳索长y尺，根据用绳索去量竿，绳索比竿长5尺可得方程，根据将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺可得方程，据此可得答案．
【详解】解：设竿长x尺，绳索长y尺，
由题意得，，
故选：A．
5. 如图，为的直径，弦于，，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据垂径定理结合已知条件求得AB =6，再利用三角形的面积公式求△ACB的面积即可.
【详解】∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，AE=3，
∴AB=2AE=6，
∴△ACB的面积为×AB×CE=×6×2=6，
故选C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，熟知垂径定理的内容是解决问题的关键.
6. 若，这两个不同点在y关于x的一次函数图象上，当（ ）时，．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数的性质知，当时，判断出y随x的增大而减小．此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，要根据函数的增减性进行推理是关键．
【详解】解：∵，是一次函数图象上两个不同点，且，
∴与是异号，
∴该函数y随x的增大而减小，
∴，
解得．
故选：C．
7. 手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米．在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（ ）

A. 减少米B. 增加米C. 减少米D. 增加米
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可．
【详解】解：如图，点为光源，表示小明的手，表示小狗手影，则，过点作，延长交于，则，

∵，
∴，则，
∵米，米，则米，
∴，
设，
∵在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，如图，

即，，米，
∴，
则，
∴米，
∴光源与小明的距离变化为：米，
故选：A．
【点睛】此题考查了中心投影，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题．
8. 如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=3，点E在AB上，=，在矩形内找一点P，使得∠BPE=60°，则线段PD的最小值为（ ）
A. 4B. 2C. 2-2D. 2-4
【答案】C
【解析】
【分析】以 BE为边在矩形内作等边三角形 BEF，再作等边三角形BEF的外接⊙O，则点P在⊙O上运动，连接OD，交⊙O于点M，则当点 P与点M重合时， PD最短，然后过点O作OG⊥AD于点C， 作 OH⊥AB 于点H，连接OB，先求出OH和BH的长，则DG=AD-AG= AD-OH =5-1=4，OG=AB-BH=，在Rt△DOG中，利用勾股定理即可求得OD的长，进而可求出PD的最小值．
【详解】解：∵AB=，=，
∴，，
如图，以 BE为边在矩形内作等边三角形 BEF，再作等边三角形BEF的外接⊙O，则点P在⊙O上运动，连接OD，交⊙O于点M，则当点 P与点M重合时， PD最短，过点O作OG⊥AD于点C， 作 OH⊥AB 于点H，连接OB，
∵ △BEF为等边三角形，⊙O为其外接圆，
∴OH垂直平分BE，
∴∠OBH=30°，，
∴OH=，，
∴DG=AD-AG= AD-OH =5-1=4，OG=AB-BH=，
在Rt△DOG中，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查等边三角形的性质及圆的有关知识，解题的关键是作等边三角形 BEF及其外接⊙O．
二、填空题（本大题共8小题每小题3分，共24分．）
9. 因式分解：______ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【详解】解：
，
故答案为：．
10. 已知，代数式______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查配方法的应用，解题的关键是掌握，把变形为：，再代入代数式，即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
11. 从，，，，中，随机取一个数，取到无理数的概率为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，无理数的定义，直接用无理数的个数除以数的总数即可得到答案．
【详解】解；，
数，，，，中，无理数有，，共2个，
∴从，，，，中，随机取一个数，取到无理数的概率为，
故答案为；．
12. 如图，在中，平分，交于点F，平分，交于点E，，，则长为______.
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边；熟练掌握平行四边形的性质，得出是解题的关键．
根据平行四边形的对边平行且相等可得，，；根据两直线平行，内错角相等可得；根据从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得；推得，根据等角对等边可得，，即可列出等式，求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
则，
∴，
同理可证：，
∵，
即，
解得：；
故答案为：3．
13. 如图1，一个扇形纸片的圆心角为，半径为10．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为______．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是扇形面积计算、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．根据勾股定理求出，根据直角三角形的性质求出，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
在中，，
∴，
∴，；
∴；
∴阴影部分的面积；
故答案为：．
14. 如图，四边形是正方形，顶点B在抛物线的图象上，若正方形的边长为，且边与y轴的负半轴的夹角为，则a的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数、特殊三角函数、正方形的性质，正确做出辅助线，利用特殊角，应用特殊三角函数值进行求解是解题的关键．连接，过B作轴于D，则，可得，再由直角三角形的性质可得的长，进而得到点，即可求解．
【详解】解：如图，连接，过B作轴于D， 则，
由题意得：，
∵，
∴，
∵正方形的边长为，
∴，
∴在中，
∴，
∴，
∴点，
代入中，得：，
∴故答案为：．
15. 如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接．若，的面积是2，则的值为________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，过点B作于E，设，先求出，证明，得到，即，由此可得；由的面积是2，，得到，求出，则，即可得到．
【详解】解：如图所示，过点B作于E，设，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
∵的面积是2，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：4．
16. 在中，，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从点C出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF，设点P的运动时间为．正方形DPEF的面积为S，在点P由点B到点A的运动过程中，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，线段AB的长是______．

【答案】
【解析】
【分析】在中，，，则，求得的长，用顶点法，设函数解析式，用待定系数法，求出函数表达式，即可求解，
本题考查了求二次函数解析式，解题的关键是：从图中获取信息．
【详解】解：在中，，，则，
当时，，解得：（负值已舍去），
∴，
∴抛物线经过点，
∵抛物线顶点为：，
设抛物线解析式为：，
将代入，得：，解得：，
∴，
当时，，（舍）或，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本题满分82分，共11小题）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用负指数幂法则计算，最后一项化为最简二次根式，计算即可得到结果．
【详解】原式
．
【点睛】本题考查了实数的运算，二次根式的加减运算，熟练掌握法则是解题关键．
18. 解不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】分别解两个不等式得到和x＜7，然后根据大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解不等式，得：，
解不等式，得：x<7，
则不等式组的解集为．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
19. 已知，求代数式值．
【答案】，1
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握相关运算顺序和运算法则是解题的关键．先将括号里面进行通分，将除法改写为乘法，各个分子分母因式分解，再化简，根据得出，将其代入进行计算即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴原式．
20. 如图，点D、C为线段BE上一点，且，，．
（1）求证：；
（2）连接，判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）四边形是平行四边形，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定，属于中考常考题型．
（1）根据证明即可；
（2）首先由全等三角形的性质得出，再证明，可得结论．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
；
【小问2详解】
解：四边形是平行四边形，理由如下：
如图，连接，
，
，
，
四边形是平行四边形．
21. “书香润石室，阅读向未来”，为了让同学们获得更好的阅读体验，学校图书馆在每年年末，都将购进一批图书供学生阅读．为了合理配备各类图书，从全体学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查．问卷设置了五种选项：A“艺术类”，B“文学类”，C“科普类”，D“体育类”，E“其他类”，每名学生必须且只能选择其中最喜爱的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生人数为 名；
（2）请直接补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，A“艺术类”所对应的圆心角度数是 度；
（4）学校共有1300名学生，试估计全校喜欢“科普类”图书的人数．
【答案】（1）100 （2）见解析
（3）36 （4）520名
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用：
（1）根据B“文学类”的人数以及占比可得总人数；
（2）根据总人数减去其他类别的人数可得结果；
（3）根据A“艺术类”所占比例可得结果；
（4）根据喜欢C“科普类”所占比例乘以总人数即可；
从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键．
【小问1详解】
解：由图可得：B“文学类”有20名，所占比例为，
∴总人数为：（名），
故答案为：100；
【小问2详解】
解：由（1）可得总人数为100名，
∴D“体育类”所占人数为：（名），
补全条形图如下：
；
【小问3详解】
解：由扇形图可得A“艺术类”所占人数为10名，
∴A“艺术类”所对应的圆心角度数：，
故答案为：36；
【小问4详解】
解：喜欢C“科普类”的人数为40名，
∴喜欢C“科普类”的人数占，
当学校有1300名学生时，此时喜欢“科普类”图书的人数为：（名）．
22. 在庆祝龙年的元旦联欢会上，九年级班进行抽奖活动，活动规则如下：将4张正面标有龙、蛇、马、羊的纸牌（纸牌反面完全相同）洗匀后，反面朝上放在桌子上，参与者每次随机从中抽取两张纸牌，若抽到“龙”和“马”，即组成“龙马精神”这个寓意美好的成语，则参与者可获得奖品．
（1）王小虎随机抽出一张纸牌，抽到“龙”牌的概率是_____________；
（2）小马同学决定参加游戏，请用树状图或列表法说明小马同学获得奖品的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了概率公式和树状图或列表法求概率，熟练掌握树状图或列表法求概率是解题的关键．
（1）利用概率公式进行解答即可；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出小马同学获得奖品的结果数，然后根据概率公式求解．
【小问1详解】
解：将4张正面标有龙、蛇、马、羊的纸牌（纸牌反面完全相同）洗匀后，反面朝上放在桌子上，王小虎随机抽出一张纸牌，抽到“龙”牌的概率是，
故答案为：
【小问2详解】
画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中小马同学获得奖品的结果数为2，
所以小马同学获得奖品的概率．
23. 漳州市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，10月份售出150个，12月份售出216个．
（1）求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率；
（2）此种品牌头盔每个进货价为30元调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，而当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元？
【答案】（1）该品牌头盔销售量的月均增长率为20%
（2）该品牌头盔的销售价应定为50元
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系并列出方程是解题的关键；
（1）根据增长率公式列出方程即可；
（2）利用单个头盔的利润乘以销售量等于总利润列出方程求解即可．
【小问1详解】
设该品牌头盔销售量的月均增长率为x，依题意，得
．
解这个方程，得，(不合题意，舍去)．
答：该品牌头盔销售量的月均增长率为20%．
【小问2详解】
设该品牌头盔的销售价为y元，依题意，得
．
解这个方程，得，(不合题意，舍去)．
答：该品牌头盔的销售价应定为50元．
24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴交于点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设为线段上的一个动点（不包括，两点），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积最大时，求点的坐标．
【答案】（1）反比例函数解析式为；一次函数解析式为；
（2）点坐标为．
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及利用二次函数的性质求三角形面积最值．
（1）先利用待定系数法求得反比例函数解析式，再求得，利用待定系数法即可求得一次函数解析式；
（2）设点为，点为，利用三角形面积公式列出关于的二次函数，利用二次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：反比例函数的图象经过点，
，，
∴反比例函数解析式为，
把点代入得，
∴点，
∵一次函数的图象经过，，
∴，解得：，
∴一次函数解析式为；
【小问2详解】
解：由题意可设点为，点为，且，
则，
且，
∴当时，最大，此时点坐标为．
25. 筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，若以某个盛水筒P刚浮出水面（点A）时开始计算时间．

（1）求盛水筒P从A点到达最高点所经过的路程；
（2）求浮出水面秒时，盛水筒P到水面的距离；
（3）若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点M，，直接写出盛水筒P从最高点开始，经过多长时间恰好第一次落在直线上．（参考数据：，，）
【答案】（1）盛水筒P从A点到达最高点所经过的路程为
（2）盛水筒P到水面的距离为
（3）盛水筒P从最高点开始，至少经过秒恰好在直线MN上
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，切线的性质等知识
（1）如图1中，连接．求出的度数，再利用弧长公式即可解决问题．
（2）如图2中，盛水筒浮出水面秒后，此时，过点作于，解直角三角形求出即可．
（3）如图3中，连接，解直角三角形求出，，可得的度数即可解决问题．
【小问1详解】
解：由筒每分钟转圈的可得筒每秒钟转．
如图1中，连接．
图1
中，，，，
，
，
当盛水筒P运动到延长线上时到达最高点，
∴盛水筒P从A点到达最高点所经过的路程为．
【小问2详解】
解：如图，盛水筒浮出水面秒后，此时，
，
过点作于，
在中，，
∴，
∴浮出水面秒后，盛水筒距离水面；
【小问3详解】
如图3中，
图3
延长交于，则为最高点，
点在上，且与相切，
当点在直线上时，此时点是切点，
连接，则，
在中，，
，
在中，，
，
，
需要的时间为（秒，
答：盛水筒从最高点开始，至少经过秒恰好在直线上．
26. 如图，玻璃桌面与地面平行，桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，在地面．上形成的影子为（不计折射），．
（1）在桌面上沿着AB方向平移铅笔，试说明CD的长度不变．
（2）桌面上一点P恰在点O的正下方，且，，，桌面的高度为．在点O与所确定的平面内，将绕点A旋转，使得的长度最大．
①画出此时所在位置的示意图；
②求的长度的最大值．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②75
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用举例，勾股定理的实际应用，正确写出比例式，并进行换算是解题关键．
（1）设平移到，在地面上形成的影子为．利用平行相似即可；
（2）①以为圆心，长为半径画圆，当与相切于时，此时最大为；
②先证明，再利用勾股定理求出，由（1）同理得出，即可求出的长度的最大值．
【小问1详解】
解：设平移到，在地面上形成的影子为．
，
，，，
，，，
，
，
，
沿着方向平移时，长度不变．
【小问2详解】
解：①以为圆心，长为半径画圆，
当与相切于时，此时最大为．
此时所在位置为．
②，，
，
，
设，则，
在中，
，
，
，
，（舍去），
，
由（1）同理得出，
，
，
即的长度的最大值为．
27. 如图，已知抛物线交x轴于点、，交y轴于点C，过点A、B、C三点的与y轴的另一个交点为D．

（1）求此抛物线的表达式及圆心M的坐标；
（2）设P为弧上一点，且，交于点N，求P点坐标；
（3）延长线段交抛物线于点E，设点F是线段上的任意一点（不含端点），连接．动点Q从点A出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到点F，再沿线段以每秒个单位的速度运动到点B后停止，问当点F的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？
【答案】（1），；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）、根据点A和点B的坐标得出函数解析式，从而得出点C的坐标以及、和的长度，从而得出为直角三角形，根据圆的性质得出点M的坐标；
（2）、如图，记与轴的交点为，过作轴于，求解，证明，可得，可得，，，再进一步可得答案；
（3）、先根据垂径定理得到，则，易得直线的解析式为，过F点作轴于G，如图，通过证明得到 ，则点Q沿线段以每秒 个单位的速度运动到点B所用时间等于点Q以每秒1个单位的速度运动到G点的时间，于是判断当的值最小时，点Q在整个运动过程中所用时间最少，作，交y轴于I，作于H，则，当点A、F、H共线时，的值最小，此时，如图，作，垂足为K，设，证明得到， 则利用勾股定理得到，接下来利用待定系数法确定直线的解析式，再确定直线的解析式，然后求直线和的交点坐标即可．
【小问1详解】
解：将、两点代入
得： ，
解得： ，
∴抛物线的表达式为： ，
∴ ，
∴ ，，，
∴，
∴为直角三角形，且，
∴为直径，
∴点M为中点，；
【小问2详解】
如图，记与轴的交点为，过作轴于，

∵，，
∴，
∵，
∴，而，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
∵，
∴，则，
∵，
设直线为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为， ，
过F点作轴于G，如图，

∵，
∴，
∴，即 ，
∴点Q沿线段以每秒个单位的速度运动到点B所用时间 等于点Q以每秒1个单位的速度运动到G点的时间，
∴当的值最小时，点Q在整个运动过程中所用时间最少，
作，交y轴于I， 作于H，则，
∴，
当点A、F、H共线时，的值最小，此时，
作，垂足为K，
∵平分，
∴， 设，
∵， ，
∴，
∴ ，
∴， 在中，，
解得（舍去），，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得 ，
解得 ，
∴直线的解析式为，
∵， 设，
∴，
解得：（不符合题意的根舍去）
∴，
∴同理可得：直线的解析式为，
解方程组，
解得 ，
∴，
即当点F的坐标是时，点Q在整个运动过程中所用时间最少．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、圆周角定理和角平分线的性质；锐角三角函数的应用，会利用待定系数法求一次函数和二次函数解析式；利用两点之间线段最短解决最短路径问题，会利用勾股定理和相似比进行几何计算．