湖北省名校联考2023-2024学年高一下学期3月联考数学试卷(含答案)

这是一份湖北省名校联考2023-2024学年高一下学期3月联考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知点O是平行四边形的对角线的交点，则( )
A.B.C.D.
3．是的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．已知幂函数是偶函数，且在上是增函数，则( )
A.-2B.-1C.0D.3
5．已知某物种在某特定环境下的某项指标y与时间t（天）满足函数关系式：，则在该特定环境下，至少经过( )天，该物种的该项指标不低于初始值时的100倍.（参考值：）
A.4B.5C.6D.7
6．已知函数，，若函数与的图像恰有4个交点，则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．定义在的函数的图像位于x轴上方，且是连续不断的.若的图像关于点对称，则的最小值为( )
A.B.1C.4D.6
8．已知函数，若存在，使，则x的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．若实数a，b，c满足，且，则下列结论一定正确的是( )
A.B.C.D.
10．已知函数，则下列说法正确的是( )
A.的图像关于直线对称
B.的图像的一个对称中心是
C.在区间上单调递减
D.若的最大值为，则的最小值为
11．函数的定义域为R，且满足，当时，，则( )
A.
B.时，
C.若对任意的，都有，则t的最大值为
D.若函数恰有三个零点，则实数k的取值范围是
三、填空题
12．__________.
13．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数在内不是单调函数，则的取值范围是__________.
14．已知函数的定义域为R，，且的图象关于点对称.若，，当时，都有恒成立，则关于x的不等式的解集为__________.
四、解答题
15．已知的三个内角A，B，C满足：，.
（1）求的值；
（2）求角B的大小.
16．已知函数，.
（1）解关于x的不等式：；
（2）命题“，.”是真命题，求a的最大值.
17．学校为了鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分钟，）的函数关系式，要求如下：
（1）函数的图象接近图示；
（2）每天锻炼时间为0分钟时，当天得分为0分；
（3）每天锻炼时间为9分钟时，当天得分为6分；
（4）每天得分最多不超过12分.
现有以下三个函数模型供选择：
①；②；③.
（1）请根据函数图像性质，结合题设条件，从中选择一个最合适的函数模型并求出解析式；
（2）若学校要求每天的得分不少于9分，求每天至少锻炼多少分钟？
（参考值：）
18．函数的部分图像如图所示.
（1）求函数的解析式和单调递增区间；
（2）将函数的图像上的各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图像，若时，的图像与直线恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为，，且，求的值
19．设，我们常用来表示不超过x的最大整数.如：，.
（1）求证：；
（2）解方程：；
（3）已知，，若对，，使不等式成立，求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：，或，，
.
故选D.
2．答案：C
解析：选项A应为，选项B应为，由共线向量定义知选项C正确，选项D中不一定有，
故选C.
3．答案：A
解析：时，，
时，或，
是的充分不必要条件.
故选A.
4．答案：B
解析：因为在上是增函数，所以在上是减函数，
所以，则，
又因为，所以，-1，0，
经检验只有时满足是偶函数.
故选B.
5．答案：B
解析：由题意有，，得，
所以至少经过5天.
故选B.
6．答案：D
解析：由题意有四个不相等的实数根，易知不是方程的根，
则问题转化为方程有四个不相等的实数根，令，
则方程有四个不相等的实数根，
作出函数的图像与直线有四个交点可得.
故选D.
7．答案：A
解析：由题意有，，且，，
则：，
当且仅当即时等号成立.
故选A.
8．答案：A
解析：由题意在R上是减函数且，
所以，使，
所以.
故选A.
9．答案：BD
解析：对A：当时，由可得，当时，由可得所以A不是正确选项，
对B：因为，可得，所以B一定成立，
对C：由，当，时，显然不成立，所以C不是正确选项，
对D：由不等式的性质可知D一定成立.
故选BD.
10．答案：AC
解析：，
，
对A：令可得，取得最大值，
所以A正确，
对B：令可得的对称中心横坐标为，
时，所以的一个对称中心坐标为，所以B错误，
对C：，，又在区间上单调递减，
所以C正确，
对D：，当时，函数的最大值为，则，所以函数的最小值为，当时，函数的最大值为，不成立，所以D错误.
故选AC.
11．答案：ACD
解析：对A：，所以A正确，
对B：令则，则.所以B错误，
对C：的部分图像如图所示，作直线，与的图像的左起第二个交点为，所以C选项正确，
对D：令，得，问题转化为的图像与直线恰有三个交点，求斜率k的取值范围，如图所示，直线，l过定点，绕着点旋转，当l位于，所夹的锐角区域内（不含边界），的图像与直线恰有三个交点，
则实数k的取值范围是，选项D正确.
故选ACD.
12．答案：-3
解析：.
13．答案：或都对
解析：，
在内不是单调函数，则或，即或，所以的取值范围是.
14．答案：或或
解析：由题意得：为奇函数，故为偶函数，
且在上单调递减，上单调递增，
又，
所以，
故有：时，，所以成立；
时，，，不合题意；
时，，所以成立；
时，，，不合题意.
综上所述：不等式的解集为.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）依题意：由，，所以，
又，所以，即，
得：，，
在中，，，
所以.
（2）因为，得.
又因为，，得，
所以
.
又所以.
16．答案：（1）时，解集为；时，解集为；时，解集为
（2）8
解析：（1）即：即，
当时，解得：，
当时，解得：，
当时，解得：，
综上所述：时，解集为，时，解集为，时，解集为.
（2）依题意：即，
又，所以，
而，
因为，
当且仅当时等号成立，
即的最小值为8，所以a的最大值为8.
17．答案：（1）
（2）29.25
解析：（1）对于模型①：由题意，有得.
，
当时，，不合题意，
对于模型②：的增长越来越快，图像越来越“陡峭”，不合题意.
对于模型③：由题意，有得，
，
该函数图像增长符合题设图像要求.
当时，
，
符合题意，
综上所述，最合适的模型是模型③，其解析式为.
（2）由（1），令，
解得，
所以每天至少锻炼29.25分钟.
18．答案：（1），单调递增区间为
（2）
解析：（1）由图像可知，
则，则，
令，可得，所以的解析式为.
令可得，
则函数的单调递增区间为.
（2），
由题意，，
令，
由可得，
令，
则，，，其中，
由对称性可知，，
两式相加可得，
所以，
，
所以，
又，，
则，，
，
所以的值为.
19．答案：（1）见解析
（2）或或
（3）
解析：（1）①.当，时，，，
所以，，，
所以.
②.当，时，，，
所以，，，
所以.
综上所述，.
（2），
因为，所以.
①.当时，，，则；
②.当时，，，无解；
③.当时，，，则；
④.当时，符合题意；
综上所述，原方程的解为或或.
（3）令则，
则，，
由题意得，，
因为在单调递增；在单调递减，
所以，，
所以a的取值范围为.