江西省九江市同文中学多校联考2024届高三下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份江西省九江市同文中学多校联考2024届高三下学期3月月考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设全集为R，集合，则( )
A.或B.或C.D.
2．已知a为实数，复数为纯虚数，则
A.-1B.1C.-2D.2
3．下列函数图象的对称轴方程为，的是( )
A.B.
C.D.
4．设，为两个平面，下列条件中，不是“与平行”的充要条件的是( )
A.内有无数条直线与平行B.，垂直于同一条直线
C.，平行于同一个平面D.内有两条相交直线都与平行
5．已知数列为等比数列，，，则( )
A.B.C.2D.
6．已知抛物线的焦点为F，其准线与x轴交于点M，N为C上一点，，则( )
A.B.C.D.
7．已知3名男同学、2名女同学和1名老师站成一排，女同学不相邻，老师不站两端，则不同的排法共有( )
A.336种B.284种C.264种D.186种
8．若，，，则
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．某厂近几年陆续购买了几台A型机床，该型机床已投入生产的时间x（单位：年）与当年所需要支出的维修费用y（单位：万元）有如下统计资料：
根据表中的数据可得到经验回归方程为，则
A.
B.y与x的样本相关系数
C.表中维修费用的第60百分位数为6
D.该型机床已投入生产的时间为10年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元
10．已知函数有3个不同的零点，，，且，则
A.B.的解集为
C.是曲线的切线D.点是曲线的对称中心
11．已知a，b，，关于x的不等式的解集为，则
A.B.
C.D.
三、填空题
12．已知圆O为圆锥的底面圆，等边三角形内接于圆O；若圆锥的体积为π，则三棱锥的体积为_________.
13．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，….记大衍数列的通项公式为，若，则数列的前30项和为_________.
14．已知M是椭圆上一点，线段AB是圆的一条动弦，且则的最大值为_________.
四、解答题
15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求b；
（2）D为边上一点，，，，求的长度和的大小.
16．如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，，为等边三角形.
（1）证明：平面.
（2）若为等边三角形，求平面与平面夹角的余弦值.
17．某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前200名的顾客，均可获得3次抽奖机会.每次中奖的概率为，每次中奖与否相互不影响.中奖1次可获得100元奖金，中奖2次可获得300元奖金，中奖3次可获得500元奖金.
（1）已知，求顾客甲获得了300元奖金的条件下，甲第一次抽奖就中奖的概率.
（2）在（1）的条件下，已知该商场开业促销活动的经费为4.5万元，问该活动是否会超过预算?请说明理由.
18．已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且M经过点，N的焦距为4.
（1）求M和N的方程;
（2）如图，过点的直线l(斜率大于0)与双曲线M和N左、右两支依次相交于点A，B，C，D，证明:.
19．已知函数.
（1）讨论的单调性.
（2）证明：当时，.
（3）证明：.
参考答案
1．答案：D
解析：由，即，则，解得或，
或，
.
故选：D.
2．答案：C
解析：，所以.
3．答案：B
解析：对于A，，令，，即，，
即的对称轴方程为，，A错误；
对于B，，令，，即，，
即的对称轴方程为，，B正确；
对于C，，令，，即，，
即的对称轴方程为，，C错误；
对于D，，令，，即，，
即的对称轴方程为，，D错误；
故选：B.
4．答案：A
解析：对于A，内有无数条直线与平行，可，可能相交，即这无数条直线都与两平面的交线平行，
故内有无数条直线与平行得不出与平行，A适合题意；
对于B，，垂直于同一条直线时，可得与平行，反之也成立，
即，垂直于同一条直线是与平行的充要条件；
对于C，，平行于同一个平面，则与平行，反之也成立，
故，平行于同一个平面是与平行的充要条件；
对于D，内有两条相交直线都与平行，根据面面平行的判定定理可知与平行，
反之也成立，即内有两条相交直线都与平行为与平行的充要条件；
故选：A.
5．答案：C
解析：因为为等比数列，则公比，
所以，又，
所以，
解得，
又，而恒成立，
所以，则，故.
故选：C.
6．答案：A
解析：如图，过N分別作准线和轴的垂线，与准线交于点P，与轴交于点Q.
则，，
所以，
又，，
所以，解得，
所以.
故选：A.
7．答案：A
解析：当2名女生站在两端时，3名男生和1名老师排在中间，
共有种排法；
当有1名女生排在一端，另一端排男生时，
共有种排法；
当男生排在两端时，共有种排法；
故不同的排法共有（种），
故选：A.
8．答案：D
解析：，故.设，则，
当时，，，故，则.
若，则，从而，从而.
9．答案：ABC
解析：由题可知，，.
因为，且，所以表中维修费用的第60百分位数为6.经验回归方程只是估计值，不是确定值.故选ABC.
10．答案：AC
解析：设，则常数项为.因为，所以，解得，把代入，得，解得，所以A正确.，解得或，所以B错误.令，解得或，当切点为时，切线方程为，故C正确.因为，，所以点不是曲线的对称中心，故D错误.故选AC.
11．答案：BCD
解析：由，可得，因为关于x的不等式的解集为，所以，，，所以，，，则，故A错误，B正确.令，，，
则，令，则，，且.
因为，，
所以，故，
可得.
又因为在上单调递增，且，，
所以，即，
所以，故C，D正确.故选BCD.
12．答案：或
解析：设圆O的半径为r，圆锥的高为h，
则，，
等边三角形内接于圆O，则，，
故，
则三棱锥的体积为，
故答案为：.
13．答案：240
解析：由题意知，，
故数列的前30项和为
，
故答案为：240.
14．答案：70
解析：如图，设中点为N，由，，故点N的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
，
，设，则
，
当且仅当时，，
所以，
.
故答案为：70.
15．答案：（1）
（2）1，
解析：（1）由题意知在中，，
故，即，
由于，故.
（2）由（1）知，结合，得，，
又，故，又，
则，，
又，，则，
故，即，即，
结合，解得，
则，，
而为锐角，故.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）记E为的中点，连接，.
因为为等边三角形，所以，
因为，所以，
又，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又，，，平面，
所以平面.
（2）以C为原点，，所在直线分别为x，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为为等边三角形，，所以P到底边的距离为，
因为为等边三角形，，所以D到底边的距离为，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，故，
设平面的法向量为，则即，
令，则，，故，
因为，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17．答案：（1）
（2）不会，说明见解析
解析：（1）设顾客甲获得了300元奖金的事件为A，甲第一次抽奖就中奖的事件为B，
则，
，
故.
（2）设一名顾客获得的奖金为X元，则X的取值可能为0，100，300，500，
则，
，
，
，
则（元），
故，
故该活动不会超过预算.
18．答案：（1），
（2）证明见解析
解析：（1）因为双曲线焦距为，
所以，，即双曲线，
因为双曲线M与双曲线N渐近线相同，
所以可设双曲线M为，
又双曲线M过点，所以，即，
所以双曲线M为.
（2）设直线l的方程为，，，，，
由，可得，
由题意，
当时，，当时，，
所以A，D与B，C中点的横坐标为，
又A，B，C，D在同一直线l上，所以A，D与B，C中点重合，可设为E，如图，
故，，
所以，即.
19．答案：（1）在上单调递减，在上单调递增
（2）证明见解析
（3）证明见解析
解析：（1），则.
当时，，则在R上单调递减；
当时，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：令，所以.
设，则，所以在上单调递增，即在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.
当时，则，所以，则，
所以存在唯一的，使得，且当时，，当时，，且，即，
因此.
设，则，
所以在上单调递增，
所以当时，，即.
综上，当时，.
（3）证明：由（2）可知，当时，，当且仅当时，等号成立.
令，则，
.
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7