闽侯县第一中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份闽侯县第一中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知全集，集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知向量，，则( )
A.52B.C.D.3
3．已知平面向量与为单位向量，它们的夹角为，则( )
A.B.C.D.
4．已知a，b是实数，且，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5．如图，在中，点D是线段上靠近A的三等分点，点E是线段的中点，则( )
A.B.
C.D.
6．已知在平行四边形ABCD中，，，对角线AC与BD相交于点M，( )
A.B.C.D.
7．已知向量，，，则的值是( )
A.B.C.D.
8．已知函数的定义域是R，函数的图象的对称中心是，若对任意的，，且，都有成立，，则不等式的解集为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知向量，，则下列说法正确的是( )
A.若，则B.若，则
C.的最小值为6D.若与的夹角为锐角，则
10．设实数a，b满足，则下列不等式中正确的是( )
A.B.C.D.
11．已知角A，B，C是的三个内角，下列结论一定成立的有( )
A.若，则是等腰三角形
B.若，则
C.若是锐角三角形，则
D.若，，，则的面积为或
12．已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.函数是偶函数
D.关于x的不等式的解集为
三、填空题
13．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________.
14．设向量，且，则向量在向量方向上的投影是_______.
15．在中，，，c边上的中线长为1，则的外接圆的半径长为______.
16．如图，某湖有一半径为的半圆形岸边，现决定在C的北圆心O处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距的点A处安装一套监测设备，为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足，.定义：四边形及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；设.则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为_____________.
四、解答题
17．计算：
（1）；
（2）.
18．在锐角中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知.
（1）求角A的大小；
（2）若，，求的面积.
19．已知向量，满足，，且.
（1）求；
（2）记向量与向量的夹角为，求.
20．某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东，B点北偏西，这时位于B点南偏西且与B相距80海里的C点有一救援船，其航行速度为35海里/小时.
（1）求B点到D点的距离；
（2）若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间.
21．如下图，在中，P为边上的一点，，，，且与的夹角为.
（1）求的模长
（2）求的值.
22．已知函数，其中e为自然对数的底数，记.
（1）解不等式；
（2）若存在，使得成立，求实数k的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：由已知，又，
.
故选：D.
2．答案：D
解析：由题意得，.
故选：D.
3．答案：D
解析：，
.
故选：D.
4．答案：B
解析：因为，满足，但不满足，故充分性不满足；
因为等价于，所以，，
因为，所以a，b不同时为0，
所以能得到，故必要性满足，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5．答案：A
解析：由题图，.
故选：A.
6．答案：D
解析：由题设，.
故选：D.
7．答案：A
解析：因为向量，，，
，即，
.
故选：A.
8．答案：D
解析：因为是向左平移1个单位长度得到，且函数的图象的对称中心是，
所以的图象的对称中心是，故是R上的奇函数，所以，
对任意的，，且，都有成立，
所以，
令，所以根据单调性的定义可得在上单调递增，
由是R上的奇函数可得是上的偶函数
所以在上单调递减，
当时，不等式得到，矛盾；
当时，转化成即，所以；
当时，转化成，，所以，
综上所述，不等式的解集为.
故选：D.
9．答案：BC
解析：向量，，
若，则，解得或，故A错误；
若，则向量，，由，所以，故B正确；
，，当且仅当时取等号，
故的最小值为6；故C正确；
若与的夹角为锐角，，且与不共线，
即，且，解得且，故D错误，
故选：BC.
10．答案：BC
解析：对于A：，，，，，，即，A错误；
对于B：函数在R上的单调递减，又，，B正确；
对于C：函数在上的单调递增，又，，C正确；
对于D：函数，在上的单调递增，又，，D错误；
故选：BC.
11．答案：BCD
解析：对于A：若，则，整理得：或，
即或，故为直角三角形或等腰三角形，故A错误；
对于B：若，即，利用正弦定理得：，故，故B正确；
对于C：是锐角三角形，所以，整理得，故，
整理得：，故C正确；
对于D：由余弦定理，即，解得或，
所以或，故D正确；
故选：BCD.
12．答案：ACD
解析：由函数图像可知为函数对称轴，即函数满足，
则当时，则，故，，则，
同理当时，则，故，，则，
综合可知，A正确；B错误.
将的图象向左平移1个单位，即得函数，的图象，
则的图象关于y轴对称，故为偶函数，C正确；
当时，，令，解得，故；
当时，，令，解得，故，
综合可得，即不等式的解集为，D正确，
故选：ACD.
13．答案：
解析：由题意，，
所以，，
所以，解得（负值舍去）.
故答案为：.
14．答案：
解析：向量，且，
，，
，，
，，
向量在向量方向上的投影是，
故答案：.
15．答案：1
解析：如图，在中，设D为边的中点，
则，，，所以，
故，而，，，
所以，则，
由于，故，
所以，设的外接圆的半径为R，
则，.
故答案为：1.
16．答案：/
解析：在中，，，，其中，
由余弦定理可得，
因为，，
所以，四边形的面积为，为锐角，且，
因为，则，
故当时，“直接监测覆盖区域”面积的最大，且其最大值为.
故答案为：.
17．答案：（1）5
（2）2
解析：（1）；
（2）.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由已知及正弦定理知：.
因为C为锐角，则，所以.
因为A为锐角，则.
（2）由余弦定理，.
则，即，
即，因为，则，
所以的面积.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，所以.
因为向量，满足，，所以，所以.
所以.
（2）因为，
所以.
20．答案：（1）50海里
（2）2小时
解析：（1）由题意知：，，，
所以，
在中，由正弦定理可得：，
即，所以海里.
（2）在中，，，，
由余弦定理可得，
所以海里，所以需要的时间为小时，
所以C点到D点的距离海里，救援船到达D点需要的时间为2小时.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，所以，
因为，，与的夹角为，
所以，
所以.
（2）
.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）函数，则不等式化为：，即，
，而，因此，解得，
所以原不等式的解集是.
（2）依题意，，当时，，
，则，
令，，，，，
，因为，则，，
因此，即，则有函数在上单调递增，
于是当时，，即，，
，从而，
所以实数k的取值范围是.