青龙满族自治县实验中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份青龙满族自治县实验中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．复数，则复数z的虚部是( )
A.B.C.D.
2．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
3．若,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．如图，点A为单位圆上一点，，点A沿单位圆逆时针方向旋转角到点，则( )
A.B.C.D.
5．函数的部分图象大致为( )
A.B.
C.D.
6．某校研究性学习小组想要测量某塔的高度，现选取与塔底D在同一个水平面内的两个测量基点A与B，现测得，，米，在点A处测得塔顶C的仰角为，则塔高为( )米.
A.B.C.D.
7．已知向量，满足，且，则向量在方向上的投影为( )
A.B.C.D.
8．的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，且，则下列选项不一定成立的是( )
A.B.的周长为
C.的面积为D.的外接圆半径为
二、多项选择题
9．已知i为虚数单位，复数，则下列命题正确的有( )
A.若，则z为实数B.若，则z为纯虚数
C.若，则实数a的值为1D.复数z在复平面内对应的点不可能在第三象限
10．关于函数的下述四个结论正确的是( )
A.是偶函数B.在区间单调递增
C.在有4个零点D.的最大值为2
11．下列结论正确的是( )
A.在中，若，则
B.在锐角三角形中，不等式恒成立
C.若，则为等腰三角形
D.在中，若，，三角形面积，则三角形外接圆半径为
12．关于函数，正确的说法是( )
A.的图像关于点对称B.的定义域为
C.在单调递增D.有且仅有一个零点
三、填空题
13．已知函数，，则________
14．已知单位向量，满足，且，，则_________.
15．已知i是虚数单位，复数，则z的虚部为__________.
16．在中，点O是的三等分点，，过点O的直线分别交直线，于点E，F，且，，，若的最小值为，则正数t的值为___________
四、解答题
17．已知复数，且为纯虚数.
（1）求复数z；
（2）若，求复数以及模.
18．如图，在中，且，，交于点F.
（1）若，求的值；
（2）若，，，求.
19．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，.
（1）求B；
（2）若，求边上的高.
20．已知函数，.
（1）当时，试判断它的单调性；并证明
（2）若时，是减函数时，是增函数，试求a的值及上的最小值.
21．已知，，.
（1）将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，求的解析式及最小正周期；
（2）当时，求函数的单调递增区间、最值及取得最值时x的值.
22．定义在上的函数，满足，且当时，.
（1）求的值.
（2）求证：.
（3）求证：在上是增函数.
（4）若，解不等式.
（5）比较与的大小.
参考答案
1．答案：B
解析：，则复数z的虚部为.
2．答案：B
解析：由，而，
所以.
故选：B.
3．答案：A
解析：解不等式可得,解不等式可得或,
因为或,
因此,“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4．答案：A
解析：由题意得：，，
，
故选A.
5．答案：D
解析：易知函数为偶函数，所以其图象关于y轴对称，排除A，B项；又当时，，排除C选项.
故选：D.
6．答案：A
解析：在三角形中：，
由正弦定理得，，
在中，.
故选：A.
7．答案：B
解析：因为，故可得，
故，
则向量在方向上的投影为.
故选：B.
8．答案：A
解析：中满足，由诱导公式及二倍角公式化简可得，
由正弦和角公式与差角公式展开化简可得，
即，
则，或，
所以或，
由题意，，
对于A，当时，由正弦定理可得;当时，，则，此时，所以A不一定正确;
对于B，当时，即.由余弦定理，代入可解得，，所以周长为;当时，，则，此时，，所以周长为.由以上可知，所以B正确;
对于C，由B可知，当时，;当时，，所以C正确;
对于D，当时，由正弦定理可得，则;当时，外接圆半径为斜边的一半，即，由以上可知，D为正确选项.
综上可知，A为选项.
故选:A.
9．答案：ABD
解析：复数，
若，则为实数，即A正确；
若，则为纯虚数，即B正确；
若，则，解得，即C错误；
若复数z在复平面内对应的点在第三象限，则，即，所以无解，即复数z在复平面内对应的点不可能在第三象限，D正确.
故选：ABD.
10．答案：AD
解析：由题意函数，
作出其图象如图：
由图象可知是偶函数，A正确；
在区间单调递减，B错误；
在有3个零点，C错误；
的最大值为2，D正确；
故选：AD.
11．答案：AB
解析：中，，由得，A正确；
锐角三角形中，，，B正确；
中，若，则或，即或，为等腰三角形或直角三角形，C错；
中，若，，三角形面积，，，，，
，，D错.
故选：AB.
12．答案：BD
解析：函数，其图象如图：
由图象知：的图像关于点对称，的定义域为，
在单调递减，有且仅有一个零点.
故选：BD.
13．答案：
解析：，
，.
14．答案：2
解析：.
故答案为：2.
15．答案：
解析：因为，所以，
故z的虚部为.
故答案为：.
16．答案：2
解析：因为点O是的三等分点，则，
又由点E，O，F三点共线，所以，
所以，可得，
所以，
当且仅当时，等号成立，
即的最小值为，则有，
即，所以，因为，
所以，
故答案为：2.
17．答案：（1）
（2），
解析：（1）由已知得，
是纯虚数，
且，则，从而.
（2）由（1）知，
.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1），又，
，
由C，F，D三点共线，设，
，又，
，
，，
，.
（2）由（1），
，
又，
，
又，，，
.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）由正弦定理知，
即，因为，，，
所以，故.
因为，所以.
（2）由余弦定理及知.
所以，即，
所以，即，
设边上的高为h，则，
，
所以边上的高.
20．答案：（1）在区间上单调递增；证明见解析
（2），的最小值为4
解析：（1）函数，在区间上单调递增，
设时，，，
所以在区间上单调递增.
（2）由时，是减函数可知：
恒成立
恒成立，，，
同理可得：时，是增函数，，故，
当时，函数有最小值4.
21．答案：（1），最小正周期为π
（2）函数的单调增区间为；的最大值为6，此时；的最小值为，此时
解析：（1）由已知得，
.
将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，
所以.
所以的最小正周期.
（2）由（1）得，当时，.
令，解得，
所以函数的单调增区间为，
所以的最大值为6，此时，；
的最小值为，此时，.
22．答案：（1）
（2）证明见解析
（3）证明见解析
（4）
（5）
解析：（1）令，由条件得.
（2），
即.
（3）任取，，且，则.
由（2）得.，即.
在上是增函数.
（4），，
.
又在上为增函数，，
解得.
故不等式的解集为.
（5），
，
，
（当且仅当时取等号）.
又在上是增函数，
.
∴.