山东省泰安第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份山东省泰安第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设是可导函数,且,则( )
A.2B.C.-1D.-2
2．学校组织研学活动,现有寿宁下党乡、福安柏柱洋、屏南潦头村、福鼎赤溪村4条路线供3个年级段选择,每个年段必项且只能选择一条路线,则不同的选择方法有( )
A.4种B.24种C.64种D.81种
3．曲线在处的切线的倾斜角是( )
A.B.C.D.
4．已知函数的导函数为,且,则( )
A.B.C.D.
5．若为函数的极值点,则函数的最小值为( )
A.B.C.D.
6．如图,现要对某公园的4个区域进行绿化,有4种不同颜色的花卉可供选择,要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色的花卉,则不同的绿化方案有( )
A.48种B.72种C.64种D.256种
7．已知函数,若,,则实数k的最大值是( )
A.B.C.D.
8．已知定义在R上的函数的导数为,,且对任意的x满足,则不等式的解集是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知某种产品的加工需要经过5道工序,则下列说法正确的是( )
A.若其中某道工序不能放在最后,有96种加工顺序
B.若其中某2道工序既不能放在最前,也不能放在最后,有72种加工顺序
C.若其中某2道工序必须相邻,有48种加工顺序
D.若其中某2道工序不能相邻,有36种加工顺序
10．已知函数，则( )
A.曲线在点处的切线方程是
B.函数有极大值，且极大值点
C.
D.函数有两个零点
11．若不等式在时恒成立,则实数a的值可以为( )
A.B.C.eD.2
三、填空题
12．函数在上单调递减,则实数m的取值范围是___________．
13．第40届潍坊国际风筝会期间,某学校派5人参加连续6天的志愿服务活动,其中甲连续参加2天,其他人各参加1天,则不同的安排方法有_____________种．（结果用数值表示）
14．若直线为曲线的一条切线,则的最大值为__________.
四、解答题
15．已如曲线在处的切线与直线垂直.
（1）求a的值;
（2）若恒成立,求b的取值范围.
16．用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数．
（1）在组成的三位数中,求所有偶数的个数;
（2）在组成的三位数中,如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小,则称这个数为“凹数”,如301,423等都是“凹数”,试求“凹数”的个数;
（3）在组成的五位数中,求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数．
17．给定函数.
（1）讨论函数的单调性,并求出的极值;
（2）讨论方程解的个数.
18．已知函数.
（1）讨论的单调性.
（2）若存在两个零点,,且曲线在和处的切线交于点.
①求实数a的取值范围;
②证明：.
19．若,都存在唯一的实数,使得,则称函数存在“源数列”.已知.
（1）证明：存在源数列;
（2）（ⅰ）若恒成立,求的取值范围;
（ⅱ）记的源数列为,证明：前n项和.
参考答案
1．答案：B
解析：,
．故选：B．
2．答案：C
解析：3个年级段均有4种选择,故不同的选择方法有种.
故选：C.
3．答案：A
解析：,,
设切线的倾斜角为,,则,即,
故选：A．
4．答案：C
解析：因为,所以,
令,则,．
故选：C.
5．答案：C
解析：,
因为是函数极值点,
所以,则,
所以,
当时,,当时,,
所以函数在上单调递减,在上单调递增,
所以．
故选：C.
6．答案：A
解析：从A开始摆放花卉,A有4种颜色花卉摆放方法,
C有3种颜色花卉摆放方法,B有2种颜色花卉摆放方法;
由D区与A,B花卉颜色不一样,与C区花卉颜色可以同色也可以不同色,
则D有2种颜色花卉摆放方法.
故共有种绿化方案.
故选：A.
7．答案：B
解析：由题设,使成立,
令,则,
当时,则递增;
当时,则递减;
,故即可,所以k的最大值为.
故选：B.
8．答案：A
解析：构建,则,
因为,则,即,
可知在R上单调递减,且,
由可得,即,解得,
所以不等式的解集是.
故选：A．
9．答案：AC
解析：假设有甲乙丙丁戊,这5道工序.
对A：假设甲工序不能放到最后,则甲有4种安排方式,根据分步计数原理,
所有的安排顺序有：种,故A正确;
对B：假设甲乙2道工序不能放到最前,也不能放到最后,
先安排甲乙,则共有种安排方式;再安排剩余3道工序,共有种;
根据分步计数原理,则所有的安排顺序有：种,故B错误;
对C：假设甲乙工序相邻,将甲和乙捆绑为一道工序,和剩余3道工序放在一起排序,
则共有种加工顺序,故C正确;
对D：假设甲乙工序不能相邻,则先安排剩余3道工序,在形成的4个空中,安排甲乙,
故共有：种加工顺序,故D错误.
故选：AC.
10．答案：AB
解析：由，得，则，故曲线在点处的切线方程是，即，故A正确；令，则，所以在上单调递减，又，,所以存在，使得，即，则在上单调递增，在上单调递减，所以有极大值，且极大值点，故B正确；由上知在上单调递减，故，故C错误；当时，单调递增，又,在有一个零点，当时，，则在上无零点，即只有一个零点，故D错误.故选AB.
11．答案：BCD
解析：由得,
设,则,
当时,,单调递增,当时,,单调递减,
又,,当时,恒成立,
所以的图象如下：
,
,即,,
对于A：当时,,根据图象可得不恒成立,A错误;
对于B：当时,,根据图象可得恒成立,B正确;
对于C：当时,,根据图象可得恒成立,C正确;
对于D：当时,,又,
因为,且,即,
所以,即,
根据图象可得恒成立,D正确;
故选：BCD.
12．答案：
解析：在上恒成立,当时,,满足题意,
当时,且,即解得,所以,
当时,函数的对称轴为,
所以只需,即,所以,所以,
综上.
故答案为：.
13．答案：120
解析：在6天里,连续2天的情况,一共有5种,
则剩下的4人全排列有种排法,
故一共有种排法．
故答案为：120．
14．答案：
解析：设,则,
设切点为,则,
则切线方程为,整理可得,
所以,解得,,
所以,所以,
设,则,
当时,单调递增,
当时,单调递减,
所以当时,取得最大值,
所以的最大值为.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）由于的斜率为,所以,
又,故,解得,
（2）由（1）知,所以,
故当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
故当时,取最小值,
要使恒成立,故,解得,
故b的取值范围为.
16．答案：（1）共有30个符合题意的三位偶数．
（2）共有20个符合题意的“凹数
（3）共有28个符合题意的五位数
解析：（1）将所有的三位偶数分为两类：
（i）若个位数为,则共有（个）;
（ii）若个位数为2或4,则共有（个）,
所以,共有30个符合题意的三位偶数．
（2）将这些“凹数”分为三类：
（i）若十位数字为0,则共有（个）;
（ii）若十位数字为1,则共有（个）;
（iii）若十位数字为2,则共有（个）,
所以,共有20个符合题意的“凹数”．
（3）将符合题意的五位数分为三类：
（i）若两个奇数数字在一、三位置,则共有（个）;
（ii）若两个奇数数字在二、四位置,则共有（个）;
（iii）若两个奇数数字在三、五位置,则共有（个）,
所以,共有28个符合题意的五位数．
17．答案：（1）在区间上单调递减,在区间上单调递增;极小值为,无极大值
（2）答案见解析
解析：（1）函数的定义域为.
.
令,解得 ,
,的变化情况如表所示.
所以,在区间上单调递减,在区间上单调递增.
当时,有极小值,无极大值
（2）方程的解的个数为函数的图象与直线的交点个数.
令,解得.
当时,;当时,.
又由（1）可知,在时有唯一极小值,也最小值.
所以,的图象经过特殊点,, .
且当时,有;
当时,有.
如图,作出函数的图象
由图象可得,
当时,与的图象没有交点,所以方程的解为0个;
当或时,与的图象只有一个交点,所以方程的解为1个;
当时,与的图象有两个交点,所以方程的解为2个.
18．答案：（1）答案见解析
（2）①;②证明见解析
解析：（1）.
当时,,在上单调递减;
当时,令,得.
当时,,当时,,.
所以在上单调递增,在上单调递减.
（2）①由（1）知,当时,在上单调递减,不可能有两个零点,
当时,在上单调递增,在上单调递减,
所以,所以,
又,;,;
所以a的取值范围是.
②曲线在和处的切线分别是,,
联立两条切线方程得,所以.
因所以.
要证,只需证,
即证,只要证.
令,.
则,所以在上单调递减,
所以,
所以,所以.
19．答案：（1）证明见解析
（2）（i）;（ii）证明见解析
解析：（1）由,,得,
即在上单调递减,又,
当且x无限趋近于0时,趋向于正无穷大,
即的值域为,且函数在上单调递减,
对于可以取到任意正整数,且在上都有存在唯一自变量与之对应,
故对于,令,其在上的解必存在且唯一,不妨设解为,
即,则都存在唯一的实数,使得,
即存在源数列;
（2）（i）恒成立,即恒成立,
令,即恒成立,
令,则,
令,,则,仅在时取等号,
即在上单调递减,故,即在上单调递增,、
故,故;
（ii）由（i）得,故,即,
故,
当时,,
当时,,
即前n项和.
X
-3
-
0
+
单调递减
单调递增