泗阳县实验高级中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份泗阳县实验高级中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．在中，( )
A.B.C.D.0
2．已知，，平面向量的坐标是( )
A.B.C.D.
3．计算( )
A.B.C.D.
4．在矩形中，，，则等于( )
A.B.C.3D.4
5．已知向量，，则在上的投影向量为( )
A.B.C.D.
6．已知向量，，若A，B，C三点共线，则( )
A.10B.80C.-10D.-80
7．已知角，满足，，则( )
A.B.C.D.
8．已知O为所在平面上一点，若，，，则( )
A.B.C.8D.
二、多项选择题
9．已知，，为非零向量，则下列说法正确的是( )
A.若，，则B.若，则，共线且方向相反
C.若，则D.，则
10．下列化简结果正确的是( )
A.B.
C.D.
11．点O为所在平面内一点，则( )
A.若，则点O为的重心
B.若，则点O为的垂心
C.若.则点O为的垂心
D.在中，设，那么动点O的轨迹必通过的外心
三、填空题
12．化简______.
13．已知向量，满足，，，则________.
14．已知点A，B，C均位于同一单位圆O上，且，若，则的取值范围为__________.
四、解答题
15．已知向量，，.
（1）求满足的实数m，n的值；
（2）若，求实数k的值.
16．已知非零向量，不共线.
（1）如果，，，求证：A，B，D三点共线；
（2）欲使和共线，试确定实数k的值.
17．如图，在梯形中，E为的中点，，，，.
（1）求的值；
（2）求与夹角的余弦值.
18．已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.
(1)设函数，试求的伴随向量；
(2)记向量的伴随函数为，求当且时，的值；
(3)已知将(2)中的函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，再把整个图象向右平移个单位长度得到的图象，若存在，使成立，求a的取值范围.
19．如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴同方向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做在斜坐标系中的坐标.
（1）若，，，求.
（2）若，，，求在上的投影向量斜坐标.
（3）若，，，，求的最小值.
参考答案
1．答案：A
解析：.
故选：A.
2．答案：D
解析：，，，即平面向量的坐标是 QUOTE (-2,3) (-2,3)，综上所述，答案选择：D.
3．答案：B
解析：因为.
故选：B.
4．答案：A
解析：在矩形中，由，可得，
又因为，故，故.
故选：A.
5．答案：B
解析：，，，
在上的投影向量为，
故选：B.
6．答案：A
解析：因为A，B，C三点共线，
所以，则，，
所以，
故.
故选：A.
7．答案：A
解析：，，
，，
，
故选：A.
8．答案：B
解析：因为，所以O为的外心，
又因为，所以O为的重心，
所以为等边三角形，又，
则.
故选：B.
9．答案：ABD
解析：对于A，因为，，为非零向量，所以由平行的传递性可得，故A正确；
对于B，若，则，共线且方向相反，故B正确；
对于C，当时，有，但不一定成立，故C错误；
对于D，由，得，即，
化简可得，所以，故D正确.
故选：ABD.
10．答案：ACD
解析：对于A，，故A正确；
对于B，，故B不正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确，
故选：ACD.
11．答案：AD
解析：A.由于，其中D为的中点，可知O为边上中线的三等分点（靠近线段），故O为的重心；选项A正确.
B.向量，，分别表示在边和上取单位向量和，它们的差是向量，当，即时，则点O在的平分线上，同理由，知点O在的平分线上，故O为的内心；选项B错误.
C.是以，为边的平行四边形的一条对角线的长，而是该平行四边形的另一条对角线的长，表示这个平行四边形是菱形，即，同理有，故O为的外心.选项C错误.
对于D，设M是的中点，，
即，所以，
所以动点O在线段的中垂线上，故动点O的轨迹必通过的外心.选项D正确.
故选：AD.
12．答案：
解析：由.
故答案为：.
13．答案：
解析：由，，，得，有，
则，
故答案为：.
14．答案：
解析：由可得：，
所以，所以，即线段BC为单位圆的直径.
以圆心为原点，以BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如下图：
则，，
设，则，，
由可得：，所以点P在以原点为圆心，半径为2的圆上运动，
因为，
所以
，
又，，
所以，即：.
15．答案：（1），
（2）
解析：（1）由，得，则有，解得，
所以，.
（2）依题意，，，
由，得，解得，
所以.
16、
（1）答案：证明见解析
解析：证明：因为，，
所以，共线，且有公共点B，所以A，B，D三点共线.
（2）答案：
解析：因为与共线，所以存在实数，使，
则，又由于向量，不共线，只能有，
解得：.
17．答案：（1）0
（2）
解析：（1）因为，，
所以，
又因为，
所以为等边三角形，
所以，，
在中，由得，
所以，
所以，
由，，
则.
（2）由（1）得，，，
又，，
则
，
又，
，
所以.
18．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)
，
所以.
(2)依题意，
由得，，
，，所以，
所以.
(3)由题意，可得，
若，则，所以，，
令，则可化为，
即，
因为函数是开口向上，对称轴为的二次函数，
所以时，函数单调递减；时，函数单调递增，
所以，
又当时，；当时，，所以；
因为存在，使成立
所以存在使成立，因此只需.
19．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1），，，
，，
，即.
（2），，，
，，
，，
，
，
在上的投影向量为，
即在上的投影向量斜坐标为.
（3），，
，，
，
又，，
，，，
，
令，则，，
又，在上单调递增，
，即的最小值为.