2022-2023学年四川省成都市双流区棠湖外国语学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年四川省成都市双流区棠湖外国语学校八年级（下）期中数学试卷（含解析），共21页。
2.若aa3(x−1)>2x+2的解集是x>5，a则的取值范围为______．
22.如图，在长方形纸片ABCD中，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点G，F，若GE=GB，则CP的长为______．
23.在计算机编程中有这样一个数字程序：对于三个数a，b，c，用min{a,b,c}表示这三个数最小的数.例如：min{−1,2,3}=−1；min{−1,2,a}=a,(a≤−1)−1,(a>−1)，请你根据这个数字程序，并观察图象，写出min{x+1,2−x,2x−1}的最大值为______；
24.2022年成都市中考新体考从总分50分调整为总分60分，增加了体育素质综合评价考核10分，统一考试项目由3项调整为4类，其中一类为自主选考三选一：足球运球绕标志杆、排球对墙垫球、篮球行进间运球上篮．我校为了备考练习，准备购买一批新的排球、篮球，若购买10个排球和15个篮球，共需1500元；若购买12个排球和10个篮球，共需1160元．
(1)求排球与篮球的单价；
(2)学校决定购买排球和篮球共80个，且排球的数量超过篮球的数量，但不多于篮球数量的1.5倍，请问有多少种购买方案？最低费用是多少元？
25.阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替(即换元)，不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
下面是小涵同学用换元法对多项式(x2−4x+1)(x2−4x+7)−7进行因式分解的过程．
解：设x2−4x=y①，将①代入原式后，
原式=(y+1)(y+7)−7(第一步)=y2+8y(第二步)=y(y+8)(第三步)=(x2−4x)(x2−4x+8)(第四步)
请根据上述材料回答下列问题：
(1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的______方法；
(2)老师说，小涵因式分解的结果不彻底，请你通过计算得出该因式分解的最后结果；
(3)请你用“换元法”对多项式(x2+x)(x2+x+2)+(x2+x+1)(x2+x−1)+1进行因式分解．
26.【情景呈现】画∠AOB=90°，并画∠AOB的平分线OC．

(1)把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边分别与∠AOB的两边OA，OB垂直，垂足为E，F，(如图1).则PE PF.(选填：“”或“=”)
(2)把三角尺绕点P旋转(如图2)，猜想PE，PF的大小关系，并说明理由．
【理解应用】
(3)在(2)的条件下，过点P作直线GH⊥OC，分别交OA，OB于点G，H，如图3猜想GE，FH，EF之间的关系为 ．
【拓展延伸】
(4)如图4，画∠AOB=60°，并画∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，作∠EPF=120°，∠EPF的两边分别与OA，OB相交于E，F两点，PE与PF相等吗？请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可．
本题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握相关定义是解答本题的关键．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2.【答案】B
【解析】解：A.∵a5，
又∵不等式组的解集是x>5，
∴2a≤5，
∴a≤52，
故答案为：a≤52．
先求出不等式的解集，再根据不等式的解集得出关于a的不等式，求出不等式的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，能得出关于a的不等式是解此题的关键．
22.【答案】125
【解析】解：根据折叠可知：△DCP≌△DEP，
∴DC=DE=4，CP=EP．
在△GEF和△GBP中，
∠EGF=∠BGPGE=GB∠E=∠B=90°，
∴△OEF≌△OBP(ASA)，
∴EF=BP，GF=GP，
∴BF=EP=CP，
设BF=EP=CP=x，则AF=4−x，BP=3−x=EF，DF=DE−EF=4−(3−x)=x+1，
∵∠A=90°，
∴Rt△ADF中，AF2+AD2=DF2，
∴(4−x)2+32=(1+x)2，
∴x=125，
∴CP=125，
故答案为：125．
根据折叠的性质可得出DC=DE、CP=EP，由∠EOF=∠BOP、∠B=∠E、GE=GB可得出△GEF≌△GBP，根据全等三角形的性质可得出GF=GP、EF=BP，设BF=EP=CP=x，则AF=4−x，BP=3−x=EF，DF=DE−EF=4−(3−x)=x+1，在Rt△ADF中，依据AF2+AD2=DF2，可得到x的值．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，设要求的线段长为x，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程是解决问题的关键．
23.【答案】1
【解析】解：当x>2时，
2x−1>x+1>2−x，
∴min{x+1,2−x,2x−1}=2−x2−x>2x−1，
∴min{x+1,2−x,2x−1}=2x−12x−1，
∴min{x+1,2−x,2x−1}=2x−1=0，
当xx+1>2x−1，
∴min{x+1,2−x,2x−1}=2x−10，
∴W随a的增大而增大，
∴a=32时，W取最小值，最小值为50×32+2400=4000(元)，
此时80−a=80−32=48(个)，
答：购买篮球32个，排球48个，购买费用最低，最低费用是4000元．
【解析】(1)设每个排球x元，每个篮球y元，可得：10x+15y=150012x+10y=1160，即可解得每个排球30元，每个篮球80元；
(2)设购买费用是W元，购买篮球a个，则购买排球(80−a)个，根据排球的数量超过篮球的数量，但不多于篮球数量的1.5倍，可得32≤a≤40，而W=80a+30(80−a)=50a+2400，由一次函数性质可得答案．
本题考查二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组及函数关系式．
25.【答案】提公因式
【解析】解：(1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的提公因式法，
故答案为：提公因式；
(2)设x2−4x=y①，将①代入原式后，
原式=(y+1)(y+7)−7
=y2+8y
=y(y+8)
=(x2−4x)(x2−4x+8)
=x(x−4)(x2−4x+8)；
(3)设x2+x=y，
则：y(y+2)+(y+1)(y−1)+1
=y2+2y+y2−1+1
=2y2+2y
=2y(y+1)
=2(x2+x)(x2+x+1)
=2x(x+1)(x2+x+1)．
(1)根据变形结果判断；
(2)分解到不能再分解为止；
(3)仿照例题，用换元法分解．
本题考查了因式分解的应用，换元法是解题的关键．
26.【答案】= GE2+FH2=EF2
【解析】解：(1)∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC，
∵PE⊥OA，
∴∠OEP=90°，
∵∠AOB=90°，∠EPF=90°，
∴∠OFP=360°−∠AOB−∠PEO−∠EPF=90°，
∴∠OEP=∠OFP，
又∵∠AOC=∠BOC，OP=OP，
∴△OEP≌△OFP(AAS)，
∴PE=PF，
故答案为：=；
(2)结论：PE=PF，
理由：如图2，过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，
∵PM⊥OA，PN⊥OB，∠AOB=90°，
∴∠AOB=∠PME=∠PNF=90°，
∴∠MPN=90°，
与(1)同理可证PM=PN，
∵∠EPF=90°，
∴∠MPE=∠FPN，
在△PEM和△PFN中，
∠PME=∠PNFPM=PN∠MPE=∠NPF，
∴△PEM≌△PFN(ASA)，
∴PE=PF；
(3)结论：GE2+FH2=EF2，
理由：∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=45°，
∵GH⊥OC，
∴∠OGH=∠OHG=45°，
∴OP=PG=PH，
∵∠GPO=90°，∠EPF=90°，
∴∠GPE=∠OPF，
在△GPE和△OPF中，
∠PGE=∠POFPG=PO∠GPE=∠OPF，
∴△GPE≌△OPF(ASA)，
∴GE=OF，
同理可证明△EPO≌△FPH，
∴FH=OE，
在Rt△EOF中，OF2+OE2=EF2，
∴GE2+FH2=EF2，
故答案为：GE2+FH2=EF2；
(4)结论：PE=PF；
理由：作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H．
在△OPG和△OPH中，
∠PGO=∠PHO∠POG=∠POHOP=OP，
∴△OPG≌△OPH(AAS)，
∴PG=PH，
∵∠AOB=60°，∠PGO=∠PHO=90°，
∴∠GPH=120°，
∵∠EPF=120°，
∴∠GPH=∠EPF，
∴∠GPE=∠FPH，
在△PGE和△PHF中，
∠PGE=∠PHFPG=PH∠GPE=∠FPH，
∴△PGE≌△PHF(AAS)，
∴PE=PF．
(1)由全等三角形的判定和性质证明PE=PF；
(2)过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，利用条件证明△PEM≌△PFN即可得出结论；
(3)根据等腰直角三角形的性质得到OP=PG=PH，证明△GPE≌△OPF(ASA)，△EPO≌△FPH，得到答案；
②根据勾股定理，全等三角形的性质解答；
(4)作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H，证明△PGE≌△PHF，根据全等三角形的性质证明结论．
本题考查几何变换综合题，全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．