2024年河南省焦作市中考第一次模拟考试数学模拟试题（含解析）

这是一份2024年河南省焦作市中考第一次模拟考试数学模拟试题（含解析），共23页。试卷主要包含了化简的结果为等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上答在试卷上的答案无效
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1．下列各数中比大的数是（ ）
A．B．C．D．
2．如图是焦作市博物馆的四件特色藏品，其中主视图与左视图相同的是（ ）
A．汉“山阳”陶罐B．东汉五层彩绘陶仓楼
C．东汉彩绘陶房D．西汉铜提梁卣
3．记者1月19日从焦作海关了解到，2023年我市实现进出口总值亿元，进出口规模创历史新高数据“亿”用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，直线相交于点平分，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，，以为直径作，分别交于，，连接，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．下图为某商家2023年1月至10月“人工智能机器人”的月销售量，下列说法错误的是（ ）
A．这10个月的月销售量的众数为28
B．这10个月中7月份的月销售量最高
C．前5个月的月销售量的方差大于后5个月的月销售量的方差
D．4月至7月的月销售量逐月增加
8．二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
9．如图，已知矩形的顶点，若矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第75次结束时，矩形对角线交点的坐标为（ ）

A．B．C．D．
10．如图1，点从等腰直角三角形的顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到的中点．设点运动的路程为的面积为，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ）
A．1B．2C．D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．代数式可表示的实际意义是 ．
12．方程组的解为 ．
13．焦作市两部优秀作品人选河南省2023年度重点文艺创作项目名单，某校七、八、九年级分别从如图所示文艺项目中随机选择一部组织本年级学生欣赏，则这三个年级选择的文艺项目相同的概率为 ．
14．如图，在中，以为直径作交于点，过点作的切线交于点．则的长为 ．
15．如图，在矩形中，，点为的中点，取的中点，连接，当为直角三角形时，的值为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（1）计算：；
（2）化简：．
17．某学校为了解学生“消防安全知识”的掌握情况，从七、八年级各随机抽取名同学进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，描述和分析，下面给出部分信息：
a．七年级成绩的频数分布直方图如下：
b．七年级成绩在这一组的是：
80 80.5 82 82 82 82 83.5 84
84 85 86 86.5 87 88 89 89
c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)在这次测试中，七年级测试成绩的中位数是______分，七年级成绩的众数不可能在_______组；
(2)甲同学侧试成绩为分，在他所在的年级，他的成绩超过了一半以上被调查的同学，请判断甲同学是哪个年级的学生，并说明理由；
(3)七年级共有名学生，若成绩在分以下（不含分）的同学需要参加消防安全知识培训，请你估计七年级有多少名同学需要参加消防安全知识培训．
18．如图，是等边三角形，是边上一点，连接．
(1)请用无刻度的直尺和圆规在的上方作等边（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)连接，求证：．
19．小晃同学借助反比例函数图像设计一个轴对称图形．如图，正方形的中心与平面直角坐标系的原点重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象经过正方形的顶点，以点为圆心，的长为半径作扇形交于点；以为对角线作正方形，再以点为圆心，的长为半径作扇形．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求的长；
(3)直接写出图中阴影部分面积之和．
20．南水北调第一楼位于山阳故城乐南，是一座具有汉代风格，可以望山、观水、展陈的文化地标．某小组利用无人机测量第一楼高度，如图是测量第一楼高度的示意图，无人机在距地面136.65米的P处测得第一楼顶部A的俯角为，测得第一楼底部B的俯角为．求南水北调第一楼的高度（结果精确到）．
21．为庆祝中华人民共和国成立75周年，某平台店计划购进A，B两种纪念币，进价和售价如下表所示：
(1)第一次购进A种纪念币80枚，B种纪念币40枚，求全部售完后获利多少元？
(2)第二次计划购进两种纪念币共150枚，且A种纪念币的进货数量不超过B种纪念币的进货数量的2倍，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润为多少？
22．根据以下素材，探索完成任务
23．在综合实践课上，老师设计下面问题，请你解答．
(1)观察发现
如图1，在平面直角坐标系中，过点作轴的对称点，再分别作点关于直线和轴的对称点，则点可以看作是点绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为___________；点可以看作是点关于点___________的对称点．
(2)探究迁移
如图2，正方形中，为直线下方一点，作点关于直线的对称点，再分别作关于直线和直线的对称点和，连接，，请仅就图2的情况解决以下问题：
①请判断的度数，并说明理由；
②若，求两点间的距离．
(3)拓展应用
在（2）的条件下，若，请直接写出的长．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题考查实数比较大小，解题关键在于对二次根式进行正确的估算．
【解答】A、，不符合题意，选项错误；
B、，不符合题意，选项错误；
C、，不符合题意，选项错误；
D、，符合题意，选项正确．
故选：D．
2．A
【分析】本题考查了三视图，培养了学生的观察能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
根据从正面看到的图形是主视图，从左边看到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：根据主视图和左视图的定义，结合A选项各个面的形状都一样，因此主视图与左视图相同．
故选：A．
3．B
【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．熟记相关结论即可．
【解答】解：∵亿，
故选：B
4．A
【分析】本题考查几何图形中角度的计算，与角平分线有关的计算，利用邻补角和角平分线的定义进行求解即可.
【解答】解：
平分，
故选：A
5．C
【分析】本题主要考查了分式的乘除法，利用分式的乘法法则解答即可．
【解答】解：原式
．
故选：C．
6．B
【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
【解答】解：连接，
，
，
，
，
，
，
故选：B
7．C
【分析】本题考查了折线图，众数、方差等知识，解题的关键知道方差是描述波动程度的量，方差越大，波动越大．
【解答】解：A．这10个月的月销售量的众数为28出现了两次，出现次数最多，故众数为28，选项说法正确，不符合题意；
B．这10个月中7月份的月销售量为40，为最高，选项说法正确，不符合题意；
C．前5个月的月销售量的波动程度小于后5个月的波动程度，故方差小于后5个月的方差，选项说法错误，符合题意；
D．4月至7月的折线图是上升的，故月销售量逐月增加，选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
8．A
【分析】本题考查抛物线与轴的交点、根据判别式判断一元二次方程根的情况以及二次函数图象与各项系数符号，由函数图象可知，根据可以得到关于的一元二次方程的根的情况．
【解答】函数图象开口向上．
对称轴在轴左侧
故一元二次方程有两个不相等的实数根
故选：A．
9．C
【分析】本题考查了矩形的性质，点的坐标特点，旋转的性质，根据求出，进而求出，每次旋转，8次一个循环，，第75次结束时，矩形的对角线交点D与第3次的点D的坐标相同，第3次点D落在x轴的负半轴上，由此可得结论．
【解答】解：∵四边形是矩形，，
∴，
∴，
∵每次旋转，8次一个循环，，
∴点D在x轴的负半轴上，
∴点D的坐标为．
故选：C．
10．B
【分析】本题考查了动点问题的函数图象．由图象知，时，的面积为，当点在（）上运动时，的面积不变，为，当点位于点时，此时为等腰直角三角形，据此，利用的面积，求解即可．
【解答】解：由图象知，当点在点，即时，的面积为，
当点运动到点，此时时，的面积为，
而在运动到的过程中，的面积不变，为，
如图，当点在（）上运动时，的面积不变，为，
∴当点位于点时，此时为等腰直角三角形，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的面积，即，
∴，
∴，
故选：B．
11．一支笔3元，支笔的钱数（答案不唯一）
【分析】本题考查了代数式表示的实际意义，结合实际生活即可求解．
【解答】解：可表示一支笔3元，支笔的钱数,
故答案为：一支笔3元，支笔的钱数（答案不唯一）
12．
【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，掌握消元法是解题关键．
【解答】解：
由①得：③，
将③代入②得：，
解得：，
将代入①得：
∴原方程组的解为：，
故答案为：
13．
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到这三个年级选择的文艺项目相同的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【解答】解：设用A、B表示两部文艺项目，画树状图如下：
由树状图可知，一共有8种等可能性的结果数，其中这三个年级选择的文艺项目相同的结果数有2种，
∴这三个年级选择的文艺项目相同的概率为，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，等腰三角形的性质等，作出辅助线，构造直角三角形，是求解的关键．连接，，根据等腰三角形可求出，可证 ，求出，为等边三角形，根据切线的性质，可证，再证，在直角三角形中，解直角三角形即可求解．
【解答】解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵为直径，
∴，
在中，，，
∴，
∵
∴是等边三角形，
∴，
∵是切线，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴
在中，，，
∴，
故答案是：．
15．或
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，掌握分类讨论是解题的关键．
先证明，当时，；当时，为正三角形，运用勾股定理求解即可．
【解答】解：，，，
，
，，
分情况解答：
①时，
则，
，
；
②时，
，
，
为正三角形，
，
，
则，
，
③，不存在，
故答案为：或．
16．（1）；（2）
【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的化简，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握实数的运算法则，
（1）根据实数的运算法则即可解答；
（2）先去括号再合并即可，
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
17．(1)，
(2)七年级，见解析
(3)210人
【分析】本题考查频数分布直方图，中位数、众数及用样本估计总体，理解中位数、众数的定义，掌握中位数的计算方法是正确解答的关键．
（1）根据中位数、众数的定义直接求解即可；
（2）从七、八年级的中位数进行分析，即可得出甲同学是七年级的同学；
（3）先求出从抽取的50名学生中参加消防安全知识竞赛得人数，再结合统计图给出的数据，即可得出答案．
【解答】（1）解：∵从七年级随机抽取名同学进行测试，
∴中位数是第，名学生的成绩的平均数，
∵，，三组的数据为、、，
∴第，名学生的成绩在这一组，
由这一组的成绩可知：第，名学生的成绩为、，
∴，
∵这一组中，82出现4次，次数最多，
∴七年级成绩的众数不能小于4，
由七年级成绩的频数分布直方图可知：成绩在一组的人数为，
∴七年级成绩的众数不可能在组．
故答案为：，
（2）甲同学是七年级的同学，理由如下：
∵，八年级成绩的中位数为，，
∴甲同学是七年级的同学．
（3）∵七年级成绩在分以下的有（人），
∴七年级需要参加消防安全知识培训的人数为（人），
答：七年级名同学需要参加消防安全知识培训．
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查作等边三角形，等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质：
（1）分别以点C，D为圆心，为半径画弧，两弧在的上方相交于点E，连接，则等边三角形即为所求作；
（2）根据证明，可得
【解答】（1）解：如图，即为所求作；
（2）证明：是等边三角形
，即
，
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将代入，可求，进而可得反比例函数的解析式；
（2）由题意知，，根据，计算求解即可；
（3）根据，计算求解即可．
【解答】（1）解：将代入得，，
解得，，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：由题意知，，
∴，
∴的长为；
（3）解：由题意知，
，
∴图中阴影部分面积之和为．
【点拨】本题考查了反比例函数解析式，反比例函数与几何综合，弧长，扇形面积等知识．熟练掌握反比例函数解析式，反比例函数与几何综合，弧长，扇形面积是解题的关键．
20．南水北调第一楼的高度约为109.3米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过P作交的延长线于点D，则米，根据等腰直角三角形的性质可得，在中，利用锐角三角形函数求解即可．
【解答】解：过P作交的延长线于点D，则米，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
．
答：南水北调第一楼的高度约为109.3米．
21．(1)2880元
(2)按照A种纪念币购进100枚，B种纪念币购进50枚的进货方案，才能使利润最大，最大利润为3600元
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、一次函数的应用，解题的关键是：
（1）根据题意分别计算两种纪念币的利润，即可求解；
（2）设购进x枚A种纪念币，则购进枚B种纪念币，获利y元，根据题意分别列出关于y与x的一次函数，关于x的一元一次不等式，从而求得，再根据一次函数的性质求解即可．
【解答】（1）解：由题意得，（元），
答：全部售完后获利2880元；
（2）解：设购进x枚A种纪念币，则购进枚B种纪念币，获利y元．
由题意得：，
∵A种纪念币的进货数量不超过B种纪念币的进货数量的2倍，
，
∴，
∵，，
∴y随x的增大而减小，
当时，（元），
∴B种纪念币的数量为（枚），
答：按照A种纪念币购进100枚，B种纪念币购进50枚的进货方案，才能使利润最大，最大利润为3600元．
22．任务1：见解析，；任务2：4个；任务3：最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标为
【分析】本题考查了二次函数的应用，一元一次不等式组的应用；
任务1：以中点为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，可得抛物线的顶点，且过点，然后利用待定系数法求解即可；
任务2：设悬挂个灯笼，先根据“间隔在之间”列不等式求解，再根据“悬挂灯笼的数量为双数”得出答案；
任务3：先求出间隔的距离，然后计算即可．
【解答】解：任务1：以中点为原点，以所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
∵矩形的宽为，高为，抛物线形拱的高为，
∴抛物线的顶点，且过点，
设抛物线的解析式为：，
把点代入得：，
解得：，
所以抛物线的解析式为：；
任务2：设悬挂个灯笼，
依题意得：，
解得：，
因为灯笼的个数为双数，
所以符合悬挂条件的灯笼数量为4个；
任务3：由题意得间隔为，
所以最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标为．
23．(1)
(2)①90°，见解析；②
(3)或
【分析】本题主要考查勾股定理以及逆定理，一次函数图象，轴对称的性质，中心对称的性质
（1）根据轴对称和中心对称的性质以及勾股定理以及逆定理求解即可；
（2）①连接，可得，进而即可求解；②先推出，再根据勾股定理求解即可；
（3）分当点P在正方形外部时，当点P在正方形内部时，结合勾股定理求解即可
【解答】（1）解：连接，
∵，
∴，
∴，
∴点可以看作是点绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为，
∵，共线，
∴点可以看作是点关于点的对称点，
故答案为：；
（2）①解：连接
由对称性可得：，
∴；
②由（1）可知：共线，
∴
∵，
∴；
（3）解：①当点P在正方形外部时，连接，过点作，则，，
∴，
∴，
∴；
②当点P在正方形内部时，连接，过点作，则
，，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述：或
年级
平均数
中位数
七年级
85.3
八年级
87.2
85
品名
A
B
进价（元/枚）
45
60
售价（元/枚）
66
90
设计小区大门灯笼的悬挂方案
素材一
图1是某小区的正门，图2是正门的示意图，
小航查阅相关资料获得以下信息：①正门是由一个矩形和一个抛物线形拱组成的轴对称图形，②矩形的宽为，高为，抛物线形拱的高为．
素材二
为迎接龙年春节，拟在图1正门抛物线形拱上悬挂直径为的灯笼，如图3为了美观，要求悬挂灯笼的数量为双数，且平均分布，间隔在之间．
问题解决
任务1
确定拋物线形拱形状
在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式
任务2
探究悬挂数量
给出符合所有悬挂条件的灯笼数量．
任务3
拟定设计方案
根据你建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标