江苏省连云港市海州区新海初级中学2023-2024学年九年级下册3月月考数学试题（含解析）

这是一份江苏省连云港市海州区新海初级中学2023-2024学年九年级下册3月月考数学试题（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．的相反数是（ ）
A．2B．C．D．
2．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
3．2021年5月11日，第7次全国人口普查结果公布：全国常住人口数为14.21亿人，14.21亿用科学记数法表示为（ ）
A．14.21×108B．0.1421×1010C．1.421×109D．1.421×108
4．某班统计了10名同学在一周内的读书时间，则这10名同学一周内累计读书时间的众数是（ ）
A．10B．9C．8D．7
5．在实数﹣，﹣2，1，中，最小的实数是（ ）
A．﹣2B．1C．﹣D．
6．把函数的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是 ( )

A．1B．1.5C．2D．2.5
8．如图，MN是正方形ABCD的对称轴，沿折痕DF，DE折叠，使顶点A，C落在MN上的点G．给出4个结论：①∠BFE＝30°；②△FGM∽△DEG；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．）
9．要使有意义，则x的取值范围是 ．
10．高速公路便捷了物流和出行，构建了我们更好的生活，交通运输部的数据显示，截止去年底，我国高速公路通车里程161000公里，稳居世界第一．161000这个数据用科学记数法可表示为 ．
11．把多项式分解因式的结果为 ．
12．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
13．如图，在中，、是对角线上两点，，，，则的大小为
14．如图，已知半径为1的上有三点，与交于点，，则阴影部分的扇形面积是 ．
15．抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是
16．如图，在的同侧，，点为的中点，若，则的最大值是 ．
三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．计算：
18．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
19．先化简，再求值：（﹣x）÷，请在0≤x≤2的范围内选一个合适的整数代入求值．
20．为弘扬中华传统文化，某校开展“汉剧进课堂”的活动，该校同学随机抽取部分学生，按四个类别：表示“很喜欢”，表示“喜欢”，表示“一般”，表示“不喜欢”，调查他们对汉剧的喜爱情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）这次共抽取_________名学生进行统计调查，扇形统计图中，类所对应的扇形圆心角的大小为__________
（2）将条形统计图补充完整
（3）该校共有1500名学生，估计该校表示“喜欢”的类的学生大约有多少人？
各类学生人数条形统计图各类学生人数扇形统计图
21．一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为．
（1）求的值；
（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率，请用画树状图或列表的方法进行说明．
22．某帐篷厂计划生产10000顶帐篷，由于接到新的生产订单，需提前10天完成这批任务，结果实际每天生产帐篷的数量比计划每天生产帐篷的数量增加了25%，那么计划每天生产多少顶帐篷？
23．如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在x轴上，且的面积为5，求点P的坐标．
24．如图，某海岸边有B,C两码头，C码头位于B码头的正东方向，距B码头40海里．甲、乙两船同时从A岛出发，甲船向位于A岛正北方向的B码头航行，乙船向位于A岛北偏东方向的C码头航行，当甲船到达距B码头30海里的E处时，乙船位于甲船北偏东方向的D处，求此时乙船与C码头之间的距离．（结果保留根号）
25．如图1，在中，，点D，E分别在边上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接．
（1）当时，求证：；
（2）如图3，当时，延长交于点，求证：垂直平分；
（3）在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角的度数．
26．抛物线与轴交于点，，直线与抛物线交于，两点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)在此抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若点为直线上方的抛物线上的一个动点（不与点，重合），将直线上方的抛物线部分关于直线对称形成爱心图案，动点关于直线对称的点为，求的取值范围．
27．如图1，在平面直角坐标系中，四边形的边在x轴上，在y轴上．O为坐标原点，，线段的长分别是方程的两个根．
(1)请求出点B的坐标；
(2)如图2，P为上一点，Q为上一点，，将翻折，使点O落在上的点处，记，，求的值；
(3)在（2）的条件下，M为坐标轴上一点，在平面内是否存在点N，使以，Q，M，N为顶点四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．A
【分析】此题考查了相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，据此进行求解即可．
【解答】解：的相反数是2，
故选：A．
2．A
【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方，根据幂的乘方和积的乘方，即可解答，解决本题的关键是熟记幂的乘方和积的乘方法则．
【解答】，
故选：A．
3．C
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于1时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【解答】解：14.21亿=1421000000=
故选C．
【点拨】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
4．C
【分析】根据众数的定义（众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据）即可得．
【解答】解：由表可知，8出现的次数最多，次数为4次，
则所求的众数是8，
故选：C．
【点拨】本题考查了众数，熟记定义是解题关键．
5．A
【分析】根据正数大于负数，两个负数比较绝对值大的反而小，进行判断即可
【解答】解：在实数﹣，﹣2，1，中，最小的实数是
故选A
【点拨】本题考查了实数的大小比较，掌握实数的大小比较是解题的关键．
6．C
【分析】抛物线在平移时开口方向不变，a不变，根据图象平移的口诀“左加右减、上加下减”即可解答．
【解答】把函数的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为
，
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答的重点在于熟练掌握图象平移时函数表达式的变化特点．
7．C
【分析】连接AE,根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△AFE≌Rt△ADE,在直角△ECG中，根据勾股定理求出DE的长.
【解答】
连接AE，
∵AB=AD=AF,∠D=∠AFE=90°，
由折叠的性质得：Rt△ABG≌Rt△AFG，
在△AFE和△ADE中，
∵AE=AE，AD=AF，∠D=∠AFE，
∴Rt△AFE≌Rt△ADE，
∴EF=DE，
设DE=FE=x，则CG=3，EC=6−x.
在直角△ECG中，根据勾股定理，得：
(6−x)2+9=(x+3)2，
解得x=2.
则DE=2.
【点拨】熟练掌握翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定与性质是本题的解题关键.
8．D
【分析】设，根据折叠的性质得，，根据轴对称的性质得出，即可判断①，从而得出,，继而判断②，设，则，解,即可判断③，分别求得即可判断④．
【解答】解：设，根据折叠的性质得，，
四边形是正方形，则，
，
设正方形的边长为，则，
MN是正方形ABCD的对称轴，
，
，
，
，
，
，故①正确，
，
,，
，，
△FGM∽△DEG；故②正确，
设，则，
在中，，
，
解得，
即，
，
故③不正确；
，
，
，
，
，
，
故④正确
故①②④正确，
故选D．
【点拨】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，解直角三角，相似三角形的判定，综合运用以上知识是解题的关键．
9．
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据当被开方数为非负数时，二次根式有意义即可解答．
【解答】解：要使有意义，则，即．
故答案为：
10．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
【解答】解：．
故答案为： ．
【点拨】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
11．
【分析】先提公因式m，再利用平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：，
故答案为：．
【点拨】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
12．
【分析】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：．
故答案为：．
13．21°.
【分析】由直角三角形斜边中线的性质得DE＝AE＝EF，进而可得DC＝DE，设∠ADE＝x，则∠DAE＝x，进而可得∠DCE＝∠DEC＝2x，再根据平行线的性质可得 ∠ACB＝∠DAE＝x，再根据∠ACB+∠ACD＝∠BCD=63°，即可求得答案.
【解答】∵AE＝EF，∠ADF＝90°，
∴DE＝AE＝EF，
∴∠DAE=∠ADE，
又∵AE＝EF＝CD，
∴DC＝DE，
∴∠DEC=∠DCE，
设∠ADE＝x，则∠DAE＝x，
则∠DCE＝∠DEC＝2x，
又AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAE＝x，
由∠ACB+∠ACD＝∠BCD=63°，
得：x+2x＝63°，
解得：x＝21°，
∴∠ADE=21°，
故答案为21°.
【点拨】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行四边形的性质等，正确把握相关性质是解题的关键.
14．
【分析】根据三角形外角的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，由扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴阴影部分的扇形面积，
故答案为．
【点拨】考核知识点：扇形的面积.记住公式是关键.
15．，.
【分析】由题意可得关于a、b、c的方程组，解方程组用含a的式子表示出b、c，然后把b、c代入到一元二次方程组进行求解即可得.
【解答】依题意，得：，
解得：，
所以，关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx为：，
即：，
化为：，
解得：，，
故答案为，.
【点拨】本题考查了抛物线上点的坐标特征，解方程组，解一元二次方程等，综合性较强，正确把握抛物线上的点的坐标一定满足抛物线的解析式，得到用含a的式子表示出b和c是解题的关键.
16．14
【分析】如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′，证明△A′MB′为等边三角形，即可解决问题．
【解答】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点．
，
，
，
，
，
为等边三角形
，
的最大值为，
故答案为．
【点拨】本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题
17．
【分析】先求特殊角的三角函数值，化简绝对值，计算零次幂与负整数指数幂，再合并即可．
【解答】解：
．
【点拨】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，零次幂，负整数指数幂的含义，熟记运算法则与特殊角的三角函数值是解本题的关键．
18．，数轴表示见解析．
【分析】分别解两个不等式，求出解集公共部分即可．
【解答】
解：由①得：，
由②得：，
不等式组的解集在数轴上表示如图：

所以，不等式组的解集是
【点拨】此题考查解不等式组，不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
19．﹣2﹣x，－2
【分析】先去括号、化除法为乘法进行化简，然后根据分式有意义的条件取x的值，代入求值即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝﹣2﹣x．
∵x≠1，x≠2，
∴在0≤x≤2的范围内的整数选x＝0．
当x＝0时，原式＝﹣2﹣0＝﹣2．
【点拨】本题考查分式的化简求值,关键在于熟练掌握基础的计算方法.
20．（1）50：72°.（1）见解析；（3）690人.
【分析】(1)根据C类学生的人数以及所占的比例可求得抽取的学生数，再用360度乘以D类学生所占的比例即可求得答案；
(2)先求出A类的学生数，然后补全统计图即可；
(3)用1500乘以B类学生所占的比例即可得.
【解答】(1)这次共抽取了12÷24%=50名学生进行统计调查，
类所对应的扇形圆心角的大小为360°×=72°，
故答案为50，72°；
(2)A类学生数：50-23-12-10=5，
补全统计图如图所示：
(3)(人)，
答：估计该校表示“喜欢”的类的学生大约有690人.
【点拨】本题考查了条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体，弄清题意，读懂统计图，从中找到必要的信息是解题的关键.
21．（1）1；（2）．
【分析】（1）根据概率公式列方程求解即可；
（2）先画出树状图确定所有情况数和所求情况数，然后再运用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）由题意得 ，解得n=1；
（2）根据题意画出树状图如下：
所以共有9种情况，其中两次摸球摸到一个白球和一个黑球有4种情况，则 两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．
【点拨】本题考查了概率公式的运用和利用树状图求概率，根据概率公式列方程和正确画出树状图是解答本题的关键．
22．200顶
【分析】设计划每天生产x顶帐篷，则实际每天生产顶帐篷，根据题意列出方程求解即可．
【解答】解：设计划每天生产x顶帐篷，则实际每天生产顶帐篷，
根据题意得，
解这个方程，得，
经检验，是所列方程的根，
答：计划每天生产200顶帐篷．
【点拨】本题考查了分式方程的实际应用，根据题意列出方程是解题关键．
23．（1） （2）P的坐标为或
【分析】（1）利用点A在上求a，进而代入反比例函数求k即可；
（2）设，求得C点的坐标，则，然后根据三角形面积公式列出方程，解方程即可．
【解答】（1）把点代入，得，
∴
把代入反比例函数，
∴；
∴反比例函数的表达式为；
（2）∵一次函数的图象与x轴交于点C，
∴，
设，
∴，
∴，
∴或，
∴P的坐标为或．
【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的解析式等知识点，能用待定系数法求出反比例函数的解析式是解此题的关键．
24．海里
【分析】方法1：延长交延长线于点F，种用外角的性质可求得 ，利用直角三角形求得 ，利用直角三角形的性质求出BF的长，然后依次求出CF，CD的长，问题得以解决；
方法2：过点D作于点M，于点N，利用直角三角形的性质，在中， 先求得AB，再求AE；在中，先求ME，BM，再求DN；最后在中，求CD，问题得解；
方法3：设，则，利用直角三角形的性质，在中，求出DM= ，从而求得，最后在中，利用列方程求出x值 ，进而求得CD，问题得解；
方法4：过点E作于点G，利用直角三角形的性质,在中，求得AB，在中，求得AG，AD ,最后求得CD问题得解．
【解答】方法1：
解：如图1，延长交延长线于点F，
由题意得，
，，
，
．
在中，，
，
，
，
（海里），
答：此时乙船与C码头之间的距离为海里．
方法2：
解：如图2，
过点D作于点M，于点N，则四边形为矩形．
．
在中，，
，，
．
．
，
，
，
．
在中，．
，
， ．
．
在中，，
，
（海里）．
答：此时乙船与C码头之间的距离为海里．
方法3：解：如图2，过点D作于点M,于点N，则四边形为矩形．
．
设，则，
在中，，
，
， ，
．
在中，
，
．
（海里）．
答：此时乙船与C码头之间的距离为（海里）．
方法4：
如图3，过点E作于点G，

在中，，
，
，
．
在中，，
，
，
，
，
，
．
于点G，
，
（海里）．
答：此时乙船与C码头之间的距离为海里．
【点拨】本题主要考直角三角形性质，特别是三角函数在解三角形中的应用，考查了计算能力和数形结合思想．
25．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）的面积的最大值为，旋转角的度数为
【分析】（1）利用 “SAS”证得△ACE△ABD即可得到结论；
（2）利用 “SAS”证得△ACE△ABD，推出∠ACE=∠ABD，计算得出AD=BC=，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论；
（3）观察图形，当点D在线段BC的垂直平分线上时，的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解．
【解答】（1）根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90，
∵∠CAE+∠BAE =∠BAD+∠BAE =90，
∴∠CAE=∠BAD，
在△ACE和△ABD中，，
∴△ACE△ABD(SAS)，
∴CE=BD；
（2）根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90，
在△ACE和△ABD中，，
∴△ACE△ABD(SAS)，
∴∠ACE=∠ABD，
∵∠ACE+∠AEC=90，且∠AEC=∠FEB，
∴∠ABD+∠FEB=90，
∴∠EFB=90，
∴CF⊥BD，
∵AB=AC=，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90，
∴BC=AB =，CD= AC+ AD=，
∴BC= CD，
∵CF⊥BD，
∴CF是线段BD的垂直平分线；
（3）中，边BC的长是定值，则BC边上的高取最大值时的面积有最大值，
∴当点D在线段BC的垂直平分线上时，的面积取得最大值，如图：
∵∵AB=AC=，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90，DG⊥BC于G，
∴AG=BC=，∠GAB=45，
∴DG=AG+AD=，∠DAB=180-45=135，
∴的面积的最大值为：，
旋转角．
【点拨】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
26．(1)
(2)存在，，理由见解答
(3)
【分析】（1）将，代入抛物线求解即可：
（2）连接BC，BC与对称轴的交点即点P，此时的周长最小；
（3）过点E作轴，进而得到，由三角函数即可求解；
【解答】（1）解：将，代入抛物线得，
解得：，
∴抛物线的解析式为：．
（2）由解得：，
∴，，
设BC的解析式为：，
将，代入得，
解得：，
∴，
抛物线的对称轴为：，
当点P在BC上时，的周长最小，
∴将代入中，
，
∴．
（3）设点，
由，可求得CD的解析式为：，
过点E作轴，
∴，
将代入得，，
将代入得，，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
当时，最大，
∵，
∴，
∴的取值范围为：．
【点拨】本题主要考查二次函数与一次函数的综合应用、三角函数的应用，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
27．(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为或，或或
【分析】（1）先利用因式分解法解方程可得到，，则可得出答案；
（2）得出四边形为矩形，则，根据勾股定理求出，则，证明，可得，，即可得、的值，相加可得出答案；
（3）分点在轴上和点在轴上，画出符合条件的矩形，根据全等三角形的性质及勾股定理求出点坐标，求出的解析式，则可求出点的坐标．
【解答】（1），
，
得，．
，
，，
．
（2）连接，
，，
四边形为平行四边形．
，
四边形为矩形，
，，
，，
由翻折，使点落在上的点处，可得，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，，
；
（3）存在，点的坐标为或，或或．
分两种情况：
第一种情况：点在轴上；
①如图1，点在轴的正半轴上，四边形是矩形，
此时点与点重合，则；
②如图2，点在轴的负半轴上，四边形是矩形，
过点作轴于，过点作轴于．
四边形是矩形，
，．
，
，
，
，．
，
设，则，，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
，，
，
，即，
，
，
，；
第一种情况：点在轴上；
①点在轴的正半轴上，四边形是矩形，此时，点和点重合，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
；
②点在轴的负半轴上，四边形是矩形，过点作轴于，
，，
，
，，
，
，
，，
，
综合以上可得，存在点，使以，，，为顶点四边形为矩形，点的坐标为或，或或．
【点拨】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，三角形全等的性质和判定，勾股定理，矩形的判定与性质，相似三角形的性质；理解坐标与图形性质，熟练掌握矩形的性质与判定是解题的关键．
一周内累计的读书时间（小时）
5
8
10
14
人数（个）
1
4
3
2