河南省创新发展联盟2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份河南省创新发展联盟2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷（Word版附解析），共9页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，设，，，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册，第二册。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知函数，则（ ）
A．3B．6C．D．
2．已知直线与垂直，则（ ）
A．2B．C．1D．
3．已知双曲线的一条渐近线方程为，且C与椭圆有公共的焦点，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
4．已知数列满足，且，，则（ ）
A．4B．1C．3D．
5．过坐标原点O作两条互相垂直的直线OA，OB，点A，B（异于点O）均在圆上，则面积的最大值为（ ）
A．26B．C．13D．
6．已知抛物线的焦点为F，点，N是抛物线C上一点，当取得最小值时，的面积为（ ）
A．B．5C．D．12
7．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知点关于直线的对称点Q落在圆上，则
A．1B．C．D．0
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要．求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知数列是单调递增的等比数列，且，，则（ ）
A．B．．
C．与的等比中项为4D．数列是公差为的等差数列
10．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为正方形，且，则（ ）
A．
B．直线BD与平面PCD所成的角为
C．二面角的大小为
D．四棱锥的外接球的表面积为
11．已知函数的导函数为，若，且，，则的取值可能为（ ）
A．2B．3C．4D．5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量，，若，则______．
13．等差数列的前n项和为，若，则______．
14．椭圆的左、右焦点分别为，，过且斜率大于0的直线l与C相交于A，B两点．若内切圆的半径为，则l的斜率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知函数在处取得极大值5．
（1）求a，b的值；
（2）求与直线垂直，并与曲线相切的直线的方程．
16．（15分）
数列满足，．
（1）证明数列是等比数列，并求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
17．（15分）
如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，，，，，且．
（1）证明：．
（2）若，求直线PA与平面PBD所成角的正弦值．
18．（17分）
已知，函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求a的取值范围．
19．（17分）
在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线经过点，点B与点A关于原点对称，C为M上一动点，且C异于A，B两点．
（1）求M的离心率；
（2）若的重心为A，点，求的最小值；
（3）若的垂心为A，求动点T的轨迹方程．
2023-2024学年高二下学期第一次月考
数学参考答案
1．D因为，所以，
则．
2．B因为，所以，解得．
3．A由题可知，解得，故C的方程为．
4．A因为，，所以，，，，，，…，所以是以6为周期的周期数列，则．
5．C由题可知，圆C的半径为，O在圆C上，因为，所以AB是圆C的一条直径．
当时，面积取得最大值，且最大值为．
6．C当MN与抛物线C的准线垂直时，取得最小值，此时，则的面积为．
7．C设，因为，
当时，，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，即，
又，，所以．
8．A由题可知，直线l经过坐标原点O，所以，则Q在圆上．
联立方程组
解得，则．
9．BD因为数列是单调递增的等比数列，所以．
由，解得或（舍去），
则数列的公比，，，则，与的等比中项为．
因为，
所以数列是公差为的等差数列．故选BD．
10．ABD以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系（图略），则，，，，，，
，所以．A正确．
，设平面PCD的法向量为，
则令，得，
，故直线BD与平面PCD所成的角为．B正确．
，设平面BCP的法向量为，则，
令，得，，
由图可知，二面角B-PC-D的大小为钝角，则二面角B-PC-D的大小为．C不正确．
由题可知，四棱锥P-ABCD的外接球的半径，
故四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为．D正确．
11．CD令函数，则
所以单调递增，则，
即，解得，
所以，，所以选CD．
12． 因为，是，所以．
13．26设的公差为d，由，
可得，则，则．
14．设，，，内切圆的半径为r，
则．
联立方程组，整理得，
则，
则由，得，解得或（舍去）．
又l的斜率大于0，所以，l的斜率为．
15．解：（1）由，得．
因为在处取得极大值5，所以，
解得，
经检验知，当时，在处取得极大值5，故．
（2）由（1）可知，，
因为切线与直线垂直，所以切线的斜率为．
设切点的横坐标为，则，解得，则，
所以所求切线的方程为，即．
16．解：（1）因为，所以．
又，所以是以2为首项，4为公比的等比数列，
则，所以．
（2）由（1）可知，，
则，
令，
则，
则
，
所以
令，
则．
17．（1）证明：如图，连接EF交AC于点O，设BD与AC交于点G，
因为，，所以，且．
又底面ABCD为菱形，所以，所以．
因为底面ABCD为菱形，所以O为EF的中点，
则，，
连接PO，从而，即，则．
因为，所以平面PEF．
因为平面PEF，所以．
（2）解：由（1）知，平面PEF，因为平面PEF，所以．
又，，所以PE⊥平面ABCD，
所以，则．
如图，以E为坐标原点，EF所在直线为x轴，AC的平行线为y轴，
EP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，．
设平面PBD法向量为，则由得，
令，得．
，
故直线PA与平面PBD所成角的正弦值为．
13．解：（1）的定义域为，，
当时，，则在上单调递增，
当时，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
（2）由，可得，即，，
令，因为，所以单调递增，
由，可得，则，即．
设，则有，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
所以，因此a的取值范围为．
19．解：（1）因为双曲线经过点，所以，解得，
所以M的离心率．
（2）易知．设，．
因为的重心为A，所以
解得．
因为，所以即．
因为点C异于A，B两点，所以，且，所以T的轨迹不含，两点．
故，当且仅当时，等号成立，
（3）因为A为的垂心，所以，．设，．
当直线BC或AC的斜率为0时，点C的坐标为或，点T与点C重合．
当直线BC或AC的斜率不为0时，直线AT与BT的斜率存在，则，，
由（2）知，则，
则．
因为，所以，
，，则，得，
则．
因为，，都在曲线上，所以动点T的轨迹方程为（挖去，，这三点）．