2024年新高考数学二轮复习 数列综合专项提升四 数列求和方法之分组并项求和法（2份打包，原卷版+教师版）

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一、单选题
1．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．376B．382C．749D．766
【答案】C
【分析】利用累加法求出通项 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用等比数列的求和公式，求解 SKIPIF 1 < 0 即可
【详解】由已知得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
故选：C
【点睛】关键点睛：解题关键在于利用累加法求出通项，难度属于中档题
2．若数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．45B．65C．69D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得答案
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B．
【点睛】
此题考查由数列的通项公式求一些项的和，利用了并项求和法，属于基础题
二、解答题
3．设 SKIPIF 1 < 0 为等差数列， SKIPIF 1 < 0 是正项等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .在① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ，这两个条件中任选一个，回答下列问题：
（1）写出你选择的条件并求数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）在（1）的条件下，若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1）条件选择见解析， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，根据所选的条件结合已知条件得出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列和等比数列的通项公式可求得数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）求得 SKIPIF 1 < 0 ，利用分组求和法可求得 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）选择①：设 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 .
则根据题意有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
选择②：设 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 .
则根据题意有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于 SKIPIF 1 < 0 型数列，其中 SKIPIF 1 < 0 是等差数列， SKIPIF 1 < 0 是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于 SKIPIF 1 < 0 型数列，利用分组求和法；
（4）对于 SKIPIF 1 < 0 型数列，其中 SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，利用裂项相消法.
4．已知数列{an}中，已知a1＝1，a2＝a，an＋1＝k(an＋an＋2)对任意n∈N*都成立，数列{an}的前n项和为Sn.
（1）若{an}是等差数列，求k的值；
（2）若a＝1，k＝－ SKIPIF 1 < 0 ，求Sn.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）根据等差中项可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而求出 SKIPIF 1 < 0 .
（2）根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，讨论n是偶数或n是奇数，利用分组求和即可求解.
【详解】（1）若 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，则对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，当n是偶数时，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当n是奇数时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
综上， SKIPIF 1 < 0 .
5．在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，变形为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而证明结论；
（2）由（1）可得： SKIPIF 1 < 0 ，再利用分组求和即可得出 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）证明： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为1，公比为5的等比数列，
（2）由（1）可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
6．已知正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等差中项， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）直接利用已知条件建立等量关系求出数列的公比，进一步求出数列的通项公式.
（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和.
【详解】（1）正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等差中项，
设公比为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由于 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
关键点点睛：第二问分组后利用等差、等比数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和公式求和是解题关键.
7．在① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ，③ SKIPIF 1 < 0 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.
已知 SKIPIF 1 < 0 是各项均为正数的等差数列，其前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，________，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列.
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【分析】
（1）利用 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
若选①：由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，即可解出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的值，即可求出 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
若选②：由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可解出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的值，即可求出 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
若选③：由 SKIPIF 1 < 0 ，可表示出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，即可解出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的值，即可求出 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，分 SKIPIF 1 < 0 为奇数和偶数，利用并项求和即可求解.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 是各项均为正数的等差数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列.
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
若选①： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 可得：
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍）所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
若选②： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 得：
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 不符合题意；
若选③： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 不符合题意；
综上所述： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】关键点点睛：本题得关键点是分别由条件①②③结合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列计算出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的值，由 SKIPIF 1 < 0 是各项均为正数的等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，第二问中 SKIPIF 1 < 0 正负交错的数列求和，需要用奇偶并项求和，注意分 SKIPIF 1 < 0 为奇数和偶数讨论.
8．已知数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列， SKIPIF 1 < 0 是其前 SKIPIF 1 < 0 项和，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式;
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）由等差数列前n项和公式，结合已知即可求公差 SKIPIF 1 < 0 ，进而写出通项公式即可.
（2）由（1）结论，有 SKIPIF 1 < 0 ，首先分组，再结合等差等比前n项和公式求 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）∵数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列， SKIPIF 1 < 0 是其前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
9．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列.
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，求得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
（2）由（1）和 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】（1）由题意，数列 SKIPIF 1 < 0 中，因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程组，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）和 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
10．已知 SKIPIF 1 < 0 是等比数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是等差数列．
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）首项求出 SKIPIF 1 < 0 ，然后求出 SKIPIF 1 < 0 ，然后可得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）分别算出数列 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和即可.
【详解】（1）设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，由题意得 SKIPIF 1 < 0 ， 解得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，由题意得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ． 从而 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ．数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ；
数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ．
所以，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ．
11．设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）证明数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，并求出数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）若数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1）证明见解析； SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减，可化为 SKIPIF 1 < 0 ，结合等比数列的定义,即可得到结论；
（2）由题知数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 ，再利用分组求和法求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）证明：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ①
SKIPIF 1 < 0 ②
由①－②得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故数列 SKIPIF 1 < 0 是以2为公比，首项为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由题得： SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 是以2为公差，2为首项的等差数列， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】方法点睛：本题考查数列求通项公式与求和问题，求数列和常用的方法：
（1）等差 SKIPIF 1 < 0 等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法；
（3） SKIPIF 1 < 0 （数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列）：裂项相消法；
（4）等差 SKIPIF 1 < 0 等比数列：错位相减法.
12．已知 SKIPIF 1 < 0 是公差不为零的等差数列， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列．
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）根据等比中项的性质，结合等差数列的通项求出公差，即可得出数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）由（1）得出数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，再由分组求和法，结合等差、等比的求和公式求解即可.
【详解】解：（1）由题设知公差 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列得 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）故 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，由分组求和法得 SKIPIF 1 < 0 ．
13．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足奇数项 SKIPIF 1 < 0 成等比数列 SKIPIF 1 < 0 ，而偶数项 SKIPIF 1 < 0 成等差数列 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）求 SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅱ）当 SKIPIF 1 < 0 时，若 SKIPIF 1 < 0 ，试求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
【答案】（Ⅰ） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ； （Ⅱ） SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】
（Ⅰ）设等比数列的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，等差数列的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，代入已知条件求出 SKIPIF 1 < 0 ，得通项公式；
（Ⅱ）用分组求和法求出 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，然后用作差法确定数列 SKIPIF 1 < 0 的单调性，得最大值．
【详解】（Ⅰ）设等比数列的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，等差数列的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅱ）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大项为 SKIPIF 1 < 0 ．
14．在① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ，③ SKIPIF 1 < 0 ，这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答问题.
已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且有 ( SKIPIF 1 < 0 ).(注：如果选择多个条件分别解答，那么按照第一个解答计分)
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】不管选哪一个条件，方法都一样：
（1）由基本量法求出 SKIPIF 1 < 0 ，得通项公式；（2）用分组求和法求 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】若选择① SKIPIF 1 < 0 ，
（1）设数列 SKIPIF 1 < 0 公比为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
若选择② SKIPIF 1 < 0 ，
（1）设数列 SKIPIF 1 < 0 公比为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，故解得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
若选择③ SKIPIF 1 < 0 ，
（1）设数列 SKIPIF 1 < 0 公比为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故解得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
15．设 SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）利用当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，可推出数列为等比数列，即可求出通项公式；
（2）化简 SKIPIF 1 < 0 ，分 SKIPIF 1 < 0 为奇数，偶数，求和即可.
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 所以数列 SKIPIF 1 < 0 为首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列， 故 SKIPIF 1 < 0
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0
故当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0
综上 SKIPIF 1 < 0
16．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 是等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前3项，求 SKIPIF 1 < 0 的值及数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）利用 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 列出关于首项与公差的关系式，求出公差与首项，即可求数列的通项公式．
（2）利用（1）的结论，可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用分组法求，结合等差数列与等比数列的求和公式可求出数列的和．
【详解】（1）数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，设公差为 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
再由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .所以： SKIPIF 1 < 0
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，是等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前3项，
则 SKIPIF 1 < 0 ，根据等差数列的通项公式得到： SKIPIF 1 < 0 ，
代入上式解得： SKIPIF 1 < 0 ，而等数列 SKIPIF 1 < 0 中，c SKIPIF 1 < 0 ，
所以：等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 .于是： SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0
【点睛】利用“分组求和法”求数列前 SKIPIF 1 < 0 项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.
17．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据 SKIPIF 1 < 0 ，由题中条件，即可求出通项；
（2）先由（1）得到 SKIPIF 1 < 0 ，再由分组求和的方法，利用等差数列与等比数列的求和公式，即可得出结果.
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；也满足上式；∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）可得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
18．已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，若对任意的正整数n都有 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求a的值；
（2）试确定数列 SKIPIF 1 < 0 是不是等差数列；若是，求出其通项公式，若不是，说明理由；
（3）记 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 .
（4）记 SKIPIF 1 < 0 是否存在正整数M，使得不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，若存在，求出M的最小值，若不存在，说明理由.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 ；（4） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）令 SKIPIF 1 < 0 ，即得结果；
（2）将 SKIPIF 1 < 0 代入，作差 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ，再结合 SKIPIF 1 < 0 作差整理，即得 SKIPIF 1 < 0 ，即证数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，再计算通项公式即可；
（3）先利用（2）求 SKIPIF 1 < 0 ，再化简得到 SKIPIF 1 < 0 通项公式，最后累加相消即得 SKIPIF 1 < 0 ；
（4）先化简 SKIPIF 1 < 0 ，利用单调性判断其取值范围，再解决恒成立问题得到M范围，即可得到最小值.
【详解】解：（1）对任意的正整数n都有 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 故 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，作差得 SKIPIF 1 < 0 ，化简整理得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，作差得 SKIPIF 1 < 0 ，化简整理得 SKIPIF 1 < 0 ，故数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，故通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）由（2）知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
（4） SKIPIF 1 < 0 ，易见 SKIPIF 1 < 0 是递减数列，故 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 .
依题意不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即有 SKIPIF 1 < 0 ，故正整数M的最小值为3.
【点睛】证明等差数列的方法：
1.定义法；2.等差通项法；3.观察法，利用公式特征观察判断，只用于小题中.
数列求和的常用方法：
1.公式法；2.裂项相消法；3.倒序相加法4.错位相减法；5.并项求和法.
19．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的首项 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求证：数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列；
（2）记 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求最大正整数 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1）证明见解析；（2）99.
【分析】（1）对递推关系两边取倒数，再进行构造 SKIPIF 1 < 0 ，即可得答案；
（2）求出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用分组求和法，即等比数列和等差数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和，再解不等式，即可得答案；
【详解】（1）证明：∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )，∴数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列；
(2)由（1），可得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，∴最大正整数 SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】形如 SKIPIF 1 < 0 的递推关系求通项公式，常可以用构造法进行求解；数列不等式的解，要充分利用 SKIPIF 1 < 0 为整数进行代入求解.
20．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）由已知条件得 SKIPIF 1 < 0 ，利用等差数列的通项公式即可得出 SKIPIF 1 < 0 ；
且 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
利用等比数列的通项公式即可得出 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，利用分组求和即可．
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为首项是1，公差为2的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ① SKIPIF 1 < 0 ②
由①－②得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是首项为1，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，故 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
21．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ,可得数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，求出通项公式即可；
（2）由（1）得到 SKIPIF 1 < 0 ，按 SKIPIF 1 < 0 为偶数和 SKIPIF 1 < 0 为奇数分类，利用等差数列的求和公式和并向求和法得出数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
两式作差得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为3，公比为3的等比数列，故 SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时，前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时，前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
22．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）令 SKIPIF 1 < 0 可求得 SKIPIF 1 < 0 的值，令 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得出 SKIPIF 1 < 0 ，两式作差可得出 SKIPIF 1 < 0 ，且有 SKIPIF 1 < 0 ，可知数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的通项公式可求得数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）利用累加法可求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而可求得数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项的和.
【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 可得出 SKIPIF 1 < 0 ，
两式作差得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，且首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比也为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，易得 SKIPIF 1 < 0 也适合上式，
所以 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
本题考查利用 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的关系求通项，同时也考查了并项求和法，考查计算能力，属于中等题.
三、填空题
23．数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 .
【分析】由于 SKIPIF 1 < 0 ，可得数列 SKIPIF 1 < 0 的所有奇数项为 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 项的所有偶数项共有 SKIPIF 1 < 0 项，从而可求得其结果
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的所有奇数项为 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 项的所有偶数项共有 SKIPIF 1 < 0 项，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：1010
24．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由已知构造等比数列，求出通项得解.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故数列 SKIPIF 1 < 0 是以2为公比，以 SKIPIF 1 < 0 为第二项的等比数列，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
25．在数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，则 SKIPIF 1 < 0 __________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时，可得数列 SKIPIF 1 < 0 的奇数项为公差为2的等差数列，当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时，可得偶数项的特征，将所求问题转化为奇数项和偶数项求和即可.
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ，即数列 SKIPIF 1 < 0 的奇数项为公差为2的等差数列，
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：2550.
26．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，记 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由等差数列的求和公式，求得 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，利用分组求和，即可求解.
【详解】由题意，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0