2024年四川省成都市双流中学中考一模数学模拟试题（含解析）

这是一份2024年四川省成都市双流中学中考一模数学模拟试题（含解析），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

满分（150分）
A卷（100分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．的相反数是（ ）
A．B．C．D．2
2．如图所示的几何体由5个大小相同的立方块搭成，则该几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
3．2023年是不平凡的一年，在严峻的经济环境下，中国经济增速达到了，令世界瞩目．人均是一个地区经济发展水平的重要指标，2023年成都市的人均约为89535元，将数据89535用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．下列运算中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．六名同学的数学成绩分别为83，91，91，78，94，89．这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．91，89B．94，90C．91，90D．91，91
6．若关于x的分式方程的解为，则m的值为（ ）
A．1B．2C．3D．5
7．往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（ ）
A．B．C．D．
8．已知抛物线的图象如图所示，下列说法不正确的是（ ）

A．B．
C．D．当时，随增大而减小
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．分解因式 ．
10．平面直角坐标系中，一点关于原点的对称点的坐标是 ．
11．如图，与位似，位似中心为点O．已知，若的周长等于4，则的周长等于 ．
12．已知点A的坐标为和点B的坐标为都在一次函数图象上，则的值为 ．
13．如图，在中，以点A为圆心长为半径作弧交于点F，分别以点B、F为圆心，大于的长度为半径作弧，交于点G，连接并延长交于点E，若，，则的长为 ．
三、解答题：（本大题共5个小题，共48分）
14．（1）计算：
（2）解不等式组：
15．2024年，教育部先后印发对中小学生手机、睡眠、读物、作业、体质管理的通知，简称五项管理，是教育部旨在推进立德树人，促进学生身体健康、全面发展的重大举措．成都立格实验学校高度重视并积极推进五项管理．为了解立格学子手机使用情况，学校调查了部分学生寒假每天手机使用平均时长．根据调查结果，绘制出如下的统计图1和图2．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)参加这次调查的学生人数为 ___________，图①中m的值为 ___________；
(2)求参与调查的这组学生手机使用平均时长为4小时的圆心角度数；
(3)通过调查分析发现，手机使用时长和学习成绩成负相关，为此，学校准备在参与调查的每天手机使用平均时长为1小时的四位同学（三男一女）中任选两位同学在全校做分享交流，请用列表或画树状图的方法，求选中两男的概率．
16．凤翔湖湖是双流区规划建设“五湖四海”公园之一，如图，为测量双流凤翔湖规划厅A到湖心小岛C的距离，某校数学兴趣小组选择了观察点B进行了如下测量，测得，之间的距离约为，请计算出双流凤翔湖规划厅A到湖心岛C的距离．（结果精确到）（参考数据：）
17．如图，为的直径，C为上一点，为的切线，且平分．
(1)求证：；
(2)若，，求的长
18．如图1，在平面直角坐标系中，点，点，直线与反比例函数的图象在第一象限相交于点，
(1)求反比例函数的解析式；
(2)如图2，点是反比例函数图象上一点，连接，试问在x轴上是否存在一点D，使的面积与的面积相等，若存在，请求点D的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)新定义：如图3，在平面内，如果三角形的一边等于另一边的3倍，这两条边中较长的边称为“麒麟边”，两条边所夹的角称为“麒麟角”，则称该三角形为“麒麟三角形”，如图所示，在平面直角坐标系中，为“麒麟三角形”， 为“麒麟边”， 为“麒麟角”，其中A，B两点在反比例函数 图象上，且A点横坐标为，点C坐标为，当为直角三角形时，求n的值．
B卷
四、填空题（每小题4分，共20分）
19．若α、β是方程的两个实数根，则 ．
20．若有六张完全一样的卡片正面分别写有，，，0，1，2，3，现背面向上，任意抽取一张卡片，其上面的数字作为k的值能使关于x的分式方程的解为正数，且使反比例函数图象过第一、三象限的概率为 ．
21．定义：如果三角形中有两个角的差为，则称这个三角形为互融三角形．在中，，，，点是延长线上一点．若是“互融三角形”，则的长为 ．
22．在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ．
23．如图，正方形中，M、N分别是、边上的点，将四边形沿直线翻折，使得点A、B分别落在点、处，且点恰好为线段的中点，交于点G，作于点P，交于点Q．若，则 ．
五、解答题（本题共3个小题，共30分）
24．2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某旅游商场以每件50元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件80元的价格出售，每日可售出200件．从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查，发现该吉祥物每降价1元，日销售量就会增加20件．设售价为元，日销售量为y件．
(1)直接写出日销售量为y（件）与每件售价x（元）之间的函数关系式______；
(2)为了让顾客得到更大的实惠，当该吉祥物售价定为多少元时，日销售利润达7500元？
(3)该商场如何定价，才能使日销售利润最大？最大利润是多少元？
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴交于点E，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)将该抛物线沿x轴向右平移4个单位长度得到新抛物线，点N是原抛物线上一点，在新抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得以B，C，N，M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程；若不存在，请说明理由．
26．【问题背景】：
如图1，在中，，，，点E是斜边的中点，过点E作交AB于点D．
【实验探究】：
（1）数学活动课中，小明同学将图1中的绕点A按顺时针方向旋转，如图2所示，得到结论：①___________；②直线与所夹锐角的度数为 ___________；
（2）若我们继续将绕点A按顺时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
【拓展延伸】：
（3）在以上探究中，当旋转至D、E、C三点共线时，则的面积为多少？（请直接写出答案）

参考答案与解析
1．D
【分析】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数．
【解答】解：的相反数是2，
故选：D．
2．A
【分析】根据从左面看得到的图形是左视图即可得到答案．
【解答】解：从左面看，可以看到图形分为上下两层，下面一层有两个小正方形，上面一层左边有一个小正方形，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了简单组合体的三视图，熟知三视图的定义是解题的关键．
3．B
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【解答】89535用科学记数法表示为．
故选：B．
4．D
【分析】本题考查了同底数幂的乘法、多项式除以单项式、合并同类项、平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据同底数幂的乘法、多项式除以单项式、合并同类项、平方差公式，逐一计算判断即可得出答案．
【解答】A. ，计算错误，不符合题意；
B. ，计算错误，不符合题意；
C. 和不是同类项不能合并，，计算错误，不符合题意；
D. ，计算正确，符合题意；
故选D．
5．C
【分析】本题为统计题，考查众数与中位数的意义．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】解：在这一组数据中91是出现次数最多的，故众数是91；
而将这组数据从小到大的顺序排列78，83，89，91，91，94．
处于中间位置的两个数是89，91，
那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是，
故选：C．
6．A
【分析】解分式方程，根据方程的解为，即可求解．
【解答】解：，
方程两边同时乘以得：，
解得， 且，
方程的解为，
，
即，
故选：A．
【点拨】本题考查了解分式方程，将分式方程化为整式方程是解题的关键．
7．A
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而可得出的长．
【解答】解：如图所示：连接，过点O作于点D，交于点C，

∵，
∴，
∵的直径为，
∴，
在中，，
∴．
故选：A．
8．D
【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．
【解答】、∵抛物线开口方向向上，
∴，
∵抛物线对称轴位于轴左侧，
∴、同号，即，
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴，
∴，此选项正确；
、根据图象可知，抛物线的图象经过点，
则当时，，此选项正确；
、根据图象可知，抛物线的图象与轴由两个交点，
则，此选项正确；
、当时，随增大而增大，此选项错误，符合题意；
故选：．
9．
【分析】本题考查提公因式法分解因式，掌握式子的结构特征是正确解答的关键．直接提公因式，进行解答即可．
【解答】解：，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，从而可得出答案．
【解答】解：根据中心对称的性质，得点关于原点对称点的坐标是．
故答案为：．
11．12
【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．根据位似变换的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵与位似，
∴，，
∴，
∴，
∴的周长：的周长，
∵的周长，
∴的周长，
故答案为：12．
12．3
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征，求出，的值是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出，的值y1，y2的值，做差后即可求出结论．
【解答】解：当时，；
当时，．
∴．
故答案为：3．
13．
【分析】设交于点，连接，根据作图可知，，再根据平行四边形的性质及等角对对边得出，再证明四边形是菱形，然后根据菱形的性质及勾股定理即可得出答案．
【解答】解：如图，设交于点，连接
由作图可知：，
，
四边形是平行四边形
四边形是平行四边形
四边形是菱形
，
在中，
故答案为：．
【点拨】本题考查了作图-复杂作图、平行四边形的判定及性质、菱形的判定及性质、勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
14．（1）；（2）
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算以及解不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先化简负整数指数幂、绝对值、正弦值，再运算乘法，最后运算加减，即可作答．
（2）先分别算出每个不等式，再取它们的公共解集，即可作答．
【解答】解：（1）
；
（2）∵
∴由，解得；
∴由，解得；
∴不等式组的解集为
15．(1)40；15
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率：
（1）用玩手机时长为2小时的人数除以其人数占比即可求出参与调查的人数，进而求出m的值即可；
（2）用360度乘以参与调查的这组学生手机使用平均时长为4小时的人数占比即可得到答案；
（3）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到选中两男的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【解答】（1）解：人，
∴参加这次调查的学生人数为40人，
∴，
∴，
故答案为：40；15；
（2）解：，
∴参与调查的这组学生手机使用平均时长为4小时的圆心角度数为；
（3）解：用A、B、C表示三名男生，用D表示女生，列表如下：
由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中选中两男的结果数有6种，
∴选中两男的概率为．
16．双流凤翔湖规划厅A到湖心岛C的距离约为
【分析】本题考查了解比角三角形实际的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点作于，根据求得，进而求得的长．
【解答】如图，过点作于，
，
设，则，
，
在中，，即，
，
解得
，
答：双流凤翔湖规划厅A到湖心岛C的距离约为．
17．(1)见解析
(2)．
【分析】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和三角形相似的判定与性质．
（1）连接，根据角平分线定义得，得出，所以可判断，由于为的切线，得出，进而可得出结论；
（2）根据圆周角定理由是直径，易证得，利用相似比得，得出，求出，进而可得出答案．
【解答】（1）证明：连接，如图，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴；
（2）解：连接，如图，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴．
18．(1)
(2)存在，坐标为或
(3)
【分析】（1）待定系数法求直线的解析式为，将代入，可求，则，将代入，可求，进而可得反比例函数解析式；
（2）将代入，可求，如图1，作交轴于，此时的面积与的面积相等；待定系数法求直线的解析式为，进而可求，由平行线的性质可知，直线左侧存在点，然后作答即可；
（3）由题意知，，将代入，可求，当为直角三角形时，分，两种情况求解；①当时，如图2，过作轴于，作于，则，，证明，则，即，可求，，，将代入得，，计算求出满足要求的解即可；②当时，由勾股定理得，，如图3，过作轴于，作轴于，同理①可得，，则，即，解得，，则，此时不合题意，然后作答即可．
【解答】（1）解：设直线的解析式为，
将、代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
将代入得，，
解得，，
∴，
将代入得，，解得，，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：将代入得，，即，
如图1，作交轴于，此时的面积与的面积相等，
设直线的解析式为，
将代入得，，解得，，
∴直线的解析式为，
当时，，解得，，
∴；
由平行线的性质可知，直线左侧存在点，使得的面积与的面积相等；
综上所述，存在点，且坐标为，时，的面积与的面积相等；
（3）解：由题意知，，
将代入得，，即，
∴当为直角三角形时，分，两种情况求解；
①当时，如图2，过作轴于，作于，则，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，，，
∴，
将代入得，，
解得，，
经检验，是原分式方程的解；
②当时，由勾股定理得，，
如图3，过作轴于，作轴于，
同理①可得，，
∴，即，
解得，，
∴（不合题意，舍去），此时不成立，
综上所述，．
【点拨】本题考查了一次函数解析式，反比例函数解析式，反比例函数与几何综合，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握一次函数解析式，反比例函数解析式，反比例函数与几何综合，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
19．8
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根的定义．先根据一元二次方程根的定义得到，则，进而得出，然后根据一元二次方程根与系数的关系得，再利用整体代入的方法计算即可．
【解答】解：∵α方程的实数根，
∴，
∴，
∴，
∵α、β是方程的两个实数根，
∴，
∴．
故答案为：8．
20．
【分析】本题主要考查了概率公式，分式方程的解和反比例函数的性质，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，得到使分式方程有正数解的情况数是解决本题的关键．依据题意，由关于x的分式方程的解为正数，从而，且，故可得k的范围，再由反比例函数图象过第一、三象限，进而可以求出k的可能值，然后由概率公式进行计算可以得解．
【解答】解：∵关于x的分式方程的解为正数，
∴，且，
∴，且，
∴，2，3，
又反比例函数图象过第一、三象限，
∴，即，
∴，2，
综上，k的取值共有7种等可能情形，其中符合题意的有2种等可能情形，
∴满足题意的概率为．
故答案为：．
21．或
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，根据题意，分两种情况分别讨论求解是解题的关键．根据互融三角形的概念，分两种情况进行讨论：①；②，其中第一种情况证明，从而运用相似三角形的性质求得长，第二种情况证明是等腰三角形，从而求得的长．
【解答】解：由题意可作图如下：
是“互融三角形”，
分以下情况进行讨论：
①当时，即，
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
设，，
，
，即，
化简得：，
解得：，
；
②当时，
，
，
；
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
22．
【分析】此题主要考查了坐标与图形变化——旋转问题，解题的关键是推出点的横坐标、纵坐标规律．首先根据是边长为的等边三角形，可得的坐标为，的坐标为；然后根据中心对称的性质，分别求出点、、的坐标各是多少；最后总结出的坐标的规律，即可求出的坐标．
【解答】解：是边长为的等边三角形，
的坐标为，的坐标为，
与关于点成中心对称，
点与点关于点成中心对称，
，，
点的坐标是，
与关于点成中心对称，
点与点关于点成中心对称，
，，
点的坐标是，
与关于点成中心对称，
点与点关于点成中心对称，
，，
点的坐标是，
…，
，，，，…，
的横坐标是，当为奇数时，的纵坐标是，当为偶数时，的纵坐标是，
的顶点的坐标是，
故答案为．
23．
【分析】根据四边形是正方形，设，利用相似三角形的性质，求出（用a表示），构建方程求出a，再想办法求出，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形是正方形，设，
∴，
由翻折可知，，设，
∵，
在中，∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，，，
设，
在中，则有，
解得，
∴，
连接，延长交于T，则四边形是平行四边形，过点作于H，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
24．(1)
(2)为了让顾客得到更大实惠，该吉祥物售价为65元时，日销售利润达7500元
(3)每件售价为70元时，可使日销售利润最大，最大利润为8000元
【分析】本题考查一次函数在销售问题的应用，一元二次方程在销售问题中应用，二次函数在销售问题中的应用，找出等量关系式是解题的关键．
（1）销售量降价前每日销售量降价所增加的销售量，据此即可求解；
（2）每件所获利润日销售量元，据此即可求解；
（3）设日销售利润为W元，日销售利润每件所获利润日销售量，据此即可求解．
【解答】（1）解：
，
故答案为：；
（2）解：由题意得：，
整理得：，
解得：，
∵为了让顾客得到更大的实惠，
∴舍去，
∴，
答：该吉祥物售价为65元时，日销售利润达7500元．
（3）解：设日销售利润为W元，由题意得：
，
∵，
∴当时，（元）；
答：每件售价为70元时，可使日销售利润最多．
25．(1)；
(2)当时，有最大值，此时；
(3)M点坐标为或或．
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键．
（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）先求出直线的解析式，再设，则，则，由此再求的最大值即可；
（3）求出平移后的函数解析式为，设，，根据平行四边形的对角线互相平分，结合中点坐标公式，建立方程，求出n的值即可求M点坐标．
【解答】（1）解：将，代入，
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）当时，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴，
设，则，
∴，
当时，有最大值，此时；
（3）存在点M，使得以B，C，N，M为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由题意可得，平移后的抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，
设，，
当为平行四边形的对称轴时，，，
解得，，
∴；
当为平行四边形的对角线时，，，
解得，，
∴；
当为平行四边形的对角线时，，，
解得，，
∴；
综上所述：M点坐标为或或．
26．（1）①②（2）成立，理由见解析（3）或．
【分析】（1）①解直角三角形，分别求出的长，证明，得到；②根据，得到，利用字型图，得到即可；
（2）证明，得到，，利用字型图，求出直线与所夹锐角的度数即可；
（3）分点在之间，以及点在之间，两种情况，分类讨论求解即可．
【解答】解：（1）①∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∵点是斜边的中点，，
∴，，
∴，，
将绕点按顺时针方向旋转，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
②∵，
∴，
设交于点，交于点，

则：，
∴（8字型图），即：直线与所夹锐角的度数为；
故答案为：；
（2）成立；理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
设交于点，交于点，

则：，
∴（8字型图），即：直线与所夹锐角的度数为；
（3）①如图，当点在之间时，

∵、、三点共线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
由（2）知：，，
∴，
∴，
∴
；
②如图，当点在之间时，

同①可得：，，
∴，
，，
∴，
∴，
∴
；
综上：的面积为或；
故答案为：或．
【点拨】本题考查含的直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形．熟练掌握三角形的相似的判定方法，证明三角形的相似是解题的关键．注意，分类讨论思想的运用．