2024年河南省焦作市中考第一次模拟考试数学模拟试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上答在试卷上的答案无效
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 下列各数中比大的数是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图是焦作市博物馆的四件特色藏品，其中主视图与左视图相同的是（ ）
A. 汉“山阳”陶罐B. 东汉五层彩绘陶仓楼
C. 东汉彩绘陶房D. 西汉铜提梁卣
3. 记者1月19日从焦作海关了解到，2023年我市实现进出口总值亿元，进出口规模创历史新高数据“亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，直线相交于点平分，若，则度数为（ ）
A. B. C. D.
5. 化简的结果为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在中，，以为直径作，分别交于，，连接，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 下图为某商家2023年1月至10月“人工智能机器人”月销售量，下列说法错误的是（ ）
A. 这10个月的月销售量的众数为28
B. 这10个月中7月份的月销售量最高
C. 前5个月月销售量的方差大于后5个月的月销售量的方差
D. 4月至7月的月销售量逐月增加
8. 二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
9. 如图，已知矩形的顶点，若矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第75次结束时，矩形对角线交点的坐标为（ ）

A. B. C. D.
10. 如图1，点从等腰直角三角形的顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到的中点．设点运动的路程为的面积为，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ）
A. 1B. 2C. D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 代数式可表示的实际意义是___________．
12. 方程组的解为___________．
13. 焦作市两部优秀作品人选河南省2023年度重点文艺创作项目名单，某校七、八、九年级分别从如图所示文艺项目中随机选择一部组织本年级学生欣赏，则这三个年级选择的文艺项目相同的概率为___________．
14. 如图，在中，以为直径作交于点，过点作的切线交于点．则的长为___________．
15. 如图，在矩形中，，点为的中点，取的中点，连接，当为直角三角形时，的值为___________．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （1）计算：；
（2）化简：．
17. 某学校为了解学生“消防安全知识”的掌握情况，从七、八年级各随机抽取名同学进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，描述和分析，下面给出部分信息：
a．七年级成绩的频数分布直方图如下：
b．七年级成绩在这一组的是：
80 80.5 82 82 82 82 83.5 84
84 85 86 86.5 87 88 89 89
c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，七年级测试成绩的中位数是______分，七年级成绩的众数不可能在_______组；
（2）甲同学侧试成绩为分，在他所在的年级，他的成绩超过了一半以上被调查的同学，请判断甲同学是哪个年级的学生，并说明理由；
（3）七年级共有名学生，若成绩在分以下（不含分）的同学需要参加消防安全知识培训，请你估计七年级有多少名同学需要参加消防安全知识培训．
18. 如图，是等边三角形，是边上一点，连接．
（1）请用无刻度的直尺和圆规在的上方作等边（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接，求证：．
19. 小晃同学借助反比例函数图像设计一个轴对称图形．如图，正方形的中心与平面直角坐标系的原点重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象经过正方形的顶点，以点为圆心，的长为半径作扇形交于点；以为对角线作正方形，再以点为圆心，的长为半径作扇形．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的长；
（3）直接写出图中阴影部分面积之和．
20. 南水北调第一楼位于山阳故城乐南，是一座具有汉代风格，可以望山、观水、展陈的文化地标．某小组利用无人机测量第一楼高度，如图是测量第一楼高度的示意图，无人机在距地面136.65米的P处测得第一楼顶部A的俯角为，测得第一楼底部B的俯角为．求南水北调第一楼的高度（结果精确到）．
21. 为庆祝中华人民共和国成立75周年，某平台店计划购进A，B两种纪念币，进价和售价如下表所示：
（1）第一次购进A种纪念币80枚，B种纪念币40枚，求全部售完后获利多少元？
（2）第二次计划购进两种纪念币共150枚，且A种纪念币的进货数量不超过B种纪念币的进货数量的2倍，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润为多少？
22. 根据以下素材，探索完成任务
23. 在综合实践课上，老师设计下面问题，请你解答．
（1）观察发现
如图1，在平面直角坐标系中，过点作轴的对称点，再分别作点关于直线和轴的对称点，则点可以看作是点绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为___________；点可以看作是点关于点___________的对称点．
（2）探究迁移
如图2，正方形中，为直线下方一点，作点关于直线的对称点，再分别作关于直线和直线的对称点和，连接，，请仅就图2的情况解决以下问题：
①请判断的度数，并说明理由；
②若，求两点间的距离．
（3）拓展应用
在（2）的条件下，若，请直接写出的长．
年级
平均数
中位数
七年级
85.3
八年级
87.2
85
品名
A
B
进价（元/枚）
45
60
售价（元/枚）
66
90
设计小区大门灯笼的悬挂方案
素材一
图1是某小区正门，图2是正门的示意图，
小航查阅相关资料获得以下信息：①正门是由一个矩形和一个抛物线形拱组成的轴对称图形，②矩形的宽为，高为，抛物线形拱的高为．
素材二
为迎接龙年春节，拟在图1正门抛物线形拱上悬挂直径为的灯笼，如图3为了美观，要求悬挂灯笼的数量为双数，且平均分布，间隔在之间．
问题解决
任务1
确定拋物线形拱形状
在图2中建立合适直角坐标系，求抛物线的函数表达式
任务2
探究悬挂数量
给出符合所有悬挂条件的灯笼数量．
任务3
拟定设计方案
根据你建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标