2024年山东省泰安市泰山区泰山学院附属中学中考数学模拟预测题（原卷版+解析版）

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1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中选择题48分，非选择题102分，满分150分，考试时间120分钟；
2.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案写在试卷上无效；
3.数学考试不允许使用计算器，考试结束后，应将答题纸和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题 共48分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．）
1. 在3，0，－2，－ 四个数中，最小的数是（ ）
A. 3B. 0C. －2D. －
【答案】C
【解析】
【分析】根据比较实数大小的方法进行比较即可．根据正数都大于0，负数都小于0，两个负数绝对值大的反而小即可求解．
【详解】因为正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值较大的数反而较小，
所以
所以最小的数是
故选C
【点睛】此题主要考查了实数的大小的比较，正数都大于0，负数都小于0，两个负数绝对值大的反而小．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. 3a2+4a2=7a4B. 3a2﹣4a2=﹣a2
C. 3a•4a2=12a2D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据整式的加减法法则，单项式乘以单项式法则，单项式除以单项式法则分别计算判断．
【详解】A、3a2+4a2=7a2，故本选项错误；
B、3a2﹣4a2=﹣a2，故本选项正确；
C、3a•4a2=12a3，故本选项错误；
D、（3a2）2÷4a2=a2，故本选项错误；
故选B．
【点睛】此题考查了整式的计算，正确掌握整式的加减法法则，单项式乘以单项式法则，单项式除以单项式法则是解题的关键．
3. 下列图案中，任意选取一个图案，既是中心对称图形也是轴对称图形的为（ ）
A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】①、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
②、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
③、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
④、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
符合题意的有②④，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后两部分重合．
4. 不考虑颜色，对如图的对称性表述，正确的是( )
A. 轴对称图形
B. 中心对称图形
C. 既是轴对称图形又是中心对称图形
D. 既不是轴对称图形又不是中心对称图形
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用中心对称图形的定义得出答案．
【详解】解：如图所示：是中心对称图形．故选B．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形的定义，正确把握定义是解题关键．
5. 将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式折叠放在一起，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行的性质即可求解.
【详解】根据平行线的性质得到∠3=∠1=30°，
∴∠2=45°-∠3=15°
以及等腰直角三角形的性质，故选B
【点睛】此题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟知两直线平行，内错角相等.
6. 下表是抽查的某班10名同学中考体育测试成绩线计表．
若成绩的平均数为23，中位数是，众数是，则的值是（ ）
A. ﹣5B. ﹣2.5C. 2.5D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据平均数得，结合求出x,y,再求中位数和众数.
【详解】∵平均数为23，
∴，
∴，
即：，
∵，
∴，
∴中位数，，
∴，
故选C．
【点睛】考核知识点：众数，中位数.从平均数入手，求x,y是关键.
7. 二次函数（）的图象如图所示，则一次函数与一次函数在同一坐标系内的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数（）的图象可得，从而得到，，进而得到一次函数经过第一、三象限，一次函数经过第二、三、四象限，即可求解．
【详解】解：根据二次函数（）的图象得：
，
∴，，
∴一次函数经过第一、三象限，一次函数经过第二、三、四象限．
故选：A
【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象、正比例函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8. 关于的不等式组恰有四个整数解，那么的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】可先用表示出不等式组的解集，再根据恰有四个整数解可得到关于的不等组，可求得的取值范围．
【详解】，
解①得：，
解②得：，
由题意可知原不等式组有解，
∴原不等式组的解集为：，
∵不等式组恰有四个整数解，
∴整数解为：0、1、2、3，
∴，
故选：C
【点睛】本题主要考查解不等式组，求得不等式组的解集是解题的关键，注意恰有四个整数解的应用．
9. 如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连结AC、BC. 若∠BAC=2∠BCO，AC=3，则PA的长为 ( )
A 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：先证明△OAC为等边三角形，可得∠AOC=60°，再根据切线的性质可求得∠OAP=90°，然后根据正切的定义求得PA=.
故选A
10. 已知二次函数，图像上部分点的坐标（x，y）的对应值如下表所示，则方程的根是（ ）
A. 0或4B. 或4-C. 1或5D. 无实根
【答案】B
【解析】
【分析】利用抛物线经过点（0，0.37）得到c=0.37，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线经过点（，-1），由于方程ax2+bx+1.37=0变形为ax2+bx+0.37=-1，则方程ax2+bx+1.37=0的根理解为函数值为-1所对应的自变量的值，所以方程ax2+bx+1.37=0的根为x1=，x2=4-．
【详解】解：由抛物线经过点（0，0.37）得到c=0.37，
∵抛物线经过点（0，0.37）、（4，0.37），
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
∵抛物线经过点（，-1），关于抛物线的对称轴对称的点的横坐标为2-（-2）=4-
∴抛物线经过点（4-，-1），
∵二次函数解析式为y=ax2+bx+0.37，
∴方程ax2+bx+1.37=0变形为ax2+bx+0.37=-1，
∴方程ax2+bx+0.37=-1的根理解为函数值为-1所对应的自变量的值，
∴方程ax2+bx+1.37=0的根为x1=，x2=4-，
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，二次函数的性质，解题的关键是把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
二、填空题：本题共5小题，满分20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．
11. 试卷上一个正确的式子被小颖同学不小心滴上墨汁★．被墨汁★遮住部分的代数式为_______________ ．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式的混合运算法则先计算括号内的，然后转化进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
12. 观察如图所示的频数直方图，其中组界为99.5～124.5这一组的频数为________．
【答案】8
【解析】
【分析】根据直方图中的数据，可以得到组界为99.5～124.5这一组的频数．
【详解】解：由直方图可得，
组界为99.5～124.5这一组的频数是20-3-5-4=8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查频数分布直方图，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
13. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，B两点，当时，则x的取值范围是______．

【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是掌握正比例函数与反比例函数图象交点关于原点对称．直接利用正比例函数的性质得出点B的横坐标，再根据图象，正比例函数在反比例函数图象的下方部分的对应的自变量的值即为所求．
【详解】解：正比例函数与反比例函数的图象交于，B两点，
∴点B的横坐标为，
∴当时，即正比例函数图象在反比例函数图象的下方，
∴x的取值范围是或，
故答案为：或．
14. 魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形、四边形和四边形都是正方形．如果图中与的面积比为，那么的值为_________________．
【答案】
【解析】
【分析】先判定和相似，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，容易得到相似比为，多次运用正方形的四条边相等，勾股定理，可分别求出、，即可求解．
【详解】解：在和中，
，，
面积面积
四边形为正方形
，即
则
在中，根据勾股定理：
四边形、为正方形
，
根据勾股定理：
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定、勾股定理．
15. 如图，O为坐标原点，点在y轴的正半轴上，点在函数位于第一象限的图象上，若，，，…，都是等边三角形，则线段的长是______．
【答案】
【解析】
【分析】分别过作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，设，，，，则，，，再根据所求正三角形的边长，分别表示的纵坐标，逐步代入抛物线中，求的值，得出规律进行求解即可．
【详解】解：分别过，，作轴的垂线，垂足分别为、、，
设，，，由勾股定理则，
同理，，
∴，，，
把，代入中，得，解得，即，
把，代入中，得，解得，即，
把，代入中，得，解得，即，
…，
依此类推由此可得，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．勾股定理应用，掌握探究规律题的解题方法，关键是根据正三角形的性质用边长表示抛物线上点的坐标，利用抛物线解析式求正三角形的边长，得到规律．
三、解答题：本大题共8个小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
首先计算乘方、零指数幂、开平方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】解：
．
17. 如图，把平行四边形纸片沿折叠，点C落在点处， 与相交于点E．
求证：
【答案】见详解
【解析】
【分析】本题主要考查利用平行四边形的性质和折叠得性质证明，即可证明结论成立．
【详解】证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵沿折叠，点C落在点处，
∴，，
在和中
∴，
∴．
18. 为了提高学生的阅读能力，我市某校开展了“读好书，助成长”的活动，并计划购置一批图书，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查数据绘制成两幅不完整的统计图，如图所示，请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 名学生，两幅统计图中的m＝ ，n＝ ．
（2）已知该校共有3600名学生，请你估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人？
（3）学校将举办读书知识竞赛，九年级1班要在本班3名优胜者（2男1女）中随机选送2人参赛，请用列表或画树状图的方法求被选送的两名参赛者为一男一女的概率．
【答案】（1）200 ， ；（2）1224人；（3）见解析，.
【解析】
【分析】（1）用喜欢阅读“A”类图书的学生数除以它所占的百分比得到调查的总人数；用喜欢阅读“B”类图书的学生数所占的百分比乘以调查的总人数得到m的值，然后用30除以调查的总人数可以得到n的值；
（2）用3600乘以样本中喜欢阅读“A”类图书的学生数所占的百分比即可；
（3）画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出被选送的两名参赛者为一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：（1），
所以本次调查共抽取了200名学生，
，
，即；
（2），
所以估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有1224人；
（3）画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中被选送的两名参赛者为一男一女的结果数为4，
所以被选送的两名参赛者为一男一女的概率．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
19. 如图，分别位于反比例函数y＝，y＝ 在第一象限图象上的两点A、B，与原点O在同一直线上，且．
（1）求反比例函数y＝的表达式；
（2）过点A作x轴的平行线交y＝的图象于点C，连接BC，求△ABC的面积．
【答案】（1）；（2）8．
【解析】
【详解】试题分析：（1）作AE、BF分别垂直于x轴，垂足为E、F，根据△AOE∽△BOF，则设A的横坐标是m，则可利用m表示出A和B的坐标，利用待定系数法求得k的值；
（2）根据AC∥x轴，则可利用m表示出C的坐标，利用三角形的面积公式求解．
试题解析：
(1)作AE，BF分别垂直于x轴，垂足为E，F，
∴AE∥BF，∴△AOE∽△BOF，
∴＝＝＝.
由点A在函数y＝的图象上，
设A的坐标是，
∴＝＝，＝＝，
∴OF＝3m，BF＝，
即B的坐标是.
又点B在y＝的图象上，
∴＝，解得k＝9，
则反比例函数y＝的表达式是y＝.
(2)由(1)可知A，B，
又已知过A作x轴的平行线交y＝的图象于点C，
∴C的纵坐标是.
把y＝代入y＝得x＝9m，
∴C的坐标是，
∴AC＝9m－m＝8m.
∴S△ABC＝×8m×＝8
20. 某中学为营造书香校园，计划购进甲乙两种规格的书柜放置新购置的图书，调查发现，若购买甲种书柜5个，乙种书柜2个，共需要资金1380元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．
（1）甲乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共24个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，问：学校应如何购买花费资金最少，最少资金是多少？
【答案】（1）甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元；（2）购买12个甲种书柜，12个乙种书柜时，所需资金最少，最少资金为5040元
【解析】
【分析】（1）设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，根据：若购买甲种书柜5个、乙种书柜2个，共需资金1380元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元列出方程求解即可；
（2）设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（24-m）个．根据：所需经费=甲图书柜总费用+乙图书柜总费用、总经费,且乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，求出m的范围，利用一次函数的性质即可求解．
【详解】解：（1）设甲种书柜单价为元，乙种书柜的单价为元，由题意得：
解得
答：甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元．
（2）设购买甲种书柜个，则购买乙种书柜个，设所需资金为元．
由题意得：．
解得
∵，随增大而减小
∴当时，（元）．
答：当购买12个甲种书柜，12个乙种书柜时，所需资金最少，最少资金为5040元．
【点睛】本题考查二元一次方程组解应用题，一元一次不等式，一次函数性质，掌握二元一次方程组解应用题的方法与步骤，一元一次不等式的解法，一次函数的性质是解题关键．
21. 如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E．
（1）求证：直线CE是⊙O的切线．
（2）若BC＝3，CD＝3，求弦AD的长．
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】（1）连结OC，如图，由AD平分∠EAC得到∠1=∠3，加上∠1=∠2，则∠3=∠2，于是可判断OD∥AE，根据平行线的性质得OD⊥CE，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）由△CDB∽△CAD，可得，推出CD2=CB•CA，可得（3）2=3CA，推出CA=6，推出AB=CA﹣BC=3，，设BD=k，AD=2k，在Rt△ADB中，可得2k2+4k2=5，求出k即可解决问题．
详解】（1）证明：连结OC，如图，
∵AD平分∠EAC，
∴∠1=∠3，
∵OA=OD，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠2，
∴OD∥AE，
∵AE⊥DC，
∴OD⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
（2）∵∠CDO=∠ADB=90°，
∴∠2=∠CDB=∠1，∵∠C=∠C，
∴△CDB∽△CAD，
∴，
∴CD2=CB•CA，
∴（3）2=3CA，
∴CA=6，
∴AB=CA﹣BC=3，,设BD=k，AD=2k，
在Rt△ADB中，2k2+4k2=5，
∴k=，
∴AD=．
22. 如图，抛物线与轴交于点和．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点， 轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形是平行四边形，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）C的坐标是；
（3）P的坐标为或或．
【解析】
【分析】（1）将，代入，列方程组并且解该方程组求出a、b的值，即可得到抛物线的解析式为；
（2）将抛物线的解析式配方成顶点式，求得抛物线的对称轴为直线，，由平行四边形的性质得，则点C的横坐标为5，即可求得点C的坐标是；
（3）分三种情况，一是；当时，过点C作轴于点L，作交的延长线于点H，则，证，设，则，于是得，求得，则；二是，可证明，则，得，．
三是，设交于点J，则，由平行四边形的性质得，，所以，则．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点，，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为．
【小问2详解】
解：，
∴抛物线的对称轴为直线，，
∵四边形是平行四边形，
，
∴点C的横坐标为，
抛物线，
当时，，
∴点C的坐标是．
【小问3详解】
解：存在点P，使是直角三角形，

①当时，
作交的延长线于点H，则，，
，
，
设，则，
，
，
解得，
，
②点O是直角顶点时，过点C作轴于点L．
，
，，
，
，
，
，
，
．
③当时，
设交于点J，作轴于点L，
，，，
，
轴，，
，
∵四边形是平行四边形，
，，
，
，，
， ；
综上所述，存在点P，使是直角三角形，
点P的坐标为或或或．
【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
23. （1）如图1，在正方形ABCD中．E，F，G分别是BC，AB，CD上的点，FG⊥AE于点Q．求证：AE＝FG．
（2）如图2，点P是线段AB上动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE分别交线段BC，PC于点M，N．
①求∠DMC的度数；
②连接AC交DE于点H，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）①45°；②．
【解析】
【分析】（1）过点B作BH∥FG交CD于点H，证明四边形BFGH是平行四边形，得出BH＝FG，由ASA证得△ABE≌△CBH，即可得出结论；
（2）①过点D作DG∥CB交AP于点G，连接GE，由SAS证得△AGD≌△BEG，得出DG＝EG，∠ADG＝∠EGB，证明∠EGD＝90°，得出∠GDE＝∠GED＝45°，即可得出结果；
②证明△ADH∽△ACB，得出．
【详解】(1)证明：过点B作BH∥FG交CD于点H，如图1所示：
由平移的性质得：FGBH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴ABCD，AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°，
∴四边形BFGH是平行四边形，
∴BH＝FG，
∵FG⊥AE，
∴BH⊥AE，
∴∠BKE＝90°，
∴∠KBE+∠BEK＝90°，
∵∠BEK+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CBH，
在△ABE和△CBH中，
，
∴△ABE≌△CBH（ASA），
∴AE＝BH，
∴AE＝FG；
(2)解：①过点D作DG∥CB交AP于点G，连接GE，如图2所示：
则∠DMC＝∠GDE，
∵四边形ADCP与四边形PBEF都是正方形，
∴DC＝AD＝AP，BP＝BE，∠DAG＝∠GBE＝90°，CD∥AP，
∴四边形DGBC是平行四边形，
∴DC＝GB，
∴DC＝AD＝AP＝GB，
∴AG＝BP＝BE，
在△AGD和△BEG中，
，
∴△AGD≌△BEG（SAS），
∴DG＝EG，∠ADG＝∠EGB，
∴∠EGB+∠AGD＝∠ADG+∠AGD＝90°，
∴∠EGD＝90°，
∴∠GDE＝∠GED＝45°，
∴∠DMC＝∠GDE＝45°；
②如图3所示：
∵AC为正方形ADCP的对角线，
∴∠DAC＝∠PAC＝∠DMC＝45°，AD=CD，∠ADC=90°，
∴AC＝AD，
∵∠HCM＝∠BCA，
∴∠AHD＝∠CHM＝∠ABC，
∴△ADH∽△ACB，
∴．
【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平移的性质等知识；熟练掌握平移的性质、证明三角形全等与三角形相似是解题的关键．
成绩（分）
30
25
20
15
人数（人）
2
1
x
…
0
4
…
y
…
0.37
-1
0.37
…