2024年高考第二次模拟考试：数学（新高考Ⅰ卷01）（解析版）

这是一份2024年高考第二次模拟考试：数学（新高考Ⅰ卷01）（解析版），共20页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，测试范围，若，则的大小关系为，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，即，
因为，解得，所以，
所以，.
故选：D
2．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】由，得，
则复平面内对应的点位于第三象限.
故选：C
3．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为（ ）
A. 26B. 28C. 30D. 32
【答案】B
【解析】由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为，
所以正四棱锥的体积为，
截去的正四棱锥的体积为，
所以棱台的体积为.
故选：B.
4．双曲线E：的一条渐近线与圆相交于若的面积为2，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】双曲线的一条渐近线：，
与圆相交于两点，圆的圆心，半径为2，
圆心到直线的距离为：，弦长|
可得：，
整理得：，即，
解得双曲线的离心率为．
故选：C．
5．已知，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，，所以，，
又因为，所以，
所以，
①+②得，②-①得，
上述两式相除即可得，则，
故选：C.
6．为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型，其中为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（ ）（参考数据：）
A. 15次B. 16次C. 17次D. 18次
【答案】B
【解析】由题意知，
当时，，故，，
故，
由得，即，
则，而，故，
故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要16次，
故选：B
7．若，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由，
可得，所以，故，
所以，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，
所以，当且仅当时取等号，
如图，作出函数的图象，
由图可知，可知.
故选：A.
8．在数列中，，且，当时，，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，，所以，且当时，，
所以，所以，
所以.
因为，
所以，所以，故.
故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A. 数据的第45百分位数是4
B. 若数据的标准差为，则数据的标准差为
C. 随机变量服从正态分布，若，则
D. 随机变量服从二项分布，若方差，则
【答案】BCD
【解析】对于A中，数据从小到大排列为，共有8个数据，
因为，所以数据的第45分位数为第4个数据，即为2，所以A不正确；
对于B中，数据的标准差为，
由数据方差的性质，可得数据的标准差为，所以B正确；
对于C中，随机变量服从正态分布，且，
根据正态分布曲线的对称性，可得，所以C正确；
对于D中，随机变量服从二项分布，且，
可得，解得或，
当时，可得；
当时，可得，
综上可得，，所以D正确.
故选：BCD.
10．设函数的定义域为R，为奇函数，，，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】由为奇函数，即函数的图象关于对称，
又，则的图象关于对称，
所以，
则，
为周期函数且周期为，B对．
所以，A对．
而，C错．
由上可知，，
所以，
则，D对．
故选：ABD．
11．古希腊哲学家芝诺提出了如下悖论：一个人以恒定的速度径直从A点走向B点，要先走完总路程的三分之一，再走完剩下路程的三分之一，如此下去，会产生无限个“剩下的路程”，因此他有无限个“剩下路程的三分之一”要走，这个人永远走不到终点，由于古代人们对无限认识的局限性，故芝诺得到了错误的结论.设，这个人走的第n段距离为，这个人走的前n段距离总和为，则下列结论正确的有（ ）
A. ，使得B. ，使得
C. ，使得D. ，使得
【答案】BC
【解析】由已知得，，
不难得到，，，所以A错误.
走n段距离后，由得，两式相减化简得，当时，也符合，所以B正确.
由可知是公比为，首项为的等比数列，
，所以C正确，D错误.
故选：BC
12．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点（点在第一象限），为线段的中点.若，则下列说法正确的是（ ）
A. 抛物线的准线方程为
B. 过两点作抛物线的切线，两切线交于点，则点在以为直径的圆上
C. 若为坐标原点，则
D. 若过点且与直线垂直的直线交抛物线于，两点，则
【答案】BD
【解析】对于A：由已知设过点的直线方程为，，
联立方程，消去得，
可得，
又因为，所以，
则，解得,
所以抛物线方程为，准线方程为，A错误；
对于B：抛物线，即，，
易得，
所以，
故直线垂直，所以点在以为直径的圆上，B正确；
对于C：由A项知，抛物线，直线的方程为，
，
联立方程，消去得，
可得，，
，
解得，
所以，
所以，
所以，即，
所以，C错误；
对于D：由C选项知，，
因为直线垂直于直线，
所以
则，D正确.
故选：BD.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知的展开式中常数项为20，则实数m的值为______．
【答案】1
【解析】展开式的通项为，令解得，∴．
∴．
故答案为：1
14.矩形中，，，且分为的中点，则___．
【答案】
【解析】以为坐标原点，建立如下图所示的平面直角坐标系，
，
所以，
.
故答案为：.
15.已知函数，如图是直线与曲线的两个交点，若，则____________，____________．
【答案】；
【解析】设，由可得，
由可知，或，，由图可知，
当时，，即，；
当时，，即，；
综上：；
因为同一图象对应的解析式是一样的，所以此时不妨设，则，
因为，所以，即，．
所以，
所以或，
又因为，所以，
．
故答案为：；.
16．已知直四棱柱的所有棱长均为4，，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为__________．
【答案】
【解析】如图：取的中点,连接，
结合题意：易得为等边三角形，
因为为的中点，所以
因为在直四棱柱中有面,且面，
所以,又因,且面
所以面，结合球的性质可知为该截面圆的圆心，
因为直四棱柱的所有棱长均为4，，
所以 ,, ,,
故以为球心，为半径的球面与侧面的交线为：以为圆心, 为半径的圆所成的圆弧.
所以.
故答案为: .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）记为数列的前项和，若，.
（1）求；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）； （2）
【解析】（1）由题设，则，
又，故是首项为3，公差为2的等差数列，3分
所以，则.….….….…5分
（2）由（1）得，.….….….…7分
所以
10分
18.（12分）已知是圆锥的底面直径，C是底面圆周上的一点，，平面和平面将圆锥截去部分后的几何体如图所示．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）为底面圆周上一点，
，又，
又为中点，，.….….….…2分
又底面，底面，
，
又底面，
平面．.….….….…5分
（2）底面，底面，
所以，
又因为，.….….….…6分
所以以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，
，
，.….….….…7分
设平面的一个法向量，
，.….….….…9分
而平面的一个法向量，
设二面角平面角为，显然为锐角，
．.….….….…12分
19．（12分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.
（1）求角A；
（2）作角A的平分线与交于点，且，求.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因，
由正弦定理可得：，
即..….….….…3分
因，故，则有，即，
因，故..….….….…5分
（2）因为为角平分线，所以，
所以..….….….…7分
因，，，则，
即，所以..….….….…9分
又由余弦定理可得：，.….….….…10分
把，分别代入化简得：，
解得：或（舍去），所以..….….….…12分
20．（12分）为考察药物对预防疾病以及药物对治疗疾病的效果，科研团队进行了大量动物对照试验.根据100个简单随机样本的数据，得到如下列联表：（单位：只）
（1）依据的独立性检验，分析药物对预防疾病的有效性；
（2）用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取1只，用药物进行治疗.已知药物的治愈率如下：对未服用过药物的动物治愈率为，对服用过药物的动物治愈率为.若共选取3次，每次选取的结果是相互独立的.记选取的3只动物中被治愈的动物个数为，求的分布列和数学期望.
附：，
【答案】20. 药物对预防疾病没有效果. 21. 答案见解析.
【解析】（1）零假设为:药物对预防疾病无效果，
根据列联表中的数据，经计算得到
,
根据小概率值的独立性检验，我们推断零假设成立，即认为药物对预防疾病没有效果..….….….…5分
（2）设A表示药物的治愈率，表示对未服用过药物 , 表示服用过药物由题，，，
且，，
..….….….…7分
药物的治愈率，
则，所以，
，
，
，.….….….…9分
X的分布列如下表所示
．.….….….…12分
21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，动点M到点的距离与到直线的距离之比为．
（1）求动点M轨迹W的方程；
（2）过点F的两条直线分别交W于A，B两点和C，D两点，线段AB，CD的中点分别为P，Q．设直线AB，CD的斜率分别为，，且，试判断直线PQ是否过定点．若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1） （2）直线PQ过定点．
【解析】（1）设点M的坐标为，由题意可知，，
化简整理得，W的方程为．.….….….…4分
（2）由题意知，设直线AB的方程为，与W的方程联立可得，
，
设，，由韦达定理得，，
则，
所以，点P的坐标为．.….….….…6分
同理可得，Q的坐标为．.….….….…7分
所以，直线PQ的斜率为，
所以，直线PQ的方程为，.….….….…9分
即，
又，则，
所以直线PQ的方程即为，
所以，直线PQ过定点．.….….….…12分
22．（12分）已知函数（），为的导函数，.
（1）若，求在上的最大值；
（2）设，，其中.若直线的斜率为，且，求实数的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）若，可得，则，
即，可得，.….….….…2分
当时，，所以在上单调递增，
又由，所以，即，
所以函数在上单调递减，.….….….…4分
所以，即函数的最大值为..….….….…5分
（2）解：由，可得，
因为，
所以对任意且，都有，.….….….…6分
因为，可得，则，
对任意且，令，
则
对于恒成立，
由
则对于恒成立，.….….….…8分
记，
可得，
①若，则，在单调递增，所以，符合题意；.….….….…9分
②若，则，
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增，
所以，当时，，不符合题意（舍去），.….….….…11分
综上可得，，即实数的取值范围为.….….….…12分药物
疾病
未患病
患病
合计
未服用
30
15
45
服用
45
10
55
合计
75
25
100
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
X
0
1
2
3
P