2024年高考第二次模拟考试：数学（新高考Ⅱ卷01）（解析版）

这是一份2024年高考第二次模拟考试：数学（新高考Ⅱ卷01）（解析版），共17页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，测试范围，已知，则等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题设，或，
所以，故选：B
2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】复数,
故，则对应的点在第二象限，故选：B
3．已知向量，，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．
【答案】D
【解析】依题意，，解得，则，
所以，故，故选：D．
4．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为函数在上单调递增，
所以在上单调递增，且在恒成立，
所以，，解得
所以，实数的取值范围为。故选：D
5．已知圆：，过直线：上的一点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】圆：中，圆心，半径
设，则，即
则
（当且仅当时等号成立），故选：A
6．已知是数列的前项和，则“”是“数列是公差为2的等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】已知，所以，当时，
，
所以数列是公差为2的等差数列；当数列是公差为2的等差数列时，因为不知首项，所以数列的前n项和不确定，所以是充分不必要条件，故选A
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
所以，
所以
故选:B.
8．已知双曲线的离心率为，则C的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为双曲线的离心率为，所以，
所以，又因为的渐近线方程为，且，
所以渐近线方程为，故选A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．某校有名同学参加国家安全知识竞赛，甲同学得知其他名同学的成绩单位：分分别为，若这名同学的平均成绩为，则下列结论正确的是（ ）
A．甲同学的竞赛成绩为
B．这名同学竞赛成绩的方差为
C．这名同学竞赛成绩的第百分位数是
D．从这名同学中任取一人，其竞赛成绩高于平均成绩的概率为
【答案】AB
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于A中，设甲的成绩为，
则有，解可得，所以A正确；
对于B中，甲的成绩为，则这名同学竞赛成绩的方差 ，所以B正确；
对于C中，五人的成绩从小到大排列，依次为：、、、、，
因为，则其第百分位数是，所以C错误；
对于D中，五人的成绩中，高于平均分的有人，
则从这名同学中任取一人，其竞赛成绩高于平均成绩的概率为，所以D错误．
故选：AB．
10．牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是（单位：℃），环境温度是（单位：℃），其中、则经过t分钟后物体的温度将满足（且）．现有一杯的热红茶置于的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（ ）（参考数值）
A．若，则
B．若，则红茶下降到所需时间大约为6分钟
C．5分钟后物体的温度是，k约为0.22
D．红茶温度从下降到所需的时间比从下降到所需的时间多
【答案】AC
【解析】由题知，
A选项：若，即，所以，则，A正确；
B选项：若，则，则，两边同时取对数得，所以，所以红茶下降到所需时间大约为7分钟，B错误；
C选项：5分钟后物体的温度是，即，则，得，所以，故C正确；
D选项：为指数型函数，如图，可得红茶温度从下降到所需的时间（）比从下降到所需的时间（）少，故D错误．
故选：AC．
11．已知函数的定义域为R，且对任意，都有，且当时，恒成立，则（ ）
A．函数是R上的减函数B．函数是奇函数
C．若，则的解集为D．函数()+为偶函数
【答案】ABC
【解析】设，且，，则，
而
，
又当时，恒成立，即，，
函数是R上的减函数，A正确；
由，
令可得，解得，
令可得，即，而，
，而函数的定义域为R，
故函数是奇函数，B正确；
令可得，解得，
因为函数是奇函数，所以，
由，可得，
因为函数是R上的减函数，所以，C正确；
令，易知定义域为R，
因为，显然不恒成立，所以不是偶函数，D错误.
故选：ABC.
12．已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则以下结论正确的是（ ）
A．圆锥底面圆的半径为2cm
B．该圆锥的内接圆柱（圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面在圆锥的侧面上）的侧面积的最大值为
C．该圆锥的内接圆柱的体积的最大值时，圆柱的底面圆的半径与圆柱的高的比为
D．该圆锥的内切球的表面积为
【答案】ABC
【解析】设圆锥底面圆的半径为，母线长为，
依题意得，所以，
根据圆锥的表面积为，解得cm,
所以A正确;
如图为圆锥和内接圆柱体的轴截面，由题可知，
，
设
由相似关系得,即，解得，
则内接圆柱的侧面积等于，
当时侧面积最大，等于，所以B正确;
内接圆柱的体积等于，
，
令，解得，令，解得，
所以在单调递增，单调递减,
所以当时圆柱体积最大，此时圆柱的高为，
圆柱的底面圆的半径与圆柱的高的比为，
所以C正确;
设内切圆的圆心为 半径为，
因为,
即
所以
因为圆锥的内切球的半径等于 ，
所以内切球的体积等于，所以D错误.
故选:ABC.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一（如图），一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱，其中总高度为10cm，圆柱部分高度为7cm，该陀螺由密度为0.8g/cm3的木质材料做成，其总质量为96g，则此陀螺圆柱底面的面积 ．

【答案】15
【解析】依题意，该陀螺的总体积为，
设圆柱底面圆半径为r，则，解得，
所以此陀螺圆柱底面的面积为.
14．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有 种
【答案】14
【解析】按照甲是否在天和核心舱划分，
①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的三人中选取两人，
剩下两人去剩下两个舱位，
则有种可能；
②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，
剩下四人中选取三人进入天和核心舱即可，
则有种可能；
根据分类加法计数原理，共有6+8=14种可能.
15．已知函数,若函数的一个零点到最值点对应的横坐标距离的最小值为,则的值为 .
【答案】
【解析】因为相邻的最值点与零点之间的区间长度为,也是函数的一个零点到最值点距离的最小值,从而,所以,.
16．已知Q为抛物线C：上的动点，动点M满足到点的距离与到点F（F是C的焦点）的距离之比为则的最小值是 .
【答案】
【解析】
由题意得，等于点到准线的距离，
过点作垂直准线于点，则，
设动点，则，整理得，
所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，
所以，所以当四点共线时，最小，
故.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（本小题满分10分）的内角，，的对边分别为，，，已知，.
(1)求及；
(2)若，求边上的高.
【解析】（1）因为，由正弦定理得，
所以，又，
所以，又，则.
因为，即，又，所以，
因为，所以.
（2）由（1）及余弦定理，得.
将，代入，得，
解得或（舍去），则.
因为，所以，
设边上的高为，则.
18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，点分别是中点，平面平面．
(1)证明：；
(2)若，平面平面，求直线与平面所成角的余弦值．
【解析】（1）证明：取中点G，连接，，∵分别是，中点
∴且
又∵且，∴
∴四边形为平行四边形
∴平面平面
∴平面，
∵平面，平面平面，
∴
（2）解：由三棱柱为直棱柱得平面，平面，
∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，平面，
∴，
∴，即，
取棱中点，中点，连接,
∵由三棱柱为直棱柱得平面，平面，
∴，
∵，
∵，
∵，平面,
∴平面，
∵点分别是中点,
∴，
∴平面．
由（1）可知，
∴为所求线面角记为，．在中．
在中，
∴，
∴直线l与平面所成角的余弦值为
19．（本小题满分12分）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若，证明: .
【解析】（1），
若，，即，此时在R上单调递减．
若，解得，
解得，
∴在上单调递减，在上单调递增．
（2）∵，
设， ，
设 ，
∴在上单调递增，，．
∴，在上单调递增．
∴．
∴．
20．（本小题满分12分）在数列中，，且对任意大于1的正整数，点在直线上．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，试比较与的大小．
【解析】（1）在数列中，，且对任意大于1的正整数，点 在直线 上，
，即，，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
.
所以数列的通项公式为.
（2）当时，，
当时，，
因为满足，所以.，
.
21．（本小题满分12分）已知有一道有四个选项的单项选择题和一道有四个选项的多项选择题，小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项.但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项.
(1)如果小明不知道单项选择题的正确答案，就作随机猜测.已知小明知道单项选择题的正确答案和随机猜测概率都是，在他做完单项选择题后，从卷面上看，在题答对的情况下，求他知道单项选择题正确答案的概率；
(2)假设小明在做该道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为.已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择.记表示小明做完该道多项选择题后所得的分数.求的分布列.
【解析】（1）记事件A为“题目答对了”，事件B为“知道正确答案”，
则，，，
由全概率公式：，
所求概率为.
（2）设事件表示小明选择了i个选项，，表示选到的选项都是正确的.
可能取值为0，2，5，
，
，
.
随机变量的分布列为
22．（本小题满分12分）已知椭圆方程为（），离心率为且过点.
(1)求椭圆方程；
(2)动点在椭圆上，过原点的直线交椭圆于A，两点，证明：直线、的斜率乘积为定值；
(3)过左焦点的直线交椭圆于，两点，是否存在实数，使恒成立？若存在，求此时的最小值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题，，，所以，
椭圆的方程为.
（2）
证明：设点，因为点P在椭圆上，所以，，
同理设点，则，，
因为直线AB过原点，所以关于原点对称，点，
.
（3）
，当直线MN斜率为零时，不妨设，，
则，，，，
存在，使成立，
当直线MN斜率不为零时，设直线方程为，，，
联立方程组，消去x得，易知，
所以，，，
，
又因为，，
所以，，
又因为，当时，最小为3，
综上，存在，使成立，最小为3.
0
2
5